1、把脉高考 理清考情考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优 课时规范训练 第 6 课时 空间直角坐标系及空间向量 考纲点击1.以常见几何体为背景、建立空间直角坐标系，写出点的坐标.2.在几何体中进行空间向量的运算.3.研究空间向量的共线、共面问题.1(2014高考广东卷)已知向量 a(1,0，1)，则下列向量中与 a 成 60夹角的是()A(1,1,0)B(1，1,0)C(0，1,1)D(1,0,1)解析：选 B.各选项给出的向量的模都是 2，|a|2.对于选项 A，设 b(1,1,0)，则 cosa，b ab|a|b|112 212.因为 0a，b180，所以a，b120，A 错 对于选项 B
2、，设 b(1，1,0)，则 cosa，b ab|a|b|112 212.因为 0a，b180，所以a，b60，B 正确 对于选项 C，设 b(0，1,1)，则 cosa，b ab|a|b|112 212.因为 0a，b180，所以a，b120，C 错 对于选项 D，设 b(1,0,1)，则 cosa，b ab|a|b|112 21.因为 0a，b180，所以a，b180，D 错故选 B.2(2015高考四川卷)如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E，F分别为 AB，BC 的中点，设异面直线 EM 与 AF 所成的角为，则cos
3、的最大值为解析：以 AB，AD，AQ 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，设正方形边长为 2，M(0，y,2)(0y2)，则 A(0,0,0)，E(1,0,0)，F(2,1,0)，EM(1，y,2)，|EM|y25，AF(2,1,0)，|AF|5，cos|EM AF|EM|AF|y2|5y25 2y5y25.令 t2y，要使 cos 最大，显然 0t2.cos 15 t94tt2 15 13t23259 1513223259 15 2525.当且仅当 t2，即点 M 与点 Q 重合时，cos 取得最大值25.答案：25考点一 空间向量的线性运算命题点
4、 空间向量基本定理1(1)空间直角坐标系 名称内容 空间直角坐标系以空间一点 O 为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x 轴、y 轴、z轴，这时建立了一个空间直角坐标系 O-xyz 坐标原点点 O 坐标轴、坐标平面通过每两个坐标轴的平面 x轴y轴z轴(2)空间中点 M 的坐标 空间中点 M 的坐标常用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中 x 叫做点 M 的，y 叫做点 M 的，z 叫做点 M 的 建立了空间直角坐标系后，空间中的点 M 和有序实数组(x，y，z)可建立一一对应的关系 横坐标纵坐标竖坐标(3)空间两点间的距离 设 A(x1，y1，
5、z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|x2x12y2y12z2z12.AB.(x2x1，y2y1，z2z1)2(1)空间向量线性运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：OB OA ABab；BAOA OB ab；OP a(R)(2)运算律：加法交换律：ab；加法结合律：(ab)c；数乘分配律：(ab).baa(bc)ab(3)空间向量有关定理 共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数，使得 ab.共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p与向量 a，b 共面的充要条件是存在的有序实数对(x，y)，使 pxay
6、b.空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x，y，z，使得 pxaybzc.其中，a，b，c叫做空间的一个基底 实数x，y不共面1.(2017舟山月考)如图所示，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB、AC，M、N 分别为 OA、BC 的中点，点 G 在线段 MN上，且MG 2GN，若OG xOA yOB zOC，则 x，y，z 的值分别为解析：连接 ON，OG OM MG OM 23MN OM 23(ON OM)13OM 23ON 13OM 2312(OBOC)1312OA 13OB 13OC 16OA 13OB 13OC.x16，y13，z1
7、3.答案：16，13，132正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，点 M 在 AC1 上且AM12MC1，N 为 B1B 的中点，则|MN|为()A.216 aB.66 aC.156 aD 153 a解析：选 A.以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则 A(a,0，0)，C1(0，a，a)，Na，a，a2.设 M(x，y，z)点 M 在 AC1 上且AM 12MC1，(xa，y，z)12(x，ay，az)，x23a，ya3，za3.M2a3，a3，a3，|MN|a23a 2aa32a2a32 216 a.三角形法则，首先使两个向量首尾相接，平行四边形法则，使两向量
