1、第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解定积分的概念(难点)2.理解定积分的几何意义(重点、易错点)3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想(难点)4.能用定积分的定义求简单的定积分(重点)1.通过曲边梯形面积和汽车行驶路程及定积分概念的学习，培养学生的数学抽象及数学运算的核心素养.2.借助定积分的几何意义及性质的学习，培养学生的直观想象及逻辑推理的核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1曲边梯形的面积和汽车行驶的路程(1)曲边梯形的面积曲线梯形：由直线 xa，xb(ab)，y0 和曲线_所围成
2、的图形称为曲边梯形(如图所示)yf(x)求曲边梯形面积的方法把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些_，对每个_“以直代曲”，即用_的面积近似代替_的面积，得到每个小曲边梯形面积的_，对这些近似值_，就得到曲边梯形面积的_(如图所示)小曲边梯形小曲边梯形矩形小曲边梯形近似值求和近似值图 图求曲边梯形面积的步骤：_，_，_，_分割近似代替求和取极限(2)求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数 vv(t)，那么也可以采用_，_，_，_的方法，求出它在 atb 内所作的位移 s.分割近似代替求和取极限2定积分的概念如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax0
3、 x1xi1xixnb 将区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点 i(i1,2，n)作和式ni1f(i)xni1ban f(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间a，b上的_，记作abf(x)dx，即abf(x)dx.其中a与b分别叫做_与_，区间a，b叫做_，函数 f(x)叫做_，x 叫做_，f(x)dx 叫做_定积分limnni1ban f i积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式思考：abf(x)dx 是一个常数还是一个变量？abf(x)dx 与积分变量有关系吗？提示 由定义可得定积分abf(x)dx 是一个常数，它的
4、值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即abf(x)dxabf(t)dtabf(u)du.3定积分的几何意义与性质(1)定积分的几何意义由直线 xa，xb(ab)，x 轴及一条曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积设为 S，则有：在区间a，b上，若 f(x)0，则 Sabf(x)dx，如图所示，即_.在区间a，b上，若 f(x)0，则 Sabf(x)dx，如图所示，即_.若在区间a，c上，f(x)0，在区间c，b上，f(x)0，则 Sacf(x)dxcbf(x)dx，如图所示，即(SA，SB表示所在区域的面积)abf(x)dxSabf(x)dxSabf xdxSASB(2)定
5、积分的性质abkf(x)dx_(k 为常数)；abf 1(x)f 2(x)dx_；abf(x)dx_(其中 acb)kabf(x)dxabf 1(x)dxabf 2(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx1在“近似代替”中，函数 f(x)在区间xi，xi1上的近似值()A只能是左端点的函数值 f(xi)B只能是右端点的函数值 f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值 f(i)(ixi，xi1)D以上答案均正确C 作近似计算时，xxi1xi 很小，误差可忽略，所以 f(x)可以是xi，xi1上任一值 f(i)2如图所示，图中阴影部分的面积用定积分表示为()A012xdxB01(2x1)dxC
6、01(2x1)dxD01(12x)dxB 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为012xdx011dx01(2x1)dx.3已知01x2dx13，12x2dx73，021dx2，则02(x21)dx_.143 01x2dx13，12x2dx73，021dx2，02(x21)dx01x2dx12x2dx021dx 13732832143.合 作 探 究 释 疑 难 求曲边梯形的面积【例 1】求由直线 x0，x1，y0 和曲线 yx(x1)围成的图形面积解(1)分割 将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形，用分点1n，2n，n1n 把区间0,1等分成 n 个小区间：0，1n，1n，2n，i1n，in，
7、n1n，nn，简写作i1n，in(i1,2，n)每个小区间的长度为 xini1n 1n.过各分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：S1，S2，Si，Sn.(2)近似代替 用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间i1n，in 上任取一点 i(i1,2，n)，为了计算方便，取 i 为小区间的左端点，用 f(i)的相反数f(i)i1ni1n 1 为其一边长，以小区间长度 x1n为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第 i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为 Sif(i)xi1ni1n 1 1n(i1,2，n)(3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲
8、边梯形面积的近似值，所以 n 个小矩形面积的和就是曲边梯形面积 S 的近似值，即 Si1nSii1nf(i)x i1ni1ni1n 1 1n 1n3021222(n1)2 1n2012(n1)1n316n(n1)(2n1)1n2nn12 n216n2161n21.(4)取极限 当分割无限变细，即 x 趋向于 0 时，n 趋向于，此时161n21 趋向于 S.从而有 Slimn 161n21 16.所以由直线 x0，x1，y0 和曲线 yx(x1)围成的图形面积为16.求曲边梯形的面积(1)思想：以直代曲(2)步骤：分割近似代替求和取极限(3)关键：近似代替(4)结果：分割越细，面积越精确(5)
9、求和时可用到一些常见的求和公式，如 123nnn12，122232n2nn12n16，132333n3nn122.跟进训练1求由抛物线 yx2 与直线 y4 所围成的曲边梯形的面积解 yx2 为偶函数，图象关于 y 轴对称，所求曲边梯形的面积应为抛物线 yx2(x0)与直线 x0，y4 所围图形面积 S 阴影的2 倍，下面求 S 阴影由yx2x0，y4，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线 x0，x2，y0 和曲线 yx2 围成的曲边梯形的面积(1)分割 将区间0,2n 等分，则 x2n，取 i2i1n.(2)近似代替求和 Snni1 2i1n22n 8n3122232(n1)2 8311
