1、第2节导数与函数的单调性考试要求1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.知 识 梳 理1.函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间内可导，(1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(或0)解出相应的x的取值范围.当f(x)0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.一般需要通过列表，写出函数的单
2、调区间.3.已知单调性求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f(x)；(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(x)0恒成立；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(x)0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f(x)0.若f(x)0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.常用结论与易错提醒(1)解决一次、二次函数的单调性问题不必用导数.(2)有些初等函数(如f(x)x3x)的单调性问题也不必用导数.(3)根据单调性求参数常用导数不等式f(x)0或f(x)0求解，注意检验等号.(4)注意函数、导函数的定
3、义域.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)若可导函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件.()解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f(x)0.(3)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件.答案(1)(2)(3)2.函数f(x)exx的单调递增区间是()A.(，1 B.1，)C.(，0 D.(0，)解析令f(x)ex10得x0，所以f(x)的递增区间为(0，).答案D3.(2020浙江“超级全能生”联考)已知函数yf(x)
4、的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可以是()解析根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数f(x)的图象可知，原函数f(x)先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项C符合题意，故选C.答案C4.若f(x)，0abe，则f(a)与f(b)的大小关系为_.解析f(x)，当0xe时，1ln x0，即f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递增，f(a)f(b).答案f(a)f(b)5.函数f(x)的单调递增区间为_；单调递减区间为_.解析函数的定义域为x|x0，且f(x)，令f(x)0得x1，f(x)的单调递增区间为(1，)，令f(x)0，得x0，a0，即a的取值范
5、围是(，0.答案1(，0考点一求不含参数的函数的单调性【例1】 已知f(x)ex，讨论f(x)的单调性.解由题意得f(x)exexexx(x1)(x4)ex.令f(x)0，解得x0，x1或x4.当x4时，f(x)0，故f(x)为减函数；当4x0，故f(x)为增函数；当1x0时，f(x)0时，f(x)0，故f(x)为增函数.综上知，f(x)在(，4)和(1，0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数.规律方法确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0).令y0，得0f(x)
6、，即g(x)0，所以函数g(x)在(0，1)上是增函数，故选项A错误；又由图易得当x时，f(x)f(x)，即g(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数；当a0时，令f(x)0，得0x0，得x，f(x)在(0，)上是减函数，在(，)上是增函数.综上可得，当a0时，函数yf(x)的增区间为(0，)，无减区间；当a0时，函数yf(x)的增区间为(，)，减区间为(0，).考点三利用函数的单调性求参数【例3】 (1)已知函数f(x)ax3x2x在区间(0，2)上是单调增函数，则实数a的取值范围为_.(2)已知函数f(x)ln x(xb)2(bR)在上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是_.解析(1)f
7、(x)ax22x10a1在(0，2)上恒成立，即a1.(2)由题意得f(x)2(xb)2x2b，因为函数f(x)在上存在单调递增区间，所以f(x)2x2b0在上有解，所以b0(0(0”是“f(x)在R上单调递增”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.答案A2.下面为函数yxsin xcos x的递增区间的是()A. B.(，2)C. D.(2，3)解析y(xsin xcos x)sin xxcos xsin xxcos x，当x时，恒有xcos x
8、0.答案C3.设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A.(1，2 B.4，)C.(，2 D.(0，3解析f(x)x29ln x，f(x)x(x0)，当x0时，有00且a13，解得12，则下列结论正确的是()A.对于任意xR，f(x)0C.当且仅当x(，1)时，f(x)0解析由f(x)是定义在R上的减函数，得f(x)2(2x)f(x)f(x)0.令g(x)(2x)f(x)，则g(x)(2x)f(x)f(x)0，函数g(x)单调递增，又g(2)0，则当x2时，g(x)(2x)f(x)0，f(x)2时，g(x)(2x)f(x)0，f(x)0，排除B，C，D.
9、答案A二、填空题7.函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为_.解析f(x)2转化为f(x)20，构造函数F(x)f(x)2x，得F(x)在R上是增函数.又F(1)f(1)2(1)4，f(x)2x4，即F(x)4F(1)，所以x1.答案(1，)8.已知函数f(x)x3ax2bxc，g(x)为f(x)的导函数.若f(x)在(0，1)上单调递减，则下列结论正确的是_(填序号).ab10；b0；32ab0.解析因为f(x)在(0，1)上单调递减，所以f(0)f(1)，即ab10；由题意可得g(x)f(x)3x22axb.因为f(x)在(0，1)上单调递减
10、，所以g(x)0在(0，1)上恒成立，即g(0)0，g(1)0，所以b0，32ab0.答案9.已知函数f(x)x24x3ln x在区间t，t1上不单调，则实数t的取值范围是_.解析由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t3.答案(0，1)(2，3)10.已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称.则m_，f(x)的单调递减区间为_.解析由函数f(x)的图象过点(1，6)，得mn3.由f(x)x
11、3mx2nx2，得f(x)3x22mxn，所以g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.因为g(x)的图象关于y轴对称，所以0，所以m3，代入得n0，所以f(x)3x26x3x(x2).由f(x)0得0x0知，f(x)与1xex1同号.令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.当x(，1)时，g(x)0，g(x)在(1，)上递增，g(x)g(1)1在R上恒成立，f(x)0在R上恒成立.f(x)的单调递增区间为(，).12.已知函数f(x)exaxexa(aR).(1)若f(x)在(0，)上单调递减，求a的取值范围；(2)求证：x在(0，2)上任取一个值，不等式恒成立(注：e为自然对数的底数).
12、(1)解由已知得f(x)ex(x1).由函数f(x)在(0，)上单调递减得f(x)0恒成立.a0，即a，又(0，1)，a的取值范围为1，).(2)证明要证原不等式恒成立，即证ex1x0在x(0，2)上恒成立.设F(x)(x2)exx2，则F(x)(x1)ex1.在(1)中，令a1，则f(x)exxex1，f(x)在(0，2)上单调递减，F(x)f(x)在(0，2)上单调递增，而F(0)0，在(0，2)上F(x)0恒成立，F(x)在(0，2)上单调递增，F(x)F(0)0，即当x(0，2)时，C. D.2解析由导函数的图象为直线知函数f(x)为过原点的二次函数，设f(x)ax2bx(a0)，结合
13、导函数图象可知f(x)在上单调递增，在上单调递减，则a1得b2a，则f(1)2ab0，f(1)aba0，f(1)2ab0，f(1)ab0，因此(a2b)(a2b)2a0，故选C.答案C15.已知定义在R上的可导函数f(x)，满足0f(x)eaf(a)，f(a)eaf(1)B.f(1)eaf(a)，f(a)eaf(1)C.f(1)eaf(1)D.f(1)eaf(a)，f(a)0，即g(x)在R上单调递增，因为a(1，)，则eaf(a)ef(1)f(1)；令函数h(x)，则h(x)0，即h(x)在R上单调递减，则f(a)ea1f(1)eaf(1)，即f(a)0时，f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，)；当a0时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0，1)；当a0时，f(x)不是单调函数.(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，f(x)2ln x2x3，f(x).g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，即g(x)0在区间(t，3)上有变号零点.由于g(0)2，当g(t)0，即3t2(m4)t20对任意t1，2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m0，即m，所以m9，即实数m的取值范围是.