8、共起点.考点二 共线向量、共面向量命题点 基底的选取1证明空间三点 P，A，B 共线的方法(1)PAPB(R)；(2)对空间任一点 O，OPOA tAB(tR)；(3)对空间任一点 O，OPxOA yOB(xy1)2证明空间四点 P，M，A，B 共面的方法(1)MP xMA yMB；(2)对空间任一点 O，OPOM xMA yMB；(3)对空间任一点 O，OPxOM yOAzOB(xyz1)；(4)PM AB(或PAMB 或PBAM)1已知 a(x,4,1)，b(2，y，1)，若 ab，则 a 与 b的夹角为解析：ab，x24y 11，x2，y4.a(2,4,1)，b(2，4，1)，ab，a，
9、b.答案：2.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D 为 BC 边上的中点，求证：A1B平面 AC1D.证明：设BAa，BB1 c，BCb，则BA1 BAAA1 BABB1 ac，AD ABBD AB12BCa12b，AC1 ACCC1 BCBABB1 bac，BA1 AC1 2AD，A1B平面 AC1D，A1B平面 AC1D.证明线面平行的向量方法：大前提直线在平面外,1证明线所在的向量用该平面的向量表示出来；,2证明线所在的向量与平面的法向量垂直.考点三 空间向量数量积的应用命题点 数量积的计算1设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则 abx1x2y1y2z1z2.2
10、运算律：交换律：abba；数乘的结合律：(a)(a)a；分配律(ab)cabbc.3直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个(2)一个平面的法向量是与平面垂直的向量，有无数多个，任意两个都是共线向量(1)线线平行：lmabakb，kR；线面平行：lauau0；面面平行：uvukv，kR.(2)线线垂直：lmabab0；线面垂直：lauaku，kR；面面垂直：uvuv0.1(2017山东临沂一模)若直线 l 的方向向量为 a(1,0,2)，平面 的法向量为 n(2,0，4)，则()AlBlClDl 与 斜交解析：选
11、B.a(1,0,2)，n(2,0，4)，即 n2a，故an，l.2.如图，在多面体 ABC-A1B1C1 中，四边形 A1ABB1 是正方形，ABAC，BC 2AB，B1C112BC，二面角 A1-AB-C 是直二面角求证：(1)A1B1平面 AA1C；(2)AB1平面 A1C1C.证明：二面角 A1-AB-C 是直二面角，四边形 A1ABB1 为正方形，AA1平面 BAC.又ABAC，BC 2AB，CAB90，即 CAAB，AB，AC，AA1 两两互相垂直 建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB2，则 A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,
12、2)(1)A1B1(0,2,0)，A1A(0,0，2)，AC(2,0,0)，设平面 AA1C 的一个法向量 n(x，y，z)，则nA1A 0，nAC0，即2z0，2x0.即x0，z0.取 y1，则 n(0,1,0)A1B1 2n，即A1B1 n.A1B1平面 AA1C.(2)易知AB1(0,2,2)，A1C1(1,1,0)，A1C(2,0，2)，设平面 A1C1C 的一个法向量 m(x1，y1，z1)，则mA1C1 0，mA1C 0，即x1y10，2x12z10，令 x11，则 y11，z11，即 m(1，1,1)AB1 m012(1)210，AB1 m.又 AB1平面 A1C1C，AB1平面
13、 A1C1C.运用空间向量解决立体几何问题的步骤1建系：根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系；2定坐标：确定点的坐标进而求出有关向量的坐标；3向量运算：进行相关的空间向量的运算；4翻译：将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的求解.,注意：在建立空间直角坐标系求点的坐标时，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的，把直角边放在坐标轴上.没有最好，只有更好空间直角坐标系的建立与应用技巧为了更好地表示几何体的空间位置关系，其方法就是把它放在一个空间直角坐标系中，建立空间直角坐标系的原则为(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；(
14、2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上典例 如图，在四棱锥 A-EFCB 中，AEF 为等边三角形，平面 AEF平面 EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O 为 EF 的中点(1)求证：AOBE；(2)求二面角 F-AE-B 的余弦值；(3)若 BE平面 AOC，求 a 的值解(1)证明：因为AEF 是等边三角形，O 为 EF 的中点，所以 AOEF.又因为平面 AEF平面 EFCB，且平面 AEF平面 EFCBEF，AO平面 AEF，所以 AO平面 EFCB，所以 AOBE.(2)取 BC 的中点 G，连接 OG.由题设知四边形 EFCB 是等腰梯形，所以 OGEF.
