1、6.2.4向量的数量积课后篇巩固提升基础达标练1.若p与q是相反向量,且|p|=3,则pq等于()A.9B.0C.-3D.-9解析由已知得pq=33cos 180=-9.答案D2.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,则|a+b|=()A.B.C.13D.21解析由(2a-3b)(2a+b)=61,得4|a|2-4ab-3|b|2=61.将|a|=4,|b|=3代入上式,求得ab=-6.|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=13,所以|a+b|=.答案A3.在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点.若,则AB的长为()A.B.1C
2、.D.2解析设AB的长为a,因为,所以()=|2+=1+1cos 120=,解得a=2.答案D4.(2019全国高考)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2.设a与b的夹角为,则cos =,所以a与b的夹角为,故选B.答案B5.(多选题)已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中是真命题的有()A.|ab|=|a|b|abB.a,b反向ab=-|a|b|C.ab|a+b|=|a-b|D.|a|=|b|ac|=|bc|解析A.ab=|a|b|cos (为a与b的夹角),由|
3、ab|=|a|b|及a,b为非零向量可得|cos |=1,=0或,ab且以上各步均可逆.故命题A是真命题.B.若a,b反向,则a,b的夹角为,ab=|a|b|cos =-|a|b|且以上各步均可逆.故命题B是真命题.C.当ab时,将向量a,b的起点移至同一点,则以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有ab.故命题C是真命题.D.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|ac|bc|,反过来由|ac|=|bc|也推不出|a|=|b|.故命题D
4、是假命题.答案ABC6.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.解析|2a-b|=.又a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为,则=0或180,当=0时,ab=2;当=180时,ab=-2.故|2a-b|=0或4.答案0或47.如图所示,在RtABC中,A=90,AB=1,则的值是.解析(方法一)=|cos(180-B)=-|cosB=-|=-|2=-1.(方法二)|=1,即为单位向量,=-=-|cosABC,而|cosABC=|,所以=-|2=-1.答案-18.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120.求证:(a-b)c.证明(a-
5、b)c=ac-bc=|a|c|cos 120-|b|c|cos 120=11-11=0,故(a-b)c.9.已知向量a,b满足|a|=,|b|=1.(1)若a,b的夹角为,求|a+b|;(2)若(a-b)b,求a与b的夹角.解(1)由已知,得ab=|a|b|cos1=1,所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2ab=2+1+2=5,所以|a+b|=.(2)因为(a-b)b,所以(a-b)b=0.所以ab-b2=0,即ab=b2=1,所以cos =.又0,所以=,即a与b的夹角为.能力提升练1.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,则|a-b|的最大值为()A.1B.2C.3
6、D.5解析|a|=2,|b|=1,|a-b|=,又ab-2,2,|a-b|1,3,|a-b|的最大值为3.答案C2.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列四个选项,其中正确的有()A.ac-bc=(a-b)cB.(bc)a-(ca)b不与c垂直C.|a|-|b|a-b|D.(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2解析根据向量数量积的分配律知,A正确;因为(bc)a-(ca)bc=(bc)(ac)-(ca)(bc)=0,所以(bc)a-(ca)b与c垂直,B错误;因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,所以|a|-|b|0,即a2+
7、(2+1)ab+b20,从而2+4+10,解得-2+.当=1时,a+b与a+b同向,故的取值范围是(-,-2-)(-2+,1)(1,+).答案(-,-2-)(-2+,1)(1,+)4.如图,在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且ab=bc=cd=da,且ac=bd,则四边形ABCD是什么形状?解a+b+c+d=0,a+b=-(c+d),(a+b)2=(c+d)2,即a2+2ab+b2=c2+2cd+d2.又ab=cd,a2+b2=c2+d2,即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.-,得|b|2=|d|2,变形为|a|2-|d|2=|c
8、|2-|b|2,再加式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形.,a=-c.又ab=bc,b(a-c)=0,即b(2a)=0.ab=0,.故四边形ABCD为正方形.5.如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知ABC=45,BCD=60,记=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)若|b|=1,求.解(1)=a-b,由题意可知,ACBD,BD=BC=AC.b,则=a+b,=a+(-1)b.(2)|b|=1,|a|=,ab=cos 45=1,则=aa+(-1)b=a2+(-1)ab=2+-1=+1.素养培优练1.如
9、图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是()A.B.C.D.解析由于,故其数量积是0;的夹角是,故其数量积小于0;设正六边形的边长是a,则=|cos 30=a2,=|cos 60=a2.故选A.答案A2.(2020郑州检测)已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.解根据|a|=|b|,有|a|2=|b|2,又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2ab+|b|2,ab=|a|2.而|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=3|a|2,|a+b|=|a|.设a与a+b的夹角为.则cos =.=30.故a与a+b的夹角为30.7