1、第 2 节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知 识 梳 理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式 AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式 AxByC0 所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线 AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，使得 AxByC 的值符号相同，也就是位于同一半平面内
2、的点，其坐标适合同一个不等式 AxByC0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式 AxByC0 时，截距zb取最大值时，z 也取最大值；截距zb取最小值时，z 也取最小值；当 b0 表示的平面区域在直线 xy10 的下方.(4)直线 axbyz0 在 y 轴上的截距是zb.答案(1)(2)(3)(4)2.下列各点中，不在 xy10 表示的平面区域内的是()A.(0，0)B.(1，1)C.(1，3)D.(2，3)解析 把各点的坐标代入可得(1，3)不适合，故选 C.答案 C3.(必修 5P86T3 改编)不等式组x3y60，xy20，则题中的不等式组表示的平面区域为以(1，0)，k2
3、k，12k，1，1k 为顶点的三角形区域(包含边界)，易得当目标函数 z3xy 经过平面区域内点k2k，12k 时，z3xy 取得最小值 zmin 3k2k 12k1，解得 k12.答案 126.(2020嘉兴测试)在平面直角坐标系中，不等式组xy10，x1，y3x1所表示的平面区域的面积等于_，z2xy 的取值范围是_.解析 不等式组xy10，x1，y3x1表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，由x1，xy10可得 C(1，0)，由x1，3xy10可得 B(1，4)，由xy10，3xy10 可得 A(0，1)，则平面区域的面积为12412.当目标函数 z2xy 经过可行域中的点 B 时取
4、得最大值 6，经过点A 时取得最小值 1，所以 z 的取值范围是1，6.答案 2 1，6考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例 1】(1)设不等式组y0，xy1，ymx所表示的区域面积为 S(mR).若 S1，则()A.m2 B.2m0C.0m2 D.m2(2)(一题多解)(2020杭州四中仿真模拟)若不等式组x2y40，ax3y40，y0表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数 a 的值为_.解析(1)如图，当 xy1 与 ymx 的交点为(1，2)时，阴影部分的面积为 1，此时 m2，若 S1，则 m2，故选 A.(2)法一 不等式组x2y40，y0表示的平面区域是如图所示的阴影区域
5、，而直线 ax3y40 过定点0，43，且不等式 ax3y40 表示不含原点的区域，故若不等式组x2y40，ax3y40，y0表示的平面区域是等腰三角形区域，则只能为如图所示的ABC，其中 ABAC.tan OACa3，tan ABC12，且OAC2ABC，a3tanOAC 2tan ABC1tan2ABC43，解得 a4.图 图法二 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其中边界直线ax3y40 过定点0，43，则由图易得当 a0 时，得到的平面区域不是三角形，不符合题意；当 a0 时，易得三角形的三个顶点为432a，44a32a，4a，0，(4，0)，则有432a4a244a
6、32a244a，解得 a4.答案(1)A(2)4规律方法 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.【训练 1】(1)若不等式组xy20，x2y20，xy2m0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则 m 的值为()A.3 B.1 C.43D.3(2)已知 aR，若存在实数 x，y 满足xya1，xy2a0，xy2a0，则实数 a 的取值范围为()A.，12B.(，1C.1，)D.12，解析(1)如图，要使不等式组表示的平面区域
7、为三角形，则2m2，则 m1，由xy20，xy2m0，解得x1m，y1m，即 A(1m，1m).由x2y20，xy2m0，解得x2343m，y2323m，即 B2343m，2323m，所围成的区域为ABC，则 SABCSADCSBDC12(22m)(1m)12(22m)23(1m)13(1m)243，解得 m3(舍去)或 m1.故选 B.(2)要使得存在实数 x，y 满足不等式组所表示的可行域如图所示(含边界)，即 1a2a，得 a1，故选 C.答案(1)B(2)C考点二 线性规划相关问题 多维探究角度 1 求线性目标函数的最值【例 21】(2019浙江卷)若实数 x，y 满足约束条件x3y4
8、0，3xy40，xy0，则 z3x2y的最大值是()A.1 B.1 C.10 D.12解析 如图，不等式组表示的平面区域是以 A(1，1)，B(1，1)，C(2，2)为顶点的ABC 区域(包含边界).作出直线 y32x 并平移，知当直线 y32xz2经过C(2，2)时，z 取得最大值，且 zmax322210.故选 C.答案 C角度 2 求非线性目标函数的最值【例 22】(1)已知实数 x，y 满足不等式组x0，x2y0，xy30，则(x1)2(y2)2 的取值范围是()A.1，5 B.5，5 C.5，25 D.5，26(2)(2019浙江名师预测卷五)设实数 x，y 满足xy20，x2y40
