1、第 2 课时 平面向量的综合应用题型一 平面向量与三角函数命题点 1 向量与三角恒等变换的结合例 1 已知 a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.且 ab(0,1)，则 _，_.答案 56 6解析 因为 ab(0,1)，所以coscos0，sinsin1，由此得 coscos()由 0，得 0，又 0，所以 56，6.命题点 2 向量与三角函数的结合例 2 已知向量 a(sinx，32)，b(cosx，1)(1)当 ab 时，求 tan2x 的值；(2)求函数 f(x)(ab)b 在2，0上的值域解(1)ab，sinx(1)32cosx0，即 sinx32cosx0，tanx32，t
2、an2x 2tanx1tan2x125.(2)f(x)(ab)babb2sinxcosx32cos2x112sin2x3212cos2x121 22 sin(2x4)2x0，2x0，34 2x44，22 22 sin(2x4)12，f(x)在2，0上的值域为 22，12命题点 3 向量与解三角形的结合例 3 已知函数 f(x)ab，其中 a(2cosx，3sin2x)，b(cosx,1)，xR.(1)求函数 yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f(A)1，a 7，且向量 m(3，sinB)与 n(2，sinC)共线，求边长 b 与 c 的值
3、解(1)f(x)2cos2x 3sin2x1cos2x 3sin2x12cos(2x3)，令 2k2x32k(kZ)，解得 k6xk3(kZ)，函数 yf(x)的单调递减区间为 k6，k3(kZ)(2)f(A)12cos(2A3)1，cos(2A3)1，又32A3 32，从而得到 sinC 的取值范围是 32，1题型二 向量与学科知识的交汇命题点 1 向量与不等式相结合例 4(1)设 e1，e2 是平面内两个不共线的向量，AB(a1)e1e2，ACbe12e2(a0，b0)，若 A，B，C 三点共线，则1a2b的最小值是()A2B4C6D8(2)已知 x，y 满足yx，xy2，xa，若OA(x
4、,1)，OB(2，y)，且OA OB 的最大值是最小值的 8倍，则实数 a 的值是_答案(1)B(2)18解析(1)因为 A，B，C 三点共线，所以(a1)(2)1b，所以 2ab2.因为 a0，b0，所以1a2b2ab2(1a2b)22ab b2a222ab b2a4(当且仅当2ab b2a，即 a12，b1 时取等号)(2)因为OA(x,1)，OB(2，y)，所以OA OB 2xy，令 z2xy，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当直线 z2xy 过点 C(1,1)时，zmax2113，目标函数 z2xy 过点 F(a，a)时，zmin2aa3a，所
5、以 383a，解得 a18.命题点 2 向量与数列结合例 5(2016浙江五校联考)设数列xn的各项都为正数且 x11.如图，ABC 所在平面上的点Pn(nN*)均满足PnAB 与PnAC 的面积比为 31，若(2xn1)PnC PnA 13xn1PnB，则 x5的值为()A31B33C61D63答案 A解析 在(2xn1)PnC PnA 13xn1PnB 中，令PnD(2xn1)PnC，作出图形如图所示，则(2xn1)PnC PnA PnE13xn1PnB，所以|PnE|PnB|13xn1，nnP AEP ABSS13xn1.又|PnC|PnD|PnCAE 12xn1，所以nnP ACP A
6、DSSnnP ACP AESS12xn1，则nnP ACP ABSSxn132xn113，所以 xn12xn1，xn112(xn1)，故xn1构成以 2 为首项、2 为公比的等比数列，所以 x5122432，则 x531，故选 A.思维升华 向量与其他知识的结合，多体现向量的工具作用，利用向量共线或向量数量积的知识进行转化，“脱去”向量外衣，利用其他知识解决即可跟踪训练 2(1)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组0 x 2，y2，x 2y给定若M(x，y)为 D 上的动点，点 A 的坐标为(2，1)，则 zOM OA 的最大值为()A3B4C3 2D4 2(2)(2017浙江
7、新高考预测)角 A，B，C 为ABC 的三个内角，向量 m 满足|m|62，且 m(2sinBC2，cosBC2)，当角 A 最大时，动点 P 使得|PB|，|BC|，|PC|成等差数列，则|PA|BC|的最大值是()A.2 33B.2 23C.24D.3 24答案(1)B(2)A解析(1)由线性约束条件0 x 2，y2，x 2y画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，目标函数 zOM OA 2xy，将其化为 y 2xz，结合图象可知，当直线 z 2xy 过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入 z 2xy，得 z 的最大值为 4.(2)设 BC2a，BC 的中点为 D.由题意得|m|2(
8、2sinBC2)2(cosBC2)21cos(BC)121cos(BC)3212cosBcosC32sinBsinC32，则12cosBcosC32sinBsinC，化简得 tanBtanC13，则 tanAtan(BC)tanBtanC1tanBtanC32(tanBtanC)322 tanBtanC 3，当且仅当 tanBtanC 33 时，等号成立，所以当角A 最大时，A23，BC6，则易得 AD 3a3.因为|PB|，|BC|，|PC|成等差数列，所以 2|BC|PB|PC|，则点 P 在以 B，C 为焦点，以 2|BC|4a 为长轴的椭圆上，由图(图略)易得当点 P 为椭圆的与点 A
