1、第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 学 习 目 标核 心 素 养 1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念(易混点)1.通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、导数的概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.2.通过求平均变化率、瞬时变化率及导数的学习，培养逻辑推理及数学运算的核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1函数的平均变化率(1)函数 yf(x
2、)从 x1 到 x2 的平均变化率为yx_，其中 x_是相对于 x1的一个“增量”，y_是相对于 f(x1)的一个“增量”f x2f x1x2x1x2x1f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)(2)平均变化率的几何意义设 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是曲线 yf(x)上任意不同的两点，函数 yf(x)的平均变化率yxf x2f x1x2x1f x1xf x1x为割线AB 的_，如图所示斜率思考：x，y 的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？提示 x，y 可正可负，y 也可以为零，但 x 不能为零平均变化率yx可正、可负、可为零2瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在_的速度称
3、为瞬时速度(2)函数 f(x)在 xx0 处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0 x的平均变化率在 x0 时的极限，即limx0yx_.某一时刻limx0f x0 xf x0 x3导数的概念函数 yf(x)在 xx0处的导数就是函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率，记作_，即 f(x0).f(x0)或 y|xx0limx0f x0 xf x0 x1函数 yf(x)，自变量 x 由 x0 改变到 x0 x 时，函数的改变量 y 为()Af(x0 x)Bf(x0)xCf(x0)xDf(x0 x)f(x0)D yf(x0 x)f(x0)，故选 D.2若一质点按规律 s8t2 运动，则在
4、一小段时间2,2.1内的平均速度是()A4B4.1C0.41D1.1B vsts2.1s22.122.12220.14.1，故选 B.3函数 f(x)x2 在 x1 处的瞬时变化率是_2 f(x)x2.在 x1 处的瞬时变化率是 lim x0yxlim x0f 1xf 1xlim x01x212x lim x0(2x)2.4函数 f(x)2 在 x6 处的导数等于_0 f(6)limx0f 6xf 6xlimx022x 0.合 作 探 究 释 疑 难 求函数的平均变化率【例 1】已知函数 f(x)3x25，求 f(x)：(1)从 0.1 到 0.2 的平均变化率；(2)在区间x0，x0 x上的
5、平均变化率解(1)因为 f(x)3x25，所以从 0.1 到 0.2 的平均变化率为 30.22530.1250.20.10.9.(2)f(x0 x)f(x0)3(x0 x)25(3x205)3x206x0 x3(x)253x2056x0 x3(x)2.函数 f(x)在区间x0，x0 x上的平均变化率为6x0 x3x2x6x03x.1求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量 xx2x1；第二步，求函数值的增量 yf(x2)f(x1)；第三步，求平均变化率yxf x2f x1x2x1.2求平均变化率的一个关注点求点 x0 附近的平均变化率，可用f x0 xf x0 x的形式跟进训练1如图
6、所示，函数 yf(x)在 A，B 两点间的平均变化率等于()A1 B1 C2 D2B 平均变化率为13311.故选 B.2已知函数 yf(x)2x2 的图象上点 P(1,2)及邻近点 Q(1x,2y)，则yx的值为()A4B4xC42x2D42xD yx21x2212x42x.故选 D.求瞬时速度探究问题1物体的路程 s 与时间 t 的关系是 s(t)5t2，如何计算物体在1,1t这段时间内的平均速度？提示 s5(1t)2510t5(t)2，vst105t.2当 t 趋近于 0 时，探究 1 中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？提示 当 t 趋近于 0 时，st趋近于 10，这时的平均速
7、度即为当 t1 时的瞬时速度【例 2】某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关系可用函数 s(t)t2t1 表示，求物体在 t1 s 时的瞬时速度思路探究：计算物体在1，1t内的平均速度st 令t0 计算limt0st 得t1 s时的瞬时速度 解 sts1ts1t 1t21t11211t3t，limt0stlimt0(3t)3.物体在 t1 处的瞬时变化率为 3.即物体在 t1 s 时的瞬时速度为 3 m/s.1(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度解 求物体的初速度，即求物体在 t0 时的瞬时速度 sts0ts0t 0t20t11t1t，limt0(1t)1.物
8、体在 t0 时的瞬时变化率为 1，即物体的初速度为 1 m/s.2(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为 9 m/s.解 设物体在 t0 时刻的瞬时速度为 9 m/s.又stst0tst0t(2t01)t.limt0stlimt0(2t01t)2t01.则 2t019，t04.则物体在 4 s 时的瞬时速度为 9 m/s.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量 t 和位移改变量 ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度vst.(3)求瞬时速度，当 t 无限趋近于 0 时，st无限趋近于常数 v，即为瞬时速度求函数在某一点处的导数【例 3】(1)设 函 数 y
9、f(x)在 x x0 处 可 导，且 limx0f x03xf x0 x1，则 f(x0)等于()A1 B1 C13 D13(2)求函数 f(x)x1x在 x1 处的导数思路探究：(1)类比 f(x0)limx0f x0 xf x0 x求解(2)先求y再求yx计算limx0yx(1)C limx0f x03xf x0 x limx0 f x03xf x03x3 3f(x0)1，f(x0)13，故选 C.(2)解 y(1x)11x111 x111xx x1x，yxx x1xx111x，f(1)limx0yxlimx0 111x 2.求函数 yf(x)在点 x0 处的导数的三个步骤简称：一差、二比
10、、三极限跟进训练3已知 f(1)2，则limx0f 12xf 1x_.4 f(1)2，limx0f 12xf 1xlimx0f 12xf 112 2x 2limx0f 12xf 12x2f(1)2(2)4.4求函数 y3x2 在 x1 处的导数解 yf(1x)f(1)3(1x)236x3(x)2，yx63x，f(1)limx0yxlimx0(63x)6.课 堂 小 结 提 素 养 1极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限2函数 yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况即：f(x0)limx0yxlimx0f x0 x
11、f x0 x limxx0f xf x0 xx0，且 yf(x)在 x0 处的导数是一个局部概念特别提醒：取极限前，要注意化简yx，保证使 x0 时分母不为 0.函数在 x0 处的导数 f(x0)只与 x0 有关，与 x 无关 导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛1一物体的运动方程是 s32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是()A0.4B2 C0.3D0.2B vs2.1s22.124.240.1 2.2物体自由落体的运动方程为 s(t)12gt2，g9.8 m/s2，若 vlimt0s1ts1t9.8 m/s，那么下列说法中正确的是()A9.8 m/s 是物体从 0 s 到
12、1 s 这段时间内的速率B9.8 m/s 是 1 s 到(1t)s 这段时间内的速率C9.8 m/s 是物体在 t1 s 这一时刻的速率D9.8 m/s 是物体从 1 s 到(1t)s 这段时间内的平均速率C 结合平均变化率与瞬时变化率可知选项 C 正确3设函数 f(x)ax3，若 f(1)3，则 a 等于()A2B2 C3D3D 因为 f(1)limx0f 1xf 1x limx0a1x3a3xa.因为 f(1)3，所以 a3.4设 f(x)在 x0 处可导，若limx0f x03xf x0 xA，则 f(x0)_.A3 limx0f x03xf x0 x 3 lim3x0f x03xf x03x3f(x0)A.故 f(x0)13A.5在曲线 yf(x)x23 上取一点 P(1,4)及附近一点(1x,4y)，求：(1)yx；(2)f(1)解(1)yxf 1xf 1x1x23123x 2x.(2)f(1)limx0f 1xf 1x limx0(2x)2.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
