1、第六章 统计2 抽样的基本方法2.2 分层随机抽样知识点1分层抽样的判定与理解1.%#78*￥*52%(2020辽宁鞍山测试)下列问题中,最适合用分层抽样法抽取样本的是()。A.从10名同学中抽取3人参加座谈会B.某社区有500户家庭,其中高收入的家庭125户,中等收入的家庭280户,低收入的家庭95户,为了了解居民生活购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本C.从1 000名工人中,抽取100人调查上班途中所用时间D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量答案：B解析： A中总体所含个体无差异且个数较少,适合用简单随机抽样;C和D中总体所含个体无差异,且个数较多,适合用系统抽样;B中
2、总体所含个体差异明显,适合用分层抽样。2.%6#￥50*7%(2020江西崇仁二中单元检测)某校高三年级有男生500人、女生400人,为了了解该年级学生的健康状况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查。这种抽样方法是()。A.简单随机抽样法B.抽签法C.随机数表法D.分层抽样法答案：D解析：因为500400=2520,即总体中男生与女生的人数比等于所抽取的样本中男生与女生的人数比,所以是按分层抽样的方法来抽样的。故选D。3.%8*797%(多选)(2020河北武邑中学月考)某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个班,每班45人;甲就读于高一,乙就读于高二。学校计
3、划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法中正确的是()。A.应该采用分层抽样法B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人C.乙被抽到的可能性比甲大D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生答案：AB解析：由于各年级的年龄段不一样,因此应采用分层抽样法。由于分层抽样的抽样比为2352050+3045=110,因此高一年级的1 000人中应抽100人,高二年级的1 350人中应抽135人,甲乙被抽到的可能性都是110,因此CD不正确。故选AB。4.%3￥749￥%(2020广东华侨中学单元检测)为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取,必须要求()。A.每层等可能抽取B.每层抽取
4、的个体数相等C.每层抽取的个体数可以不一样多,但必须满足抽取n1=nNiN(i=1,2,k)个个体(其中i是层数,n为抽取的样本容量,Ni是第i层中个体的个数,N是总体容量)D.只要抽取样本容量一定,每层抽取的个体数没有限制答案：C解析：分层抽样时,在各层中按层中所含个体在总体中所占的比例进行简单随机抽样,A中,虽然每层等可能地抽样,但是没有指明各层中应抽取几个个体,故A不正确;B中,由于每层的个体数不一定相等,若每层抽同样多的个体数,显然从总体来看,各层之间的个体被抽取的可能情况就不一样了,因此B也不正确;C中,对于第i层的每个个体,它被抽到的可能性与层数i无关,即对于每个个体来说,被抽取为
5、样本的可能性是相同的,故C正确,D不正确。知识点2分层抽样的相关计算5.%5036#*#%(2020江西南昌二中高一下学期期末)某校现有高一学生210人,高二学生270人,高三学生300人。用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查。如果已知从高一学生中抽取的人数为7,那么从高三学生中抽取的人数应为()。A.7B.8C.9D.10答案：D解析：由题意知高一学生210人,从高一学生中抽取的人数为7,所以每2107=30人抽取1人,所以从高三学生中抽取的人数应为30030=10。故选D。6.%6#*01#1￥%(2020江西新余一中入学测试)某校共1 200名学生,现采用分层
6、抽样方法抽取一个容量为200的样本进行健康状况调查,若抽到男生比女生多10人,则该校男生共有()。A.700人B.660人C.630人D.610人答案：C解析：设抽取的样本中男生共有x人,则女生有(x-10)人,由样本容量为200,所以x+x-10=200,所以x=105,则该校男生共有1052001 200=630(人),故选C。7.%#69*79%(2020重庆巴蜀中学高三三模)某单位共有老、中、青年职工430人,其中有青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行抽查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中老年职工的人数为()。A.9
7、B.18C.27D.36答案：B解析：设老年职工总共为x人,则430-3x=160,解得x=90。设抽取的样本容量为m,则160430m=32,解得m=86。故在抽取的样本中老年职工的人数为9043086=18。故选B。8.%9*#243%(2020湖北咸丰一中单元检测)在120个零件中,一级品24个,二级品36个,三级品60个,用分层抽样的方法从中抽取容量为20的样本,则每个个体被抽取的可能性是()。A.124B.136C.160D.16答案：D解析：在分层抽样中,每个个体被抽取的可能性都相等,均为样本容量总体容量。所以每个个体被抽取的可能性是20120=16。故选D。9.%64*￥5￥6%
8、(2020湖北武钢三中月考)一个总体分为A,B,C三层,用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为50的样本,已知B层中每个个体被抽到的概率都为112,则总体中个体的个数为()。A.150B.200C.500D.600答案：D解析：运用分层抽样的方法,在不同层中每个个体被抽到的概率相等,都等于样本容量总体容量。设总体中个体的个数为N,则50N=112。解得N=600。故选D。10.%#￥78￥56%(2020辽宁大连模拟)某单位员工按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为541,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知C组中某个员工被抽到的概率是19,则该单位员工总人数为()。A.1
9、10B.100C.90D.80答案：C解析：C组中被抽到的人数为1015+4+1=1,设该单位C组中员工的人数为n,因为C组中某个员工被抽到的概率是19,则1n=19,解得n=9,则该单位员工总人数为9(1+4+5)=90。故选C。11.%*237#3%(2020河南郑州一中月考)为了调查民众对最新各大城市房产限购政策的了解情况,对甲、乙、丙、丁四个不同性质的单位做分层抽样调查。假设四个单位的人数有如下关系:甲、乙的人数之和等于丙的人数,甲、丁的人数之和等于乙、丙的人数之和,且丙单位有36人。若在甲、乙两个单位抽取的人数之比为12,则这四个单位的总人数为()。A.96B.120C.144D.1
