1、第 3 节 基本不等式：abab2考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号.(3)其中ab2 称为正数 a，b 的算术平均数，ab称为正数 a，b 的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号.(2)abab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号.(3)a2b22ab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号.(4)baab2(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号.3.
2、利用基本不等式求最值已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p(简记：积定和最小).(2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是s24(简记：和定积最大).常用结论与易错提醒1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：abab22a2b22，abab2 a2b22(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.2.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.4.基本不等式
3、的一般形式：1n(a1a2a3an)n a1a2an(其中 a1，a2，a3，an(0，)，当且仅当 a1a2a3an 时等号成立).诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)当 a0，b0 时，ab2 ab.()(2)两个不等式 a2b22ab 与ab2 ab成立的条件是相同的.()(3)函数 yx1x的最小值是 2.()(4)函数 f(x)sin x 4sin x的最小值为 4.()(5)x0 且 y0 是xyyx2 的充要条件.()解析(2)不等式 a2b22ab 成立的条件是 a，bR；不等式ab2 ab成立的条件是 a0，b0.(3)函数 yx1x值域是(，22，)，没有最小值.(
4、4)函数 f(x)sin x 4sin x无最小值.(5)x0 且 y0 是xyyx2 的充分不必要条件.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为()A.80 B.77 C.81 D.82解析 xyxy2281，当且仅当 xy9 时取等号.答案 C3.若直线xayb1(a0，b0)过点(1，1)，则 ab 的最小值等于()A.2 B.3 C.4 D.5解析 因为直线xayb1(a0，b0)过点(1，1)，所以1a1b1.所以 ab(ab)1a1b 2abba22abba4，当且仅当 ab2 时取“”，故选 C.答案 C4.若函数 f(x)x 1x
5、2(x2)在 xa 处取最小值，则 a()A.1 2B.1 3C.3 D.4解析 当 x2 时，x20，f(x)(x2)1x222（x2）1x224，当且仅当 x2 1x2(x2)，即 x3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a3，选 C.答案 C5.(必修 5P100A2 改编)一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m 时菜园面积最大.解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m.则 x2y30，所以 Sxy12x(2y)12x2y222252，当且仅当 x2y，即 x15，y152 时取等号.答案 15 1526.已知正数 x，
6、y 满足 xy1，则 xy 的取值范围为_，1xxy的最小值为_.解析 正数 x，y 满足 xy1，y1x，0 x1，y1x，xy2x1，又 0 x1，02x2，12x10 且 x0，解得 0 x1)的最小值为_.(2)当 x0 时，x ax1(a0)的最小值为 3，则实数 a 的值为_.解析(1)yx22x1（x22x1）（2x2）3x1（x1）22（x1）3x1(x1)3x122 32.当且仅当 x1 3x1，即 x 31 时，等号成立.(2)因为当 x0，a0 时，x ax1x1 ax112 a1，当且仅当 x1 ax1时，等号成立，又 x ax1(a0)的最小值为 3，所以 2 a13
7、，解得 a4.答案(1)2 32(2)4考点二 常数代换或消元法求最值易错警示【例 2】(1)(2020浙江“超级全能生”联考)已知正数 x，y 满足 xy1，则 11x112y的最小值是()A.3328B.76C.32 25D.65(2)(一题多解)已知 x0，y0，x3yxy9，则 x3y 的最小值为_.解析(1)xy1，2x22y15，11x112y15(2x22y1)222x112y 15324y22x22x12y 32 25，当且仅当 2x24y24x4y10 时等号成立，故选 C.(2)由已知得 x93y1y.法一(消元法)因为 x0，y0，所以 0y3，所以 x3y93y1y 3
8、y 121y3(y1)62121y3（y1）66，当且仅当 121y3(y1)，即 y1，x3 时，(x3y)min6.法二 x0，y0，9(x3y)xy13x(3y)13x3y22，当且仅当 x3y 时等号成立.设 x3yt0，则 t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当 x3，y1 时，(x3y)min6.答案(1)C(2)6规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求
