1、第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分(重点、难点)1.通过微积分基本定理的学习，体现了数学抽象的核心素养.2.借助于利用定积分求曲边梯形的面积，培养学生的数学运算及直观想象的核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1微积分基本定理 内容如果 f(x)是区间a，b上的_函数，并且 F(x)_，那么abf(x)dx_.符号abf(x)dxF(x)ba _.连续f(x)F(b)F(a)F(b)F(a)思考：满足 F(x)f(x)的函数 F(x)唯一
2、吗？提示 不唯一，如 F1(x)x1，F2(x)x5，等其导数为 1，故 F(x)不唯一2定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下则(1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图，则abf(x)dx_(2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图，则abf(x)dx_S 上S 下(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图，则abf(x)dx_，若 S 上S 下，则abf(x)dx_.图 图 图S 上S 下01若 a01(x2)dx，则被积函数的原函数为()Af(x)x2 Bf(x)x2CCf(x)12x22xCDf(x)x22x答案 C202
3、cos xdx_.1 02cos xdxsin x20sin 2sin 01.3如图所示，定积分abf(x)dx 的值用阴影面积 S1，S2，S3 表示为abf(x)dx_.S1S2S3 根据定积分的几何意义知abf(x)dxS1S2S3.合 作 探 究 释 疑 难 求简单函数的定积分【例 1】求下列定积分(1)01(2xex)dx；(2)121x3cos x dx；(3)02sin x2cos x22 dx；(4)03(x3)(x4)dx.解(1)01(2xex)dx(x2ex)10(1e1)(0e0)e.(2)121x3cos x dx(ln x3sin x)21 (ln 23sin 2)
4、(ln 13sin 1)ln 23sin 23sin 1.(3)sin x2cos x2212sin x2cos x21sin x，02sin x2cos x22dx02(1sin x)dx(xcos x)202cos 2(0cos 0)21.(4)(x3)(x4)x27x12，03(x3)(x4)dx03(x27x12)dx 13x372x212x30 9632 36272.(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数 F(x)(2)由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)；第二步：计算函数的增量 F(b)F(a)跟进
5、训练1计算下列定积分(1)12 xx21x dx；(2)02 cos2 x2sin2 x2 dx；(3)49 x(1 x)dx.解(1)12xx21x dxx2x33ln x21 483ln 2 113 ln 223.(2)02 cos2 x2sin2 x2 dx02 cos xdxsin x201.(3)49 x(1 x)dx49(xx)dx23x32x22 94 2327812 238162 18812 163 82716.求分段函数的定积分【例 2】计算下列定积分(1)f(x)sin x，0 x2，1，2x2，x1，2x4，求04f(x)dx；(2)02|x21|dx.思路探究：(1)按
6、 f(x)的分段标准，分成0，2，2，2，(2,4三段求定积分，再求和(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分 解(1)04f(x)dx02 sin xdx22 1dx24(x1)dx(cosx)20 x 2212x2x42 122(40)72.(2)02|x21|dx01(1x2)dx12(x21)dxx13x310 13x3x21 2.1本例(2)中被积函数 f(x)含有绝对值号，可先求函数 f(x)的零点，结合积分区间，分段求解2分段函数在区间a，b上的定积分可分成 n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行3带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解跟进训练
7、2(1)f(x)12x，0 x1，x2，1x2，求02f(x)dx.(2)求22|x2x|dx 的值解(1)02f(x)dx01(12x)dx12x2dx(xx2)10 13x321 273133.(2)|x2x|x2x，2x0，xx2，0 x1，x2x，1x2，22|x2x|dx 20(x2x)dx01(xx2)dx12(x2x)dx 13x312x202 12x213x310 13x312x221 143 1656173.利用定积分求参数探究问题1求 f(a)01(2ax2a2x)dx 的表达式 提示 f(a)01(2ax2a2x)dx23ax312a2x210 23a12a2.2试求 f
8、(a)取得最大时 a 的值 提示 f(a)23a12a212a243a49 29 12a23229，当 a23时，f(a)的最大值为29.【例 3】(1)已知 t0，f(x)2x1，若0tf(x)dx6，则 t_.(2)已知 212(kx1)dx4，则实数 k 的取值范围为_.解(1)0tf(x)dx0t(2x1)dxt2t6，解得 t3 或2，t0，t3.(2)12(kx1)dx12kx2x21 32k1.由 232k14，得23k2.1(变条件)若将例 3(1)中的条件改为0tf(x)dxft2，求 t.解 由0tf(x)dx0t(2x1)dxt2t，又 ft2 t1，t2tt1，得 t1
9、.2(变条件)若将例 3(1)中的条件改为0tf(x)dxF(t)，求 F(t)的最小值解 F(t)0tf(x)dxt2tt12214(t0)，当 t12时，F(t)min14.利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限课 堂 小 结 提 素 养 1求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分2由于定积分
10、的值可取正值，也可取负值，还可以取 0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在 x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数1下列值等于 1 的是()A01xdx B01(x1)dx C011dx D0112dxC 选项 A，因为x22x，所以01xdxx22 10 12；选项 B，因为x22xx1，所以01(x1)dxx22x10 32；选项 C，因为 x1，所以011dxx10 1；选项 D，因为12x12，所以0112dx12x10 12.2若1a2x1x dx3ln 2，则 a 的值是()A5 B4 C3 D2D 1a2x1x dxx2ln xa
11、1 a2ln a1，a213，且 ln aln 2，故 a2.3.02x223x dx_.43 02x223x dx02x2dx0223xdx x33 20 x23 20 834343.4设函数 f(x)x21，0 x1，3x，1x2，则02f(x)dx_.176 02f(x)dx01(x21)dx12(3x)dxx33x10 3xx22 21176.5已知 f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且 f(0)2，01f(x)dx0，求 f(x)的解析式解 设 f(x)ax2bxc(a0)，abc0.f(x)2axb，f(0)b2.01f(x)dx01(ax2bxc)dx13ax312bx2cx10 13a12bc0.由得 a32，b2，c12，f(x)32x22x12.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!