1、专题八二次函数压轴题类型四直角三角形的存在探究2019.23(2)试题演练1. (2019通辽改编)在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx2过点A(2，0)，B(2，2)，与y轴交于点C.(1)求抛物线yax2bx2的函数表达式(2)若点D在抛物线yax2bx2的对称轴上，求ACD的周长的最小值(3)在抛物线yax2bx2的对称轴上是否存在点P，使ACP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由第1题图2. 如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于点C(0，3)，对称轴是直线x1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D.(1)求抛物线
2、的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式；(3)点E为y轴上一动点，线段CE的垂直平分线交y轴于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限当线段PQAB时，求tanCED的值；当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标3. (2019周口模拟)如图，抛物线yx2bxc与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B(3，0)，C(0，3)，点M是抛物线的顶点(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P为线段MB上一个动点，过点P作PDx轴于点D.若ODm，PCD的面积为S，试判断S是否有最大值或最小值？并说明理由；(3)在线段MB上是否存在点P，使PC
3、D为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由 第3题图答案试题演练1. 解：(1)抛物线yax2bx2(a0)过点A(2，0)，B(2，2)，解得，抛物线的函数表达式为yx2x2.(2)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x1，点C的坐标为(0，2)，点C与点B关于直线x1对称，如解图，连接AB，与对称轴x1交于点D，连接AC，CD，此时ACD的周长最小，最小为ACAB.A(2，0)，C(0，2)，B(2，2)，AC2，AB2，ACAB22.故ACD的周长最小值为22.第1题解图(3)存在，点P的坐标为(1，3)或(1，1)【解法提示】设P(1，t)，A(2，0)，C(0
4、，2)，由勾股定理可得AC28，AP2(12)2t2，CP212(t2)2，当CP为斜边时，由AC2AP2CP2，即8(12)2t2 12(t2)2，解得t3，此时点P的坐标为(1，3)；当AP为斜边时，由AC2 CP2 AP2，即812(t2)2 (12)2t2，解得t1，此时点P的坐标为(1，1)；当AC为斜边时，由AP2 CP2 AC2，即(12)2t212(t2)2 8，此方程无解，故此种情况不存在；综上，当点P的坐标为(1，3)或(1，1)时，ACP为直角三角形2. 解：(1)抛物线的对称轴是直线x1，1，解得b2，抛物线与y轴交于点C(0，3)，c3，抛物线的函数表达式为yx22x
5、3；(2)当y0时，x22x30，解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，设直线BC的函数表达式为ykxn，把C(0，3)，B(3，0)分别代入得，解得，直线BC的函数表达式为yx3；(3)AB4，PQAB3，PQy轴，PQx轴，P点和Q点关于直线x1对称，P点的横坐标为，当x时，yx22x3，P(，)，F(0，)，FC3OF3，PQ垂直平分CE交y轴于点F, CE2FC，当x1时，y2，则D(1，2)，过点D作DGCE于点G，如解图，第2题解图DG1，CG1，GECECG1，在RtEGD中，tanCED.(1，2)或(1，)【解法提示】当CDE90时，如解图所示，CDE90，OCB4
6、5，第2题解图CED为等腰直角三角形点P、D、Q在一条直线上把x1代入yx3，得y2，D(1，2)点P的纵坐标为2，将y2代入抛物线的解析式得，x22x32，解得x1或x1(舍去)点P的坐标为(1，2)当DEC90时，如解图所示，则点E的坐标为(0，2)点P在CE的垂直平分线上，点P的纵坐标为.将y代入抛物线的解析式得x22x3，解得x1或x1，点P在第三象限，P(1，)当点E在y轴移动时，不存在ECD90的情况综上所述，点P的坐标为(1，2)或(1，)第2题解图3. 解：(1)把B(3，0)，C(0，3)代入yx2bxc得，解得，抛物线的解析式为yx22x3；(2)S有最大值理由如下：yx2
7、2x3(x1)24，M(1，4)，设直线MB的解析式为ykxn，把B(3，0)，M(1，4)代入得，解得，直线BM的解析式为y2x6，ODm，P(m，2m6)(1m3)，Sm(2m6)m23m(m)2，1m3，当m时，S有最大值，最大值为；(3)存在，(，3)或(33，126)【解法提示】PDC不可能为90；当DPC90时，则PDOC3，即2m63，解得m，此时P点坐标为(，3)，当PCD90时 ，则PC2CD2PD2 ，即m2(2m3)232m2(2m6)2，整理得m26m90，解得m133(舍去)，m233，当m33时，y2m6666126，此时P点坐标为(33，126)，综上所述，当P点坐标为(，3)或(33，126)时，PCD为直角三角形.第 7 页