1、第三章 指数运算与指数函数3 指数函数课时3 指数函数性质的综合应用知识点指数式的大小比较1.%*￥4￥549%(2020黄冈模拟)设f(x)=1-x,x0,2x,xy2y3B.y1y3y2C.y2y1y3D.y3y1y2答案：B解析： y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=12-1.5=21.5,因为y=2x是增函数,且1.81.51.44,所以y1y3y2,故选B。3.%3*33*2%(2020大连23中月考)函数f(x)=ax(a0且a1),对于任意实数x,y都有()。A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(
2、y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)答案：C解析： f(x+y)=ax+y=axay=f(x)f(y)。故选C。4.%4￥7￥3*2#%(2020石家庄重点中学测试)已知镭经过100年后剩余量为原来的95.76%。设质量为1的镭经过x年后,剩余量为y,则x与y之间的关系式为()。A.y=0.957 6100xB.y=0.957 6x100C.y=1-0.957 6x100D.y=0.957 6100x答案：B解析：设平均每年的减少率为m,则有1(1-m)100=0.957 6m=1-0.957 61100,将m的值代入y=(1-m)x,即可得B。5.%8#*400%(2020唐山五校测试)
3、指数函数y=axa13,12,2,3的图像如图3-3-3-1,则分别对应于图像的a的值为()。图3-3-3-1A.13,12,2,3B.12,13,3,2C.3,2,12,13D.2,3,13,12答案：B解析：设图像,对应的函数分别为y=mx,y=nx,y=cx,y=dx,当x=1时,如图易知:c1d1m1n1。又因为m,n,c,d13,12,2,3,所以c=3,d=2,m=12,n=13。故选B。6.%#4#32#9%(2020六安一中月考)将下列各数从小到大排列起来:23-13,3512,323,2512,3223,560,(-2)3,53-13。答案：题型1指数函数的图像应用7.%#8
4、149#*%(2020大连23中月考)定义运算:ab=a(ab),b(ab),则函数f(x)=12x的图像大致为()。图3-3-3-2答案：A解析：f(x)=1(x0),2x(x0),故选A。8.%0￥2#￥#47%(2020福建四地六校联考)二次函数y=bx2+ax与指数函数y=abx的图像只可能是()。图3-3-3-3答案：C解析：由二次函数常数项为0可知函数图像过原点,排除A,D;B,C中指数函数单调递减,因此ab(0,1),因此二次函数图像的对称轴x=-a2b0。故选C。9.%￥52#31#￥%(2020黑龙江哈师大附中期中)关于x的方程13|x|-a-1=0有解,则a的取值范围是()
5、。A.0a1B.-10答案：B解析：根据题意,结合指数函数的性质,得0y=13|x|1,故方程13|x|-a-1=0有解,知13|x|=a+1a+1(0,1,可得a的取值范围是-10且a1)。若g(2)=a,则f(2)=()。A.2B.154C.174D.a2答案：B解析：因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,又f(x)+g(x)=ax-a-x+2,所以f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a-x-ax+2,+,化简得g(x)=2,-,化简得f(x)=ax-a-x。又g(2)=a,所以a=2,所以f(x)=2x-2-x,所以f(2)=22-2-2=154。故选B。13.%*9#*6￥
6、37%(2020开封定位考试)已知对应关系f:AB,其中A=B=R,对应法则f:xy=13x2+2x。若对实数mB,在集合A中存在元素与之对应,则m的取值范围是()。A.(-,3B.3,+)C.(3,+)D.(0,3答案：D解析：因为x2+2x=(x+1)2-1-1,所以y=13x2+2x13-1=3。又因为13x2+2x0,所以0y=13x2+2x3。因为mB,所以0m3。故D正确。14.%2#30*2%(2020九江一中月考)设23-2x0.53x-4,则x的取值范围是。答案：(-,1)解析：原不等式变形为0.52x-33x-4,解得x1。故x的取值范围是(-,1)。15.%81#*￥24
7、%(2020高州三中测试)若3-a=2a,则a=。答案：1解析：令f(a)=3-a-2a,则f(a)为单调递减函数,且f(1)=3-1-2=0,所以a=1。16.%#02￥#08%(2020广安二中月考)已知函数y=13x在-2,-1上的最小值是m,最大值是n,则m+n的值为。答案：12解析：函数y=13x在定义域内单调递减,所以m=13-1=3,n=13-2=9。所以m+n=12。17.%72*89￥%(2020广东中山调考)若f(x)=1x,x0,13x,x0,则不等式|f(x)|13的解集为。答案：-3,1解析：(1)当x0时,由|f(x)|13x0,1x13-3x0;(2)当x0时,由
8、|f(x)|13x0,13x130x1。所以不等式|f(x)|13的解集为x|-3x1,所以应填-3,1。18.%8311#%(2020合肥一中月考)已知f(x)的定义域为(0,1),则f(3x)的定义域为。答案：(-,0)解析：因为f(x)的定义域为(0,1),所以03x1,所以x0。题型3指数函数中的恒成立问题19.%*8*9#95%(2020江苏启东中学期中)若函数f(x)=ax,x0,(a-3)x+4a,x0满足f(x1)-f(x2)(x1-x2)0对定义域中的任意两个不相等的x1,x2都成立,则a的取值范围是。答案：0,14解析：由f(x1)-f(x2)(x1-x2)0,得f(x)是
9、减函数,因此0a1,a-30,a04a,解得00恒成立,求a的取值范围。答案：解:由题意得1+2x+4xa0在x(-,1上恒成立,即a-1+2x4x在x(-,1上恒成立。设f(x)=-1+2x4x=-122x-12x=-12x+122+14,因为x(-,1,所以12x12,+,令t=12x,则f(t)=-t+122+14,t12,+,因为f(t)在12,+上为减函数,所以f(t)f12=-12+122+14=-34,即f(t)-,-34。因为af(t),所以a-34,+。21.%8#07*0%(2020南宁模拟)已知指数函数y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为R的函数f(x)=n-g(x)
10、m+2g(x)是奇函数。(1)确定y=g(x),y=f(x)的解析式;答案：解:设g(x)=ax(a0,且a1),则a3=8,所以a=2。所以g(x)=2x,所以f(x)=n-2xm+2x+1。因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即n-12+m=0,解得n=1。所以f(x)=1-2x2x+1+m。又f(-1)=-f(1),所以1-12m+1=-1-24+m,解得m=2。经检验知f(-x)=-f(x)恒成立,所以f(x)=1-2x2+2x+1。(2)若对任意的t1,4,不等式f(2t-3)+f(t-k)0恒成立,求实数k的取值范围。答案：由(1)知f(x)=1-2x2+2x+1=-12+12
11、x+1,易知f(x)在R上为减函数。又f(x)是奇函数,则f(2t-3)+f(t-k)0,即f(2t-3)-f(t-k)=f(k-t)。所以2t-3k-t,即对一切t1,4,3t-39。故实数k的取值范围是(9,+)。22.%101#*#0%(2020西安模拟)已知函数f(x)=bax(其中a,b为常数,且a0,a1)的图像经过点A(1,6),B(3,24)。(1)求f(x)的解析式;答案：解:由题意得ab=6,ba3=24,解得a=2,b=3,所以f(x)=32x。(2)若不等式1ax+1bx+1-2m0在x(-,1上恒成立,求实数m的取值范围。答案：设g(x)=1ax+1bx=12x+13x,则y=g(x)在R上为减函数,所以当x1时,g(x)min=g(1)=56。所以1ax+1bx+1-2m0在x(-,1上恒成立,即2m-156,所以m1112,故m的取值范围为m1112。