10、60答案：B解析：因为甲、乙的人数之和等于丙的人数,丙单位有36人,在甲、乙两个单位抽取的人数之比为12,所以甲单位有12人,乙单位有24人。又甲、丁的人数之和等于乙、丙的人数之和,所以丁单位有48人,所以这四个单位的总人数为12+24+36+48=120。故选B。12.%269#￥4#%(2020河北定州高二期中)分层抽样是将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,组成一个样本的抽样方法。在九章算术第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱。欲以钱数多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持560
11、钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带多少的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法错误的是()。A.甲应付5141109钱B.乙应付3232109钱C.丙应付1656109钱D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少答案：B解析：由分层抽样可知,抽样比为100560+350+180=10109,则甲应付10109560=5141109(钱);乙应付10109350=3212109(钱);丙应付10109180=1656109(钱)。故选B。题型1分层抽样的图表题13.%71#*0#9%(2020海南农垦中学考前押题)某校三个兴趣小组的学生人数分布如
12、下表(每名同学只参加一个小组)(单位:人)篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组进行分层抽样,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a的值为()。A.10B.15C.22D.30答案：D解析：由题意知1245+15=30120+a,解得a=30,故选D。14.%￥67￥06%(2020广东茂名二模)一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆)。轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,
13、其中有A类轿车10辆,则z的值为。答案：400解析：由题意可得50100+300+150+450+z+600=10100+300,解得z=400。15.%*0822#%(2020山东青岛调考)山东某高中针对学生发展要求,开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团,已知报名参加这两个社团的学生共有800人,按照要求每人只能参加一个社团,各年级参加社团的人数情况如下表:高一年级高二年级高三年级泥塑abc剪纸xyz其中xyz=532,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35,为了了解学生对两个社团活动的满意程度,从中抽取一个50人的样本进行调查,则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取人。答案：
14、6解析：方法一:因为“泥塑”社团的人数占总人数的35,故“剪纸”社团的人数占总人数的25,所以“剪纸”社团的人数为80025=320。因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为yx+y+z=32+3+5=310,所以“剪纸”社团中高二年级人数为320310=96。由题意知,抽样比为50800=116,所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96116=6。方法二:因为“泥塑”社团的人数占总人数的35,故“剪纸”社团的人数占总人数的25,所以抽取的50人的样本中,“剪纸”社团中的人数为5025=20。又“剪纸”社团中高二年级人数比例为yx+y+z=32+3+5=310,所以从高二年级“剪纸”社团中抽取
15、的人数为20310=6。题型2分层抽样在产品中应用16.%3#￥8#30%(2020湖北孝感高中调研)某工厂生产A,B,C,D四种不同型号的产品,产品数量之比依次为2351。现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,若样本中A种型号有16件,那么 此样本的容量n为。答案：88解析：根据分层抽样的特点,样本中A种型号产品应是样本容量的22+3+5+1=211,所以样本的容量n=16211=88。17.%#3070￥*%(2020江苏南京金陵中学模拟)一工厂生产了16 800件某种产品,它们分别来自甲、乙、丙3条生产线。为检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样。已知从甲、乙、丙3条生产线
16、抽取的产品个数分别是a,b,c,且2b=a+c,则乙生产线生产了件产品。答案：5 600解析：设甲、乙、丙3条生产线各生产了T甲,T乙,T丙件产品,则abc=T甲T乙T丙,即aT甲=bT乙=cT丙。又2b=a+c,所以T甲+T丙=2T乙,T甲+T乙+T丙=16 800,所以T乙=16 8003=5 600。题型3分层抽样的设计18.%6745#%(2020湖北团风中学单元训练)某地区共有5个乡镇,人口共3万人,5个乡镇的人口比例为32523,从3万人口中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这两种疾病与地理位置及水土有关,问应采用什么样的抽样方法?并写出具体过程。答案：解:应采取分
17、层抽样的方法。过程如下:(1)将3万人分为五层,其中一个乡镇为一层。(2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。300315=60(人);300215=40(人);300515=100(人);300215=40(人);300315=60(人);因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60人。(3)将300人组到一起即得到一个样本。19.%9616*￥%(2020湖北仙桃中学单元训练)某单位有2 000名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中,如下表:部门年龄段人数管理技术开发营销生产总计老年40404080200中年80120160240600
18、青年401602807201 200总计1603204801 0402 000(1)若要抽取40人调查身体情况,则应该怎样抽样?答案：解:用分层抽样,因为老年人数为200,中年人数为600,青年人数为1 200,对应的比例为136,则抽取40人可以在老年、中年、青年职工中分别抽取4人,12人,24人。(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人?答案：因为出席这样的座谈会的人员应该代表各个部门,所以可按部门用分层抽样的方法进行抽样,要抽取25人。根据各部门职工人数比为24613,可以在管理、技术开发、营销、生产各部门的职工中分别随机抽取2人,4人,6人,13人。