15、由(1)知 AO平面 EFCB，又 OG平面 EFCB，所以 OAOG.如图建立空间直角坐标系 O-xyz，则 E(a,0,0)，A(0,0，3a)，B(2，3(2a)，0)，EA(a,0，3a)，BE(a2，3(a2)，0)设平面 AEB 的一个法向量n(x，y，z)，则nEA0，nBE0，即ax 3az0，a2x 3a2y0.令 z1，则 x 3，y1，于是 n(3，1,1)又平面 AEF 的一个法向量为 p(0,1,0)，所以 cosn，p np|n|p|55.由题知二面角 F-AE-B 为钝角，所以它的余弦值为 55.(3)因为 BE平面 AOC，所以 BECO，即BEOC 0.因为B
16、E(a2，3(a2)，0)，OC(2，3(2a)，0)，所以BEOC 2(a2)3(a2)2.由BEOC 0 及 0a2，解得 a43.方法探究 此题首先证明 AO面 EFCB，AOOG，才具备建系的条件，不可盲目认为 AF面 EFCB，以 F 为原点建系1.如图，已知四棱台 ABCD-A1B1C1D1 的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，A1A6，且 A1A底面 ABCD，点 P，Q分别在棱 DD1，BC 上解：由题设知，AA1，AB，AD 两两垂直以 A 为坐标原点，AB，AD，AA1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为 A
17、(0,0,0)，B1(3,0,6)，D(0,6,0)，D1(0,3,6)，Q(6，m,0)，其中 mBQ,0m6.(1)证明：若 P 是 DD1 的中点，则 P0，92，3，PQ6，m92，3.又AB1(3,0,6)，于是AB1 PQ18180，所以AB1 PQ，即 AB1PQ.(2)由题设知，DQ(6，m6,0)，DQ(0，3,6)是平面 PQD内的两个不共线向量 设 n1(x，y，z)是平面 PQD 的一个法向量，则n1DQ 0，n1DD1 0，即6xm6y0，3y6z0.取 y6，得 n1(6m,6,3)又平面 AQD 的一个法向量是 n2(0,0,1)，所以 cosn1，n2 n1n2
18、|n1|n2|36m26232136m245.而二面角 P-QD-A 的余弦值为37，因此36m24537，解得 m4 或 m8(舍去)，此时 Q(6,4,0)设DP DD1(01)，而DD1(0，3,6)由此得点 P(0,63，6),所以PQ(6,32，6)因为 PQ平面 ABB1A1，且平面 ABB1A1 的一个法向量是 n3(0,1,0)所以PQ n30，即 320，亦即 23，从而 P(0,4,4)于是，将四面体 ADPQ 视为以ADQ 为底面的三棱锥P-ADQ，则其高 h4，故四面体 ADPQ 的体积 V13SADQh131266424.1考前必记(1)空间直角坐标系的有关概念(2)空间向量的有关概念(3)空间向量的几何运算与坐标运算法则及规律(4)空间向量基本定理2答题指导(1)看到用已知向量来表示其它向量，想空间向量基本定理(2)看到证明空间平行，想空间向量的共线与共面(3)看到证明空间垂直，想数量积为零(4)看到求向量夹角或模，想数量积的计算课时规范训练