9、目标函数的不等式求解.易错警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练 2】(1)(一题多解)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值为_.(2)已知正数 x，y 满足 2xy2，则当 x_时，1xy 取得最小值为_.解析(1)法一 由 x3y5xy 可得 15y 35x1，3x4y(3x4y)15y 35x95453x5y12y5x 135 125 5(当且仅当3x5y12y5x，即 x1，y12时，等号成立)，3x4y 的最小值是 5.法二 由 x3y5xy，得 x 3y5y1，
10、x0，y0，y15，3x4y 9y5y14y13y15 95454y5y154y135 9515y154y15135 236255，当且仅当 x1，y12时等号成立，(3x4y)min5.(2)x，y 为正数，则 2xy2y22x00 x1，所以1x(22x)1x2x22 22，当且仅当1x2x，即 x 22 时等号成立.答案(1)5(2)22 2 22考点三 一般形式的基本不等式的应用(选用)【例 3】(一题多解)(2018全国卷)已知函数 f(x)2sin xsin 2x，则 f(x)的最小值是_.解析 法一 因为 f(x)2sin xsin 2x，所以 f(x)2cos x2cos 2x
11、4cos2x2cos x24cos x12(cos x1)，由 f(x)0 得12cos x1，即 2k3x2k3，kZ，由 f(x)0 得1cos x12，即 2k3x2k 或 2kx2k3，kZ，所以当 x2k3(kZ)时，f(x)取得最小值，且 f(x)minf2k32sin2k3 sin 22k3 3 32.法二 因为 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)4sinx2cosx22cos2x28sinx2cos3x2 833sin2x2cos6x2，所以f(x)2643 3sin2x2cos6x2643 3sin2x2cos2x2cos2x2cos2x244274
12、，当且仅当 3sin2x2cos2x2，即 sin2x214时取等号，所以 0f(x)2274，所以3 32 f(x)3 32，所以 f(x)的最小值为3 32.法三 因为 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，所以f(x)24sin2x(1cos x)24(1cos x)(1cos x)3，设 cos xt，则 y4(1t)(1t)3(1t1)，所以 y4(1t)33(1t)(1t)24(1t)2(24t)，所以当1t0；当12t1 时，y0，而(sin2 cos)2412sin2 12sin2 cos2412sin212sin2cos233 427，当且仅当12si
13、n2cos2，即 cos 33，0，2 时等号成立.sin2 cos 的最大值为2 39.(2)证明 因为 a，b，c 为正数且 abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333（ab）3（bc）3（ca）33(ab)(bc)(ca)3(2 ab)(2 bc)(2 ca)24.当且仅当 abc1 时，等号成立，所以(ab)3(bc)3(ca)324.基础巩固题组一、选择题1.下列不等式一定成立的是()A.lgx214 lg x(x0)B.sin x 1sin x2(xk，kZ)C.x212|x|(xR)D.1x211(xR)解析 当 x0 时，x2142x12x，所以 lgx214 lg x(
14、x0)，故选项 A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当 xk，kZ 时，sin x的正负不定，故选项 B 不正确；显然选项 C 正确；当 x0 时，有1x211，选项D 不正确.答案 C2.(2019诸暨期末)已知 a2b1(a0，b0)，则2ba 1b的最小值等于()A.4 B.2 22C.52D.2 21解析 由题意得2ba 1b2ba a2bb2ba ab222ba ab22 22，当且仅当a 2b 21 时，等号成立，所以2ba 1b的最小值为 2 22，故选 B.答案 B3.若正数 x，y 满足 4x29y23xy30，则 xy 的最大值是()A.43B.5
15、3C.2 D.54解析 由 x0，y0，得 4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当 2x3y 时等号成立)，12xy3xy30，即 xy2，当且仅当 x 3，y2 33 时取等号，xy 的最大值为 2.答案 C4.已知 a0，b0，ab1a1b，则1a2b的最小值为()A.4 B.2 2C.8 D.16解析 由 a0，b0，ab1a1babab，得 ab1，则1a2b21a2b2 2.当且仅当1a2b，即 a 22，b 2时等号成立.故选 B.答案 B5.若 a0，b0，且 ab4，则下列不等式恒成立的是()A.1ab14B.1a1b1C.ab2 D.a2b28解析 4ab2 a
16、b(当且仅当 ab 时，等号成立)，即 ab2，ab4，1ab14，选项 A，C 不成立；1a1babab 4ab1，选项 B 不成立；a2b2(ab)22ab162ab8，选项 D 成立.答案 D6.若实数 a，b 满足1a2b ab，则 ab 的最小值为()A.2B.2 C.2 2D.4解析 依题意知 a0，b0，则1a2b22ab2 2ab，当且仅当1a2b，即 b2a时，“”成立.因为1a2b ab，所以 ab2 2ab，即 ab2 2(当且仅当 a214，b254时等号成立)，所以 ab 的最小值为 2 2，故选 C.答案 C7.已知 a，b，c，d0，abcd2，则(a2c2)(b
17、2d2)的最大值是()A.4 B.8 C.16 D.32解析 （a2c2）（b2d2）a2c2b2d22（ab）2（cd）224，(a2c2)(b2d2)16，当 ad2，bc0 或 bc2，ad0 时取到等号，故选 C.答案 C8.(2019台州期末评估)已知实数 a，b 满足 a2b24，则 ab 的取值范围是()A.0，2B.2，0C.(，22，)D.2，2解析 a2b24，根据基本不等式得 4a2b22|ab|，|ab|2，2ab2，ab 的取值范围是2，2，故选 D.答案 D9.已知 xy1x4y8(x，y0)，则 xy 的最小值为()A.5 3B.9C.4 26D.10解析 由 x