9、，y20，则 z6x3y 的最大值为_，z1y1x 的取值范围为_.解析(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示.因为(x1)2(y2)2 表示平面区域内的点到点 P(1，2)的距离的平方，直线 PO：y2x与直线 x2y0 垂直，由图知，点 P(1，2)到直线 x2y0 的距离的平方为所求最小值，即为|12（2）|525，与点 A(0，3)的距离的平方为所求最大值，即为(01)23(2)226，所以所求取值范围为5，26，故选 D.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示(含边界)，由图知目标函数z6x3y 过点(4，2)时取得最大值为 zmax643218
10、.目标函数 z1y1x 表示 x0 时阴影部分内的点与点(0，1)的连线的斜率，故 z1 有最小值58，当阴影部分内的点(x0，y0)(x00)逐渐靠近点(0，2)时，点(x0，y0)与点(0，1)的连线的斜率逐渐趋于，所以 z158，.答案(1)D(2)18 58，角度 3 求参数的值或范围【例 23】(1)已知 x，y 满足条件x12y10，xy2，x2y2，若 zmxy 取得最大值的最优解不唯一，则实数 m 的值为()A.1 或2 B.1 或12C.1 或2 D.2 或12(2)已知实数 x，y 满足约束条件xy0，xy20，x2ya0，若 z2xy 在点(0，0)处取得最小值，则 z2
11、xy 的最大值是()A.3 B.4 C.5 D.6解析(1)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界)，由图易得当目标函数 zmxy 与直线 xy2 或 x12y10平行时，目标函数取得最大值的最优解不唯一，所以 m1 或 m2.(2)由目标函数 z2xy 在点(0，0)处取到最小值，则边界直线 x2ya0 过点(0，0)，故 a0，因此约束条件所对应的平面区域为AOB 内部(含边界)，如图所示，则目标函数 z2xy 移至点 A(4，2)时有最大值为 6，故选 D.答案(1)A(2)D规律方法 线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值：画出可行域后
12、，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目 标 函 数 有：截 距 型：形 如 z ax by；距 离 型：形 如 z（xa）2（yb）2；斜率型：形如 zybxa.(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中.求解步骤为：注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；在符合题意的可行域里，寻求最优解.【训练 2】(1)(角度 1)若实数 x，y 满足 x2y21，则|xy1|2x3y1 的最大值是()A.5 B.235C.4 D.174(2)(角度 2)(2019温州适应性测试)已知实数 x，y 满足x1，xy0，x2y60，则 zx2y2的最大值为()A.2 B
13、.2 2C.4 D.8(3)(角度 3)已知实数 x，y 满足约束条件2xy10，xy10，x2y40，若 ztxy 的最小值为 1，则实数 t 的取值范围是()A.t2 B.2t1C.t1 D.t2 或 t1解析(1)当 xy1 时，z|xy1|2x3y13x4y 在点35，45 处有最大值5，当 xy1 时，z|xy1|2x3y1x2y2 在点(0，1)处有最大值 4，所以|xy1|2x3y1 的最大值是 5，故选 A.(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2，2)，(1，1)，1，52 为顶点的三角形及其内部，zx2y2 表示平面区域内的点到原点的距离的平方，
14、由图易得平面区域内的点(2，2)到原点的距离最大，则 zmax22228.故选 D.(3)画出满足约束条件的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知只有平移直线 txy0 经过直线 2xy10 与直线 xy10 的交点 C(0，1)时，目标函数 ztxy 的值为 1，则目标函数 ztxy 要取得最小值 1，直线 ztxy 必过点 C(0，1).当 t0 时，则t1，即 0t1；当 t0 时，则t2，即2t0)的最大值为 1，则 m 的值是()A.209B.1 C.2 D.5解析 作出可行域，如图所示的阴影部分.化目标函数 zymx(m0)为 ymxz，由图可知，当直线 ymxz 过 A
15、 点时，直线在 y 轴的截距最大，由x1，xy3，解得x1，y2，即 A(1，2)，2m1，解得m1.故选 B.答案 B8.若函数 y2x 图象上存在点(x，y)满足约束条件xy30，x2y30，xm，则实数 m 的最大值为()A.12B.1 C.32D.2解析 在同一直角坐标系中作出函数 y2x 的图象及xy30，x2y30，xm.所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当 m1 时，函数 y2x 的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故 m 的最大值为 1.答案 B二、填空题9.(2020杭州质检)若实数 x，y 满足不等式组xy2，2xy4，xy0，则 2x3y 的最小值为_.解析
16、 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(1，1)，(4，4)，(2，0)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图易得当目标函数 z2x3y 经过平面区域内的点(2，0)时，z2x3y 取得最小值，zmin22304.答案 410.已知 O 是坐标原点，点 M 的坐标为(2，1)，若点 N(x，y)为平面区域xy2，x12，yx上的一个动点，则OM ON 的最大值是_.解析 依题意得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中 A12，12，B12，32，C(1，1).设 zOM ON 2xy，当目标函数 z2xy 过点 C(1，1)时，z2xy 取得最大值 3.答案 311
