1、大题规范练(四)“17题19题二选一”46分练(时间：45分钟分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第2223题为选考题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17已知数列an中，a1511,4anan13(n2)(1)求证：数列an1为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)令bn|log2(an1)|，求数列bn的前n项和Sn. 【导学号：07804235】解(1)证明：由已知得，anan1(n2)，an1(an11)，又a11512，数列an1是以512为首项，为公比的等比数列an15122112n，an2112n1.(2)bn|log2(an1)|112n|，设数列112n的
2、前n项和为Tn，则Tn10nn2，当n5时，SnTn10nn2；当n6时，Sn2S5Tnn210n50.所以Sn.18如图7所示，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，AB2，BC2，点P在底面上的射影在AC上，E是AB的中点图7(1)证明：DE平面PAC；(2)若PAPC，且PA与平面PBD所成的角的正弦值为，求二面角DPAB的余弦值解(1)证明：在矩形ABCD中，ABBC1，且E是AB的中点，tanADEtanCAB，ADECAB.CABDAC90，ADEDAC90，即ACDE.由点P在底面ABCD上的射影在AC上，可知平面PAC平面ABCD，且交线为AC，DE平面PAC.(2)记AC与B
3、D的交点为O，PAPC，且O是AC的中点，POAC.平面PAC平面ABCD，PO平面ABCD.取BC的中点F，连接OE，OF，底面ABCD为矩形，OEOF.以O为坐标原点，分别以OE，OF，OP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0)，B(1，0)，D(1，0)设P(0,0，a)，则(1，a)设平面PBD的法向量为c(x1，y1，z1)，又(2,2，0)，(0,0，a)，则有令x1，得y11，平面PBD的一个法向量为c(，1,0)由，得a1.设平面PAD的法向量为m(x2，y2，z2)，又(2,0,0)，(1，1)，则有令y21，得z2，m(0,1，)设平面PA
4、B的法向量为n(x3，y3，z3)，又(0,2，0)，(1，1)，则有令x31，得z31，n(1,0,1)cosm，n，二面角DPAB的余弦值为.19近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次(1)请完成关于商品和服务评价的22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视
5、为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X.求对商品和服务全为好评的次数X的分布列；求X的数学期望和方差附：临界值表P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2的观测值k(其中nabcd)关于商品和服务评价的22列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评80对商品不满意10合计200解(1)由题意可得关于商品和服务评价的22列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200k11.1
6、1110.828，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关(2)每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且X取值可以是0,1,2,3.其中P(X0)；P(X1)C；P(X2)C；P(X3)C.所以X的分布列为X0123P由于XB，则E(X)3，D(X)3.(请在第2223题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分)22选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设直线l与x轴，y轴分别交
7、于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和PAB面积的最小值. 【导学号：07804236】解(1)由，消去参数t，得(x5)2(y3)22，所以圆C的普通方程为(x5)2(y3)22.由cos，得cos sin 2，所以直线l的直角坐标方程为xy20.(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(2,0)，B(0,2)，化为极坐标为A(2，)，B，设点P的坐标为(5cos t,3sin t)，则点P到直线l的距离为d.所以dmin2，又|AB|2.所以PAB面积的最小值是S224.23选修45：不等式选讲已知函数f(x)|x2|.(1)解不等式：f(x)f(x1)2；(2)若a0，求证：f(ax)af(x)f(2a)解(1)由题意，得f(x)f(x1)|x1|x2|.因此只要解不等式|x1|x2|2.当x1时，原不等式等价于2x32，即x1；当1x2时，原不等式等价于12，即1x2；当x2时，原不等式等价于2x32，即2x.综上，原不等式的解集为.(2)证明：由题意得f(ax)af(x)|ax2|a|x2|ax2|2aax|ax22aax|2a2|f(2a)，所以f(ax)af(x)f(2a)成立