9、 在直线 BC 的异侧的顶点时，|PA|取得最大值，此时|PD|2a2a2 3a，则|PA|PD|AD|4 3a3，所以|PA|BC|4 3a32a 2 33，故选 A.题型三 和向量有关的创新题例 6 称 d(a，b)|ab|为两个向量 a，b 间的“距离”若向量 a，b 满足：|b|1；ab；对任意的 tR，恒有 d(a，tb)d(a，b)，则()AabBb(ab)Ca(ab)D(ab)(ab)答案 B解析 由于 d(a，b)|ab|，因此对任意的 tR，恒有 d(a，tb)d(a，b)，即|atb|ab|，即(atb)2(ab)2，t22tab(2ab1)0 对任意的 tR 都成立，因此
10、有(2ab)24(2ab1)0，即(ab1)20，得 ab10，故 abb2b(ab)0，故 b(ab)思维升华 解答创新型问题，首先需要分析新定义(新运算)的特点，把新定义(新运算)所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义(新运算)信息题难点的关键所在 定义一种向量运算“”：abab，当a，b不共线时，|ab|，当a，b共线时(a，b 是任意的两个向量)对于同一平面内向量 a，b，c，e，给出下列结论：abba；(ab)(a)b(R)；(ab)cacbc；若 e 是单位向量，则|ae|a|1.以上结论一定正确的是_(填上所有正确结论的序号)答案 解析 当 a，b
11、 共线时，ab|ab|ba|ba，当 a，b 不共线时，ababbaba，故是正确的；当 0，b0 时，(ab)0，(a)b|0b|0，故是错误的；当 ab 与 c 共线时，存在 a，b 与 c 不共线，(ab)c|abc|，acbcacbc，显然|abc|acbc，故是错误的；当 e 与 a 不共线时，|ae|ae|a|e|a|1，当 e 与 a 共线时，设 aue，uR，|ae|ae|uee|u1|u|1，故是正确的综上，结论一定正确的是.三审图形抓特点典例(2016镇海一模)已知 A，B，C，D 是函数 ysin(x)(0,02)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A6，0，B 为 y
12、 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与 D 关于点 E 对称，CD 在 x 轴上的投影为 12，则，的值为()A2，3B2，6C12，3D12，6E为函数图象的对称中心，C为图象最低点 作出点C的对称点MD、B两点对称CD和MB对称 CD 在x轴上的投影是 12BM在x轴上的投影OF 12(,0)6A AF4 T 2ysin2x和ysin2x图象比较26 3解析 由 E 为该函数图象的一个对称中心，作点 C 的对称点 M，作 MFx 轴，垂足为 F，如图B 与 D 关于点 E 对称，CD 在 x 轴上的投影为 12，知 OF 12.又 A6，0，所以 AFT4
13、 24，所以 2.同时函数 ysin(x)图象可以看作是由 ysin x 的图象向左平移得到，故可知26，即 3.答案 A1在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 2ABACa2(bc)2，acosBbcosA2csinC，b2 3，则ABC 的面积为()A.3 34 B.3 32 C3 3D6 3答案 C解析 由已知得 2bccosAa2(bc)2，又 a2b2c22bccosA，cosA12，0A，A23.又 sinAcosBcosAsinB2sin2C,0C，可得 C6，BC6，bc2 3，SABC12bcsinA3 3.2(2016镇海中学模拟)在ABC 中，角
14、 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 20aBC15bCA12cAB0，则ABC 最小角的正弦值等于()A.45B.34C.35D.74答案 C解析 20aBC15bCA12cAB0，20a(ACAB)15bCA12cAB0，(20a15b)AC(12c20a)AB0，AC与AB不共线，20a15b0，12c20a0，b43a，c53a，ABC 最小角为角 A，cosAb2c2a22bc169 a2259 a2a2243a53a45，又 0A，sinA35，故选 C.3.函数 ytan(x4 2)(0 x4)的图象如图所示，A 为图象与 x 轴的交点，过点 A 的直线 l 与函数的图象交
15、于 C，B 两点则(OB OC)OA 等于()A8B4C4D8答案 D解析 因为函数 ytan(x4 2)(0 x4)的图象对称中心是(4k2,0)(kZ)，所以点 A 的坐标是(2,0)因为点 A 是对称中心，所以点 A 是线段 BC 的中点，所以OC OB 2OA，所以(OB OC)OA 2OA OA 2(OA)2248.故选 D.4设向量 a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种运算：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知向量 m(12，4)，n(6，0)点 P 在 ycosx 的图象上运动，点 Q 在 yf(x)的图象上运动，且满足OQ mOP n(其中 O 为