10、n 1 12n.(3)取极限 SlimnSnlimn8311n 1 12n 83.所求平面图形的面积为 S 阴影2483163.2S 阴影323，即抛物线yx2与直线y4所围成的图形面积为323.求变速直线运动的路程【例 2】已知汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度为 v(t)t22t(单位：km/h)，求它在 1t2 这段时间行驶的路程是多少？解 将时间区间1,2等分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为1i1n，1in，在 第i个 时 间 段 的 路 程 近 似 为si v1in t 1in221in 1n，i1,2，n.所以 snni1sini1 1in221in 1n 1n3(n1)
11、2(n2)2(n3)2(2n)2 2n2(n1)(n2)2n 1n32n2n14n16nn12n16 2n2nn12n2 1321n 41n 1611n 21n 31n，slimnsnlimn 1321n 41n 1611n 21n 31n 23，所以这段时间行驶的路程为23 km.求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限应特别注意变速直线运动的时间区间跟进训练2一物体自 200 m 高空自由落下，求它在开始下落后的第 3 秒至第 6 秒之间的距离(g9.8 m/s2)解 自由落体的下落速度为 v(t)
12、gt.将3,6等分成 n 个小区间，每个区间的长度为3n.在第 i 个小区间33i1n，33in(i1,2，n)上，以左端点函数值作为该区间的速度 所 以sn ni1 v33i1n3n ni13g3gn i1 3n 3ng3gn 12n1 3n9g9gn2nn129g92g11n.所 以 s limn sn limn9g92g11n 9g 92 g 272 9.8 132.3(m)故该物体在下落后第 3 s 至第 6 s 之间的距离是 132.3 m.利用定积分的性质及几何意义求定积分探究问题1在定积分的几何意义中 f(x)0，如果 f(x)0，abf(x)dx 表示什么？提示 如果在区间a，
13、b上，函数 f(x)0，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图所示)，由于 xi0，f(i)0，故 f(i)xi0，从而定积分abf(x)dx0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，即abf(x)dxS 或 Sabf(x)dx.2.02 4x2dx 的几何意义是什么？提示 是由直线 x0，x2，y0 和曲线 y 4x2所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2 为半径的14圆的面积即02 4x2dx.3若 f(x)为a，a上的偶函数，则aaf(x)dx 与0af(x)dx 存在什么关系？若 f(x)为a，a上的奇函数，则aaf(x)dx 等于多少？提示 若 f(x)为偶函数，则aaf(x)dx2
14、0af(x)dx；若 f(x)为奇函数，则aaf(x)dx0.【例 3】说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值(1)012dx；(2)12xdx；(3)111x2dx.解(1)012dx 表示的是图中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为 2，所以012dx2.(2)12xdx 表示的是图中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以12xdx32.(3)111x2dx 表示的是图中阴影部分所示的半径为 1 的半圆的面积，其值为2，所以111x2dx2.1(变条件)将例 3(3)改为利用定积分的几何意义求01 1x2dx.解 01 1x2dx 表示的是图
15、中阴影部分所示半径为 1 的圆的14的面积，其值为4，01 1x2dx4.2(变条件)将例 3(3)改为利用定积分的几何意义求01 1x12dx.解 01 1x12dx 表示的是图中阴影部分所示半径为 1 的14圆的面积，其值为4，01 1x12dx4.3(变条件)将例 3(3)改为利用定积分的几何意义求11(x1x2)dx.解 由定积分的性质得，11(x 1x2)dx11 xdx111x2dx.yx 是奇函数，11 xdx0.由例 3(3)知111x2dx2.11(x 1x2)dx2.课 堂 小 结 提 素 养 1求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤(1)分割：n 等分区间a，b；(2)近似
16、代替：取点 ixi1，xi；(3)求和：ni1f(i)ban；(4)取极限：slimnni1f(i)ban.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)2定积分abf(x)dx 是一个和式ni1ban f(i)的极限，是一个常数3可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分4定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算1把区间1,3n 等分，所得 n 个小区间中每个小区间的长度为()A1n B2n C3n D 12nB 区间长度为 2，n 等分后每个小区间的长度都是2n，故选 B.2定积分
17、abf(x)dx 的大小()A与 f(x)和积分区间a，b有关，与 i 的取法无关B与 f(x)有关，与区间a，b以及 i 的取法无关C与 f(x)以及 i 的取法有关，与区间a，b无关D与 f(x)、积分区间a，b和 i 的取法都有关A 由定积分的定义可知 A 正确3由 ysin x，x0，x2，y0 所围成图形的面积写成定积分的形式是_02 sin xdx 0 x2，sin x0.ysin x，x0，x2，y0 所围成图形的面积写成定积分的形式为02 sin xdx.4已知某物体运动的速度为 vt，t0,10，若把区间 10 等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_55 把区间0,1010 等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n1,2,10)，每个小区间的长度为 1.物体运动的路程近似值 s1(1210)55.5计算：232(25sin x)dx.解 由定积分的几何意义得，232 2dx32 2 22.由定积分的几何意义得，232 sin xdx0.所以232(25sin x)dx232 2dx5232 sin xdx2.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
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