1、第4讲随机变量的概率分布考试要求1.取有限个值的离散型随机变量及其概率分布的概念，A级要求；2.概率分布对于刻画随机现象的重要性，A级要求；3.超几何分布及其简单应用，A级要求知 识 梳 理1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，表示所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量2离散型随机变量的概率分布及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的概率分布，有时为了表达简单，也用等式P
2、(Xxi)pi，i1,2，n表示X的概率分布(2)离散型随机变量概率分布的性质pi0(i1,2，n)；p1p2pn1.3常见离散型随机变量的概率分布(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其概率分布为X01P1pp其中pP(X1)称为成功概率(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件“Xr”发生的概率为P(Xr)，r0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，称分布列为超几何分布.X01mP诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能
3、值表示的事件是彼此互斥的()(3)如果随机变量X的概率分布由下表给出，X25P0.30.7则它服从两点分布()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布()解析对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(3)，X的取值不是0,1，故不是两点分布，所以(3)不正确答案(1)(2)(3)(4)2袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是_(填序号)至少取到1个白球；至多取到1个白球；取到白球的个数；取到的球的个数解析，表述的都是随机事件，是确定的值2，并不随机；是随机变量，可能取值为0,1,2.
4、答案3(选修23P48练习3改编)设随机变量X的概率分布如下：X12345Pp则p为_解析由分布列的性质，p1，p1.答案4已知离散型随机变量的概率分布为123nP则k的值为_解析由1，即1，k1.答案15从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X1的概率为_解析P(X1).答案考点一离散型随机变量概率分布的性质【例1】 设离散型随机变量X的概率分布为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X1的概率分布；(2)|X1|的概率分布解由概率分布的性质知：020.10.10.3m1，m0.3.首先列表为X012342X113579|X1|10123从而
5、由上表得两个概率分布为(1)2X1的概率分布2X113579P0.20.10.10.30.3(2)|X1|的概率分布为|X1|0123P0.10.30.30.3规律方法(1)利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证两个概率值均为非负数(2)若X是随机变量，则|X1|等仍然是随机变量，求它的概率分布可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出概率分布【训练1】 (2017苏州期末)设随机变量X的概率分布如下表，则P(|X2|1)_.X1234Pm解析由|X2|1得X1或3，m1，P(|X2|1)P(X1)P(X3).答案考点二离散型随机变量的
6、概率分布【例2】 (2016天津卷节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的概率分布解(1)由已知，有P(A).所以，事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).所以，随机变量X的概率分布为X012P规律方法求离散型随机变量X的概率分布的步骤：(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i1,2,3，
7、n)；(2)求出各取值的概率P(Xxi)pi；(3)列成表格并用概率分布的性质检验所求的概率分布或某事件的概率是否正确提醒求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.【训练2】 (2017常州期末)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的概率分布解(
8、1)P(当天商店不进货)P(当天商品销售量为0件)P(当天商品销售量为1件).(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X2)P(当天商品销售量为1件)；P(X3)P(当天商品销售量为0件)P(当天商品销售量为2件)P(当天商品销售量为3件).所以X的概率分布为X23P考点三超几何分布【例3】 (2017苏州测试)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的概率分布解(1)设事件A：选派的三人中恰有2人会法语，则P(A).(2)依题意
9、知X的取值为0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，X的概率分布为X0123P规律方法超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型【训练3】 (2017南通调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物根据现行国家标准GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方
10、米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)25,35(35,45(45,55(55,65(65,75(75,85频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X的概率分布解(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A).
11、(2)依据条件，X服从超几何分布，其中N10，M3，n3，且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).因此X的概率分布为X0123P思想方法1对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率2求离散型随机变量的概率分布，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率易错防范掌握离散型随机变量的概率分布，须注意：1分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二
12、行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率2要会根据概率分布的两个性质来检验求得的概率分布的正误3超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1某射手射击所得环数X的概率分布为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为_解析P(X7)P(X8)P(X9)
13、P(X10)0.280.290.220.79.答案0.792设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)等于_解析由已知得X的所有可能取值为0,1，且P(X1)2P(X0)，由P(X1)P(X0)1，得P(X0).答案3(2017常州期末)设X是一个离散型随机变量，其概率分布为：X101P23qq2则q的值为_解析由概率分布的性质知解得q.答案4设离散型随机变量X的概率分布为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y|X2|，则P(Y2)_.解析由概率分布的性质，知020.10.10.3m1，m0.3.由Y2，即|X2|2，得X4或X0，P(Y
14、2)P(X4或X0)P(X4)P(X0)0.30.20.5.答案0.55袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止若抽取的次数为，则“放回5个红球”事件可以表示为_解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故6.答案66(2017南通调研)从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是_解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P.答案7已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是_解析设X取x1，x2，
15、x3时的概率分辊为ab，a，ad，则(ad)a(ad)1，a，得d.答案8袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量，则P(6)_.解析P(6)P(取到3只红球1只黑球)P(取到4只红球).答案二、解答题9(2017苏北四市调研)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：一般良好优秀一般221良好4m1优秀13n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为.(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取
16、2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的概率分布解(1)用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6n)名，P(A)，解得n2，m4，用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”，P(B)1.(2)随机变量X的可能取值为0,1,2.20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有8名，P(X0)，P(X1)
17、，P(X2)，X的概率分布为X012P10.(2017苏、锡、常、镇四市调研)某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的概率分布解(1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，则P(A)，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为.(2)随机变量X的所有
18、取值为0,5,10,15,20.P(X0)，P(X5)，P(X10)，P(X15)，P(X20).所以，随机变量X的概率分布为X05101520P能力提升题组(建议用时：20分钟)11随机变量X的概率分布如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)等于_解析a，b，c成等差数列，2bac.又abc1，b，P(|X|1)ac.答案12随机变量X的概率分布规律为P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为_解析因为P(Xn)(n1,2,3,4)，所以a1.所以a，故PP(X1)P(X2).答案13在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，
19、再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数的概率分布为_解析的所有可能值为0,1,2.P(0)，P(1)，P(2).的概率分布为012P答案012P14(2017南通、扬州、泰州三市调研)盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1分现从盒内任取3个球(1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设X为取出的3个球中白色球的个数，求X的概率分布解(1)P1.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(BC)P(B)P(C).(3)X可能的取值为0,1,2,3，X服从超几何分布，所以P(Xk)，k0,1,2,3.故P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的概率分布为X0123P特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.