17、.已知实数 x，y 满足不等式组x2y40，3x4y80，2xy80，则|xy|的最大值为_.解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以 A(4，0)，B(8，8)，C(0，2)为顶点的三角形区域(包含边界)，设 zxy，则由图易得当 zxy经过平面区域内的点 A(4，0)时，zxy 取得最大值 zmax404，当 zxy经过平面区域内的点 C(0，2)时，zxy 取得最小值 zmin022，所以|xy|的取值范围为0，4，最大值为 4.答案 412.已知实数 x，y 满足2xy0，xy0，0 xa，设 bx2y，若 b 的最小值为2，则 b 的最大值为_.解析 作出不等式组
18、满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线 l0：x2y0，yx2b2，当 l0 平移至 A 点处时 b 有最小值，bmina，又 bmin2，a2，当 l0 平移至 B(a，2a)时，b 有最大值 bmaxa2(2a)5a10.答案 1013.(2019浙江名师预测卷四)实数 x，y 满足不等式组xy3，x1，y3，动点(x，y)对应的区域面积是_，z2xy1x1的最小值是_.解析 画出不等式组表示的平面区域易计算得区域面积等于12；z2xy1x12y3x1，其中y3x1表示点(1，3)与区域内的任意点(x，y)连线的斜率，当 x1，y2 时，斜率取得最小值12，则 zmin32.答案 12 3
19、214.(2020台州期末评估)已知 x，y 满足条件xy0，xy40，x10，则 2xy 的最大值是_，原点到点 P(x，y)的距离的最小值是_.解析 作出 x，y 满足条件xy0，xy40，x10，的可行域，如图中阴影部分所示(包含边界)，目标函数 z2xy 在xy40，xy0的交点 A(2，2)处取最大值，zmax2226，原点到点 P(x，y)的距离的最小值是|OB|2.答案 6 2能力提升题组15.若实数 x，y 满足不等式组x2y20，x2y20，2xy10，则 2|x1|y 的最大值是()A.143B.193C.4 D.1解析 设 z2|x1|y2xy2，x1，2xy2，x1，在
20、平面直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，是以 A(2，0)，B(0，1)，C43，53 为顶点的三角形区域(含边界)，z2xy2(x1)在点 A(2，0)处取得最大值 2；z2xy2(x1)在点 C43，53 处取得最大值193，故 z2|x1|y 的最大值是193.答案 B16.已知实数 x，y 满足xy0，x2y60，x3y0，则 xy 的最大值是()A.92B.10825C.4 D.7225解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，设直线 x2y60 与曲线 yzx相切于第一象限(z0)，切点为(x0，y0).由 yzx，得 y zx2，所以y0
21、 zx0，zx2012，x02y060，解得x03，y032，z92，所以 xy 的最大值为92，故选 A.答案 A17.已知不等式组x2y10，x2，xy10表示的平面区域为 D，若函数 y|x1|m 的图象上存在区域 D 上的点，则实数 m 的取值范围是()A.2，1 B.2，12C.0，12D.1，32解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的ABC 及其内部，而函数 y|x1|m 的图象可看作是由函数 y|x1|的图象上下平移而得到的，显然当平移至图中折线 a 和折线 b 及其之间的位置时均符合题意.当在折线 a 位置时，将点(2，1)代入即可求出 m2；当在折线 b 位置时，将点(1，
22、1)代入即可求出 m1，所以实数 m 的取值范围为2，1，故选 A.答案 A18.(2019浙江名师预测卷三)记不等式组12xy30，xy30，xy30表示的区域为，(x，y)为 内(含边界)上一点，若以原点为圆心，半径为 r 的圆与区域 无公共点，则 r的取值范围是_.解析 不等式组所表示的平面区域 为如图中阴影部分(包含边界)所示，以原点为圆心，半径为 r 的圆与区域 无公共点，即如图所示，所以临界状态下的圆与直线 xy30 相切，此时 r3 22，或者该圆过直线12xy30 与直线 xy30 的交点(4，1)，此时 r 17，所以满足题意的 r 的取值范围为 0r3 22 或 r 17.
23、答案 0，3 22(17，)19.若 x，y 满足约束条件xy20，xy40，y1，则|xy|xy|的取值范围为_.解析 根据约束条件画出可行域如图中ABC 区域(含边界)，A(1，3)，B(1，1)，C(3，1)，且ABC 区域在直线 lOB：xy0 的右侧，所以|xy|xy|xy|xy|2y（xy），2x（xy）.取 BC 的中点为 M，AC 的中点为 N，由图可知直线 lMN：xy0 将可行域分割为两部分，其中 M(1，1)，N(2，2)，当 xy 时，对应区域为MNC 区域(含边界)，22y4，当 xy 时，对应区域为四边形 ABMN区域(不含边界 MN)，22x4，所以|xy|xy|的取值范围是2，4.答案 2，420.已知实数 x，y 满足条件2x3y60，x4y80，3xy90，则 zxyxy的最大值为_，z 取得最大值的最优解为_.解析 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，当 x0，y2，此时 z02021，当 x0 时，令 uyx0，)，则 z1yx1yx1u1u2（1u）1u 21u12111，即 z 的最大值为 1，此时 uyx0，故最优解为(3，0).答案 1(3，0)