1、3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式学习目标：1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系(重点)2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换(重点、难点)自 主 预 习探 新 知二倍角公式S2：sin 22sin_cos_ .C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2 .T2：tan 2 .思考：你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？提示倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2是的二倍角，8是4的二倍角，是的二倍角等等基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切
2、公式的适用范围是任意角()(2)存在角，使得sin 22sin 成立()(3)对于任意的角，cos 22cos 都不成立()解析(1).二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求k(kZ)且k(kZ)，故此说法错误(2).当k(kZ)时，sin 22sin .(3).当cos 时，cos 22cos .答案(1)(2)(3)2sin 15sin 75的值为()A.B.C. D.B原式sin 15cos 15sin 30.3计算12sin222.5的结果为()【导学号：79402126】A. B.C. D.B12sin222.5cos 45.4已知cos ，则cos 2等
3、于_解析由cos ，得cos 22cos21221.答案合 作 探 究攻 重 难利用二倍角公式化简求值化简求值(1)cos4 sin4 ；(2)sin cos cos ；(3)12sin2 750；(4)tan 150.思路探究灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得解(1)cos4 sin4 cos .(2)原式cossin cos sin ，原式.(3)原式cos(2750)cos 1500cos(436060)cos 60，原式.(4)原式，原式.规律方法二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现主要形式有：2sin cos sin
4、 2，sin cos sin 2，cos ，cos2 sin2 cos 2，tan 2.(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式主要形式有：1sin 2sin2 cos2 2sin cos (sin cos )2，1cos 22cos2 ，cos2 ，sin2 .跟踪训练1求下列各式的值：(1)sin cos ；(2)2sin21；(3)cos 20cos 40cos 80.【导学号：79402127】解(1)原式.(2)原式22cos .(3)原式.利用二倍角公式解决条件求值问题(1)已知sin 3cos ，那么tan 2的值为()A2B2C. D(
5、2)已知sin，则cos的值等于()A. B.C D(3)已知cos ，sin ，是第三象限角，.求sin 2的值；求cos(2)的值思路探究(1)可先求tan ，再求tan 2；(2)可利用22求值；(3)可先求sin 2，cos 2，cos ，再利用两角和的余弦公式求cos(2)解析(1)因为sin 3cos ，所以tan 3，所以tan 2.(2)因为cossinsin，所以cos2cos21221.答案(1)D(2)C(3)因为是第三象限角，cos ，所以sin ，所以sin 22sin cos 2.因为，sin ，所以cos ，cos 22cos2 121，所以cos(2)cos 2
6、cos sin 2sin .规律方法直接应用二倍角公式求值的三种类型：(1)sin (或cos )cos (或sin )sin 2(或cos 2)(2)sin (或cos )cos 212sin2 (或2cos2 1)(3)sin (或cos )跟踪训练2(1)已知，sin ，则sin 2_，cos 2_，tan 2_.(2)已知sinsin，且，求tan 4的值解析(1)因为，sin ，所以cos ，所以sin 22sin cos 2，cos 212sin2 122，tan 2.答案(2)因为sinsincos，则已知条件可化为sincos，即sin，所以sin，所以cos 2.因为，所以2
7、(，2)，从而sin 2，所以tan 22，故tan 4.利用二倍角公式证明求证：sin 2.【导学号：79402128】思路探究可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边证明：法一左边sin cos cos sin cos sin 2右边原式成立法二左边cos2cos2tan cos sin sin 2右边规律方法证明问题的原则及一般步骤：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，
8、达到证明的目的跟踪训练3求证：cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B；解左边(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B右边，等式成立.倍角公式的灵活运用探究问题1在化简时，如何灵活使用倍角公式？提示在化简时，如果只是从的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将看成的倍角，可能会有另一种思路，原式.2如何求函数f(x)2cos2x12sin xcos x(xR)的最小正周期？提示求函数f(x)的最小正周期，可由f(x)(2cos2x1)(2sin xcos x)cos 2xsin 2x2sin，
9、知其最小正周期为.求函数f(x)5cos2xsin2x4sin xcos x，x的最小值，并求其单调减区间思路探究解f(x)52sin 2x32cos 2x2sin 2x343434sin34sin，x，2x，sin，所以当2x，即x时，f(x)取最小值为32.因为ysin在上单调递增，所以f(x)在上单调递减规律方法本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如yAsin(x)的形式，再利用函数图象解决问题.跟踪训练4求函数ysin4x2sin xcos xcos4 x的最小正周期和最小值，并写出该函数在0，上的单调递减区间解ysin4x2s
10、in xcos xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)2sin xcos xcos 2xsin 2x22sin，所以T，ymin2.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，又x0，所以令k0，得函数的单调递减区间为.当 堂 达 标固 双 基1已知sin x，则cos 2x的值为()A.B.C. D.A因为sin x，所以cos 2x12sin2 x122.2下列各式中，值为的是()【导学号：79402129】A2sin 15cos 15 Bcos215sin215C2sin2151 Dcos215sin215B2sin 15cos 152，cos215sin215cos 30，2sin2151cos 30，cos215sin2151，故选B.3.的值为()A BC. D.D原式cos2sin2cos .4已知tan ，则_.解析tan .答案5求下列各式的值：(1)cos cos ；(2)cos2.解(1)原式.(2)原式cos .第 12 页