18、y1x4y8 得 xy81x4y，则(xy8)(xy)1x4y(xy)5yx4xy 52yx4xy 9，当且仅当yx4xy，即 y2x 时，等号成立，令 txy，所以(t8)t9，解得 t1 或 t9，因为 xy0，所以 xy9，所以 xy 的最小值为 9，故选 B.答案 B二、填空题10.(2019天津卷)设 x0，y0，x2y5，则（x1）（2y1）xy的最小值为_.解析 x0，y0，xy0.x2y5，（x1）（2y1）xy2xyx2y1xy2xy6xy 2 xy 6xy2 124 3，当且仅当 2 xy 6xy，即 x3，y1 或 x2，y32时取等号.（x1）（2y1）xy的最小值为
19、4 3.答案 4 311.(2020镇海中学模拟)已知 a，b(0，)且 a2b3，则1a2b的最小值是_.解析 因为 a，b0，且 a2b3，所以1a2b1a2b a32b3 134323abba 53232abba53433，当且仅当abba，即 ab1 时取等号.答案 312.(2018江苏卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD1，则 4ac 的最小值为_.解析 因为ABC120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，所以ABDCBD60，由三角形的面积公式可得12acsin 12012a1sin 6012c
20、1sin 60，化简得 acac，又 a0，c0，所以1a1c1，则 4ac(4ac)1a1c 5ca4ac 52ca4ac 9，当且仅当 c2a 时取等号，故 4ac 的最小值为 9.答案 913.若正数 a，b 满足：1a1b1，则 1a1 9b1的最小值为_.解析 正数 a，b 满足1a1b1，abab，1a11b0，1b11a0，b1，a1，则 1a1 9b129（a1）（b1）29ab（ab）16(当且仅当 a43，b4 时等号成立)，1a1 9b1的最小值为 6.答案 614.(一题多解)若实数 x，y，z 满足 x2y3z1，x24y29z21，则 z 的最小值是_.解析 法一
21、因为 19z2(x2y)22x2y(x2y)22x2y22，又 x2y13z，则 19z212(13z)2，解得19z13，即 z 的最小值为19.法二 由 x2(2y)219z2，设 x 19z2cos，2y 19z2sin，则 13z19z2(cos sin)2（19z2）sin4，由三角函数的有界性，得|13z|2（19z2），解得19z13，即 z 的最小值为19.答案 19能力提升题组15.设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当xyz 取得最大值时，2x1y2z的最大值为()A.0 B.1 C.94D.3解析 由已知得 zx23xy4y2，(*)则xyz xyx23x
22、y4y21xy4yx 31，当且仅当 x2y 时取等号，把 x2y 代入(*)式，得 z2y2，所以2x1y2z1y1y1y21y1211.答案 B16.(2020金华一中月考)已知正实数 a，b 满足：ab1，则 2aa2bbab2的最大值是()A.2 B.1 2C.12 33D.13 22解析 因为正实数 a，b 满足 ab1，所以 2aa2bbab22aa21a1aa（1a）2a1a2a1.令 ta1(1，2)，则原式tt23t31t3t312 3332 3312 33.当且仅当 t3t，即 t 3a1，a 31，b2 3时取等号，故选 C.答案 C17.(一题多解)(2017北京卷改编
23、)已知 x0，y0，且 xy1，则 x2y2 的最小值为_，最大值为_.解析 法一 x0，y0 且 xy1，2 xyxy1，当且仅当 xy12时取等号，从而 0 xy14，因此 x2y2(xy)22xy12xy，所以12x2y21.法二 xy1，x0，y0，y1x，x0，1，x2y2x2(1x)22x22x12x12212，对称轴为 x12，故 x12时，有最小值为12，x0 或 x1 时有最大值为 1.法三 可转化为线段 AB 上的点到原点距离平方的范围.AB 上的点到原点距离的范围为22，1，则 x2y2 的取值范围为12，1.答案 12 118.(2020杭州四中仿真)已知实数 x，y，
24、z 满足xy2z1，x2y2z25，则 xyz 的最小值为_；此时 z_.解析 由 xy2z1 得 z1xy2，则 5x2y2z2x2y21xy222|xy|1xy22，即 x2y26xy190 或 x2y210 xy190，解得 52 11xy32 7，则 xyzxy1xy212xy12218，则当 xy52 11时，xyz 取得最小值9 1132，此时 z1xy2 112.答案 9 1132 11219.设 ab2，b0，则当 a_时，12|a|a|b 取得最小值为_.解析 由于 ab2，所以 12|a|a|b ab4|a|a|b a4|a|b4|a|a|b，由于 b0，|a|0，所以 b
25、4|a|a|b 2b4|a|a|b 1，因此当 a0 时，12|a|a|b 的最小值是14154.当 a0 时，12|a|a|b 的最小值是14134.故 12|a|a|b 的最小值为34，此时 b4|a|a|b，a0，且 a2b2c210，则 abacbc 的最大值是_，abac2bc 的最大值是_.解析 因为 abacbc2a22b22c2210，当且仅当 abc 时取等号，又因为 12 a2 xb22x ab(0 x1)，12 a2 yc22y ac(0y1)，(1 x)b2 (1 y)c22（1x）（1y）bc，令 2x 2y（1x）（1y），即 xy23，故此时有 a2b2c2(31)(abac2bc)，即 abac2bc5 35，当且仅当 22 a(2 3)b(2 3)c 时取等号.答案 10 5 35