1、第1节平面向量的概念及线性运算考试要求1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义知 识 梳 理1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向
2、量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba常用结论与易错提醒1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于
3、从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量2若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则()3.0P为ABC的重心诊 断 自 测1判断下列说法的正误(1)零向量与任意向量平行()(2)若ab，bc，则ac.()(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()(5)在ABC中，D是BC中点，则()()解析(2)若b0，则a与c不一定平行(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上答案(1)(2)(3)(4)(5)2给出下列命题：零向
4、量的长度为零，方向是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等则所有正确命题的序号是()A. B. C. D.解析根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反向量，故错误.答案A3.(2019绍兴一中适考)在ABC中，则()A. B.C. D.解析因为.由向量的减法运算得2()，则.答案B4.设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则得解得.答案5.(必修4P92A12改编)已知
5、ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_(用a，b表示).解析如图，ba，ab.答案baab6.设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若12(1，2为实数)，则1_，2_.解析如图所示，().又12，且与不共线，所以1，2.答案考点一平面向量的概念【例1】 下列命题中不正确的是_(填序号).若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac.解析不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.正确.，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形
6、ABCD为平行四边形，则|，且，方向相同，因此.正确.ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.答案规律方法(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.【训练1】 下列命题中正确的是_(填序号).有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析不正确，向
7、量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.答案考点二平面向量的线性运算【例2】 (1)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.(2)(一题多解)(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B.C. D.解析(1)由题中条件得，()xy，所以x，y.(2)法一如图所示，()()，故选A.法二()，故选A.答案(1)(2)A规律方法(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的
8、相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.【训练2】 (1)在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则()A.1 B. C. D.(2)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么()A.B.C.D.解析(1)，2，即.故.(2)在CEF中，有.因为点E为DC的中点，所以.因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，所以.所以，故选D.答案(1)D(2)D考点三共线向量定理及其应用【例3】 设两个非
9、零向量a与b不共线.(1)若ab，2a8b，3(ab).求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线.(1)证明ab，2a8b，3(ab).2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线.(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，kk10，k210，k1.规律方法(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b
10、0成立.【训练3】 (1)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2x0成立的实数x的取值集合为()A.0 B. C.1 D.0，1(2)已知向量a3b，5a3b，3a3b，则()A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线解析(1)因为，所以x2x0，即x2(x1)，因为A，B，C三点共线，所以x2(x1)1，即x2x0，解得x0或x1.当x0时，x2x0，此时B，C两点重合，不合题意.(2)2a6b2(a3b)2，共线，又有公共点B，A，B，D三点共线.故选B.答案(1)C(2)B基础巩固题组一、选择题1.如图，在正
11、六边形ABCDEF中，()A.0 B.C. D.解析由题干图知.答案D2.设a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是()A.a与a的方向相反 B.a与2a的方向相同C.|a|a| D.|a|a解析对于A，当0时，a与a的方向相同，当0时，a与a的方向相反；B正确；对于C，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小关系不确定；对于D，|a是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小.答案B3.已知下列各式：；，其中结果为零向量的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析由题知结果为零向量的是，故选B.答案B4.在ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且APAB，BQBC.若
12、a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab解析()ab，故选A.答案A5.(2019北京昌平区二模)设a，b是非零向量，则“存在实数，使得ab”是“|ab|a|b|”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析存在实数，使得ab，说明向量a，b共线，当a，b同向时，|ab|a|b|成立，当a，b反向时，|ab|a|b|不成立，所以充分性不成立.当|ab|a|b|成立时，有a，b同向，存在实数，使得ab成立，必要性成立，即“存在实数，使得ab”是“|ab|a|b|”的必要不充分条件.答案B6.设a0为单位向量，下述命题中：若a为平面内的某个向量，
13、则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.假命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.答案D7.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则()A. B.2 C.3 D.4解析()()224.故选D.答案D8.设a，b不共线，2apb，ab，a2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A.2 B.1
14、 C.1 D.2解析ab，a2b，2ab.又A，B，D三点共线，共线.设，2apb(2ab)，22，p，1，p1.答案B9.已知O为ABC内一点，且满足(1)0，若OAB的面积与OAC的面积比值为，则的值为()A. B.2 C. D.解析()0，所以().设G为BC的中点，所以2，所以点O在过点G且与AC平行的直线上，分别过点B，C作BFOA，CEOA，且设直线AO与BC交于H，因为，AHCFHB，所以，所以3，所以23，得.答案A二、填空题10.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有_个.解析根据正六边形的性质和相等向量的
15、定义，易知与向量相等的向量有，共3个.答案311.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.解析因为ABCD为平行四边形，所以2，已知，故2.答案212.向量e1，e2不共线，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，给出下列结论：A，B，C共线；A，B，D共线；B，C，D共线；A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为_.解析由4e12e22，且与不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上.答案13.若点O是ABC所在平面内的一点，且满足|2|，则ABC的形状为_.解析2()()，|.故A，B，C为矩形的三个顶点，ABC为直角三角形.答案直角三角形14.已知ABC和点M满足0
16、，若存在实数m使得m成立，则m_.解析由已知条件得，如图，延长AM交BC于D点，另取D为BC中点，则2，2，即A，M，D共线，所以D和D重合，则D为BC的中点.延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，AB的中点，即M为ABC的重心，()，即3，则m3.答案3能力提升题组15.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且22，则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上解析因为22，所以2，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.答案B16.设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三
17、个点，动点P满足：，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解析作BAC的平分线AD.，(0，)，.P的轨迹一定通过ABC的内心.答案B17.(2019北京西城区二模)如图，设P为ABC内一点，且，则ABP与ABC的面积之比为()A. B. C. D.解析如图，作PDAC交AB于点D，则，由题意，且ADPCAB180，所以SADP|AD|DP|sinADP|AB|AC|sinCABSABC，又，所以SAPB3SADPSABC，即.答案18.(2020成都一诊)已知G为ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.若，则当ABC与APQ的面积之比为时，实数的值为_.解析设x，P，G，Q三点共线，可设(1)，(1)x，G为ABC的重心，()，(1)x，两式相乘得x(1)，x，代入即(1)解得或，即或.答案或