1、2.1函数2.1.1函数第1课时变量与函数的概念学习目标1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.知识链接1.在初中，学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，它们的表达形式分别为ykx(k0)，y(k0)，yaxb(a0)，yax2bxc(a0).2.反比例函数y(k0)在x0时无意义.预习导引1.函数(1)函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作yf(x)，xA.(2)函数的定义域：在函数yf(x)，xA中，x叫
2、做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.(3)函数的值域：所有函数值构成的集合y|yf(x)，xA叫做这个函数的值域.2.区间设a，bR，且ab.定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|axb半开半闭区间(a，b3.无穷区间的表示定义x|xax|xax|xax|xaR符号a，)(a，)(，a)(，a(，)要点一函数概念的应用例1设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案B解析图号正误原因x2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.
3、同时满足任意性与唯一性.x0或2时，对应元素y3N，不满足任意性.x1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.规律方法1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应.注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余.2.函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.跟踪演练1下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A.AR，BR，x2y21B.A1,2,3,4，B0,1，对应关系如图：C.AR，BR，f：xyD.AZ，BZ，f：xy答案B
4、解析对于A项，x2y21可化为y，显然对任意xA，y值不唯一，故不符合.对于B项，符合函数的定义.对于C项，2A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合.对于D项，1A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合.要点二求函数的定义域例2求下列函数的定义域：(1)y；(2)y.解(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即所以函数的定义域为x|x1，且x1.(2)要使函数有意义，必须满足|x|x0，即|x|x，x0.函数的定义域为x|x0.规律方法1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下
5、的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f(x)由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况.2.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.跟踪演练2函数f(x)的定义域是()A.2,3) B.(3，)C.2,3)(3，) D.(2,3)(3，)答案C解析要使函数有意义，需满足即x2且x3.要点三求函数值或值域例3已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f
6、g(3)的值.解(1)f(x)，f(2).又g(x)x22，g(2)2226.(2)g(3)32211，fg(3)f(11).规律方法求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于fg(x)型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意fg(x)与gf(x)的区别.跟踪演练3求下列函数的值域.(1)y2x1，x1,2,3,4,5；(2)y1；(3)y.解(1)(直接法)将x1,2,3,4,5分别代入y2x1计算得函数的值域为3,5,7,9,11.(2)(观察法)函数的定义域为x|x0，0，11.函数y1的值域为1，).(3)(分离常数法)y1，且定义域为x|x1
7、，0，即y1.函数y的值域为y|yR，且y1.1.下列图形中，不可能是函数yf(x)的图象的是()答案B解析根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不正确.2.函数f(x)的定义域为()A.1,2)(2，) B.(1，)C.1,2) D.1，)答案A解析由题意可知，要使函数有意义，需满足即x1且x2.3.已知f(x)x2x1，则ff(1)的值是()A.11B.12C.13D.10答案C解析ff(1)f(3)93113.4.下列各组函数中，表示同一个函数的是()A.yx1和yB.yx0和y1C.f(x)x2和g(x)(x1)2D.f(x)和g(x)答案D解析A中的函数定义域不同；B中yx0的x不
8、能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.5.集合x|1x0，或1x2用区间表示为_.答案1,0)(1,2解析结合区间的定义知，用区间表示为1,0)(1,2.1.对函数相等的概念的理解：(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同.如yx与y3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数.2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点
9、所对应的数、“”(正无穷大)、“”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合.如x|axb(a，b，x|xb(，b是数集描述法的变式.一、基础达标1.下列说法正确的是()A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B.函数的定义域和值域可以是空集C.函数的定义域和值域一定是数集D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了答案C解析根据从集合A到集合B函数的定义可知，强调集合A中元素的任意性和集合B中对应元素的唯一性，所以集合A中的多个元素可以对应集合B中的同一个元素，从而选项A错误；同样由函数定义可知，A、B集合都是非空数集，故选项
10、B错误；选项C正确；对于选项D，可以举例说明，如定义域、值域均为A0,1的函数，对应关系可以是xx，xA，可以是x，xA，还可以是xx2，xA.2.函数y的定义域是()A.x|x1B.x|x0C.x|x1，或x0D.x|0x1答案D解析由得0x1.3.下列函数完全相同的是()A.f(x)|x|，g(x)()2B.f(x)|x|，g(x)C.f(x)|x|，g(x)D.f(x)，g(x)x3答案B解析A、C、D的定义域均不同.4.函数y的值域为()A.1，) B.0，)C.(，0 D.(，1答案B解析由于0，所以函数y的值域为0，).5.已知函数f(x)2x1，则f(x1)等于()A.2x1B.
11、x1C.2x1D.1答案C解析f(x1)2(x1)12x1.6.设函数f(x)，若f(a)2，则实数a_.答案1解析由f(a)2，得2，解得a1.7.求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)y；(3)y2x3；(4)y.解(1)要使函数有意义，即分式有意义，则x10，x1.故函数的定义域为x|xR，且x1.(2)要使函数有意义，则即所以x21，从而函数的定义域为x|x11，1.(3)函数y2x3的定义域为x|xR.(4)因为当x210，即x1时，有意义，所以原函数的定义域是x|xR，且x1.二、能力提升8.下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是()A.f(x)x1与g(x)B.f
12、(x)x与g(x)C.f(x)x与g(x)D.f(x)与g(x)x2答案C解析A选项中，f(x)与g(x)的对应关系不同，它们不表示同一函数；B、D选项中，f(x)与g(x)的定义域不同，它们不表示同一函数.9.已知函数f(x)的定义域为(1,1)，则函数g(x)ff(x1)的定义域是_.答案(0,2)解析由题意知即故0x2.10.设f(x)2x22，g(x)，则gf(2)_.答案解析f(2)222210，gf(2)g(10).11.已知f(x)(x2，且xR)，g(x)x21(xR).(1)求f(2)，g(1)的值；(2)求f(g(2)的值；(3)求f(x)，g(x)的值域.解(1)f(x)，f(2)；又g(x)x21，g(1)1212.(2)fg(2)f(221)f(5).(3)f(x)的定义域为x|x2，由函数图象知y0，值域是(，0)(0，).g(x)x21的定义域是R，由二次函数图象知最小值为1，值域是1，).三、探究与创新12.若f(x)的定义域为3,5，求(x)f(x)f(x)的定义域.解由f(x)的定义域为3,5，得即解得3x3.所以函数(x)的定义域为3,3.13.已知函数f(x).(1)求f(2)f，f(3)f的值；(2)求证f(x)f是定值.(1)解f(x)，f(2)f1.f(3)f1.(2)证明f(x)f1.第 9 页