16、坐标原点)，则 yf(x)在区间6，3上的最大值是()A4B2C2 2D2 3答案 A解析 设OP(x0，y0)，OQ(x，y)，由题意可得 y0cosx0，OQ(x，y)mOP n(12，4)(x0，y0)(6，0)(12x0,4y0)(6，0)(12x06，4y0)，即 x12x06，y4y0，即 x02x3，y014y，所以14ycos(2x3)，即 y4cos(2x3)因为点 Q 在 yf(x)的图象上运动，所以 f(x)4cos(2x3)，当6x3时，02x33，所以当 2x30 时，f(x)取得最大值 4.5记 maxx，yx，xy，y，xy，minx，yy，xy，x，x|ab|，
17、此时，|ab|2|a|2|b|2；当 a，b 夹角为钝角时，|ab|a|2|b|2；当 ab 时，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故选 D.6(2017浙江新高考预测一)如图，在扇形 OAB 中，AOB60，C 为弧 AB 上与 A，B 不重合的一个动点，且OC xOA yOB，若 uxy(0)存在最大值，则 的取值范围为()A(1,3)B(13，3)C(12，1)D(12，2)答案 D解析 设BOC，则AOC3，因为OC xOA yOB，所以OB OC xOB OA yOB 2，OA OC xOA 2yOA OB，即cos12xy，cos3x12y，解得 x23cos43cos(3)2
18、 33 sin，ycos 33 sin，所以 u2 33 sin(cos 33 sin)(2 33 33)sincos2 33 33 22sin()，其中 tan2 33 33，因为 06，所以2 33 33 33，整理得212 0，解得120，0，|2)在一个周期内的图象如图所示，M，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM ON 0(O 为坐标原点)，则 A 等于()A.6B.712C.76D.73答案 B解析 由题意知 M(12，A)，N(712，A)，又OM ON 12712A20，A 712.8已知在ABC 中，ABa，ACb，ab0，SABC154，|a|3，|b|5，则BAC_
19、.答案 150解析 ABAC0，BAC 为钝角，又SABC12|a|b|sinBAC154，sinBAC12，又 0BAC180，又 0BAC180，BAC150.9已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2，3)，动点 P(x，y)满足不等式 0OP OM 1,0OP ON 1，则 zOQ OP 的最大值为_答案 3解析 OP(x，y)，OM(1,1)，ON(0,1)，OQ(2,3)，OP OM xy，OP ON y，OQ OP 2x3y，即在0 xy1，0y1条件下，求 z2x3y 的最大值，由线性规划知识，得当 x0，y1 时，zmax3.10(2016温州
20、一模)已知ABC 中，|BC|1，BABC2，点 P 为线段 BC 上的动点，动点 Q满足PQ PAPBPC，则PQ PB的最小值为_答案 34解析 设BPBC，0,1，则PABABPBABC，PBBC，PC(1)BC，所以PQ(BABC)BC(1)BCBA(13)BC，所以PQ PBBA(13)BC(BC)BCBA(13)BC 2323，当 12时，PQ PB取得最小值34.11设非零向量 a，b 的夹角为，记 f(a，b)acosbsin，若 e1，e2 均为单位向量，且 e1e2 32，则向量 f(e1，e2)与 f(e2，e1)的夹角为_答案 2解析 由 e1e2 32，可得 cose
21、1，e2 e1e2|e1|e2|32，又e1，e20，故e1，e26，e2，e1e2，e156.f(e1，e2)e1cos6e2sin6 32 e112e2，f(e2，e1)e2cos56(e1)sin56 12e1 32 e2.f(e1，e2)f(e2，e1)(32 e112e2)(12e1 32 e2)32 e1e20.所以 f(e1，e2)f(e2，e1)，故向量 f(e1，e2)与 f(e2，e1)的夹角为2.12已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(cosC2，sinC2)，n(cosC2，sinC2)，且 m 与 n 的夹角为3.(1)求角 C；(
22、2)已知 c72，SABC3 32，求 ab 的值解(1)mncos2C2sin2C2cosC，又 mn|m|n|cos312，0C，C3.(2)SABC12absinC12absin3 34 ab，34 ab3 32，ab6，由余弦定理得 cosCa2b2c22ab，即12ab22abc22abab21272212，解得 ab112.13(2016台州高三第二次适应性考试)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABACBABC，sinA 53.(1)求 sinC 的值；(2)设 D 为 AC 的中点，若ABC 的面积为 8 5，求 BD 的长解(1)由ABACBABC得AB(ACBC)0，即(ACBC)(ACBC)|AC|2|BC|20，|AC|BC|，AB，A 与 B 都是锐角，cosA 1sin2A23，sinCsin(AB)sin(AB)sin2A2sinAcosA4 59.(2)由 S12absinC2 59 a28 5，得 ab6，CD3，BC6，又 cosCcos(2A)cos2A(12sin2A)19，在BCD 中，由余弦定理得BD2CD2BC22CDBCcosC32622361941，BD 41.
