1、第九单元 不等式教材复习课“不等式”相关基础知识一课过不等式、一元二次不等式过双基1两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的性质(1)对称性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开方：ab0(nN，n2)3三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2 (x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx2或xb0，
2、则下列不等式中恒成立的是()A.BabCab D.解析：选C由ab00b，故选C.2设M2a(a2)，N(a1)(a3)，则()AM N BM NCMN DMN解析：选A由题意知，MN2a(a2)(a1)(a3)2a24a(a22a3)(a1)220恒成立，所以MN，故选A.3不等式0的解集是()A. B.C. D.解析：选C将不等式化为0，故x.4(2017南昌调研)设二次不等式ax2bx10的解集为，则ab的值为()A6 B5C6 D5解析：选C由题意知，方程ax2bx10的两根为1，则有解得ab6，故选C.清易错1在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c0时，有abac2bc2
3、；若无c0这个条件，abac2bc2就是错误结论(当c0时，取“”)2对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形3当0(a0)的解集为R还是，要注意区别1设a，b，cR，且ab，则()Aacbc B.b2 Da3b3解析：选D当cbc不成立，故A不正确，当a1，b3时，B、C均不正确，故选D.2若(m1)x2(m1)x3(m1)0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A(1，) B(，1)C. D.(1，)解析：选Cm1时，不等式为2x60，即x3不合题意m1时，则解得m0(a0)2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能
4、有无数多个，也可能没有已知实数x，y满足不等式组若目标函数zyax(aR)取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是()A(1，) B1，)C(2，) D2，)解析：选A作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，当a0时，直线yaxz知在点(1,3)不可能取得最大值，则当a0时，目标函数zyax要在(1,3)处取得最大值时有唯一最优解应满足a1，故选A.基本不等式过双基1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab.2几个重要的不等式(1)a2b2 2ab(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3
5、算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)1已知a，bR，且ab1，则ab的最大值为()A1 B.C. D.解析：选Ba，bR，1ab2，ab，当且仅当ab时等号成立2若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2C2 D4解析：选C由，知a0，b0，所以2 ，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所
6、以ab的最小值为2.3(2017汉中一模)已知x，y为正实数，且满足4x3y12，则xy的最大值为_解析：124x3y2，xy3.当且仅当即时xy取得最大值3.答案：3清易错1求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件2多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性1在下列函数中，最小值等于2的函数是()AyxBycos xCyDyex2解析：选D当x0时，yx2，故A错误；因为0x，所以0cos x2，故B错误；因为，所以y2中等号取不到，故C错误；因为ex0，所以yex2222，当且仅当ex，即ex2时等号成立，故选D.2函数y12x(x0)的最小值为_解析：
7、x0，y12x1(2x)12 12，当且仅当x时取等号，故y的最小值为12.答案：12一、选择题1(2017洛阳统考)已知a0，1babab2Bab2abaCabaab2 Dabab2a解析：选D1b0，bb21，又aab2a，故选D.2下列不等式中正确的是()A若aR，则a296aB若a，bR，则2C若a，b0，则2lglg alg bD若xR，则x21解析：选Ca0，b0，.2lg2lglg(ab)lg alg b.3(2016武汉调研)若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2解析：选Da2b22ab(ab)20，A错误；对于B、C，当a0
8、，b0，2 2.4若关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()A. B.C. D.解析：选A由条件知x1，x2为方程x22ax8a20，(a0)的两根，则x1x22a，x1x28a2，故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152，解得a.5不等式组所表示的平面区域的面积为()A1 B.C. D.解析：选D作出不等式组对应的区域为BCD，由题意知xB1，xC2.由得yD，所以SBCD(xCxB).6(2017成都一诊)已知x，y(0，)，且log2xlog2y2，则的最小值是()A4 B3C2 D1解析：选D，当且仅当xy时
9、取等号log2xlog2ylog2(xy)2，xy4.1.7设变量x，y满足约束条件则目标函数zy2x的最小值为()A7 B4C1 D2解析：选A法一：将zy2x化为y2xz，作出可行域和直线y2x(如图所示)，当直线y2xz向右下方平移时，直线y2xz在y轴上的截距z减小，数形结合知当直线y2xz经过点A(5,3)时，z取得最小值3107.故选A.法二：易知平面区域的三个顶点坐标分别为(1,3)，(2,0)，(5,3)，分别代入zy2x得z的值为1，4，7，故z的最小值为7.故选A.8(2017东北育才中学模拟)若直线1(a0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于()A2 B3C4 D5
10、解析：选C因为直线1(a0，b0)过点(1,1)，所以1.所以ab(ab)222 4，当且仅当ab2时取“”，故选C.二、填空题9(2017沈阳模拟)已知实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值为_解析：因为x2y2xy1，所以x2y21xy.所以(xy)213xy132，当且仅当xy时等号成立，即(xy)24，解得2xy2.所以xy的最大值为2.答案：210(2016郑州二模)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x_.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：ba0，平移直线l，再由a，bN，可知当a6，
11、b7时，招聘的教师最多，此时xab13.答案：1311一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_ m，宽为_ m时菜园面积最大解析：设矩形的长为x m，宽为y m则x2y30，所以Sxyx(2y)2，当且仅当x2y，即x15，y时取等号答案：1512(2017邯郸质检)若不等式组表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的取值范围是_解析：直线ykx3恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线ykx3的斜率在0与1之间，即k(0,1)答案：(0,1)三、解答题13已知f(x)3x2a(6a)x6.(
12、1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值解：(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a3，原不等式可化为a26a30，解得32a32.原不等式的解集为a|32ab的解集为(1,3)等价于方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，故解得14(2016济南一模)已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解：(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，即xy10，当且仅当2x5y时等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 1
13、01.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时等号成立的最小值为.全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度不等式性质5年2考比较大小一元二次不等式解法5年8考与集合交汇命题考查解法不等式恒成立问题未考查不等式的性质及应用利用不等式性质比较大小或判断命题真假，一般直接利用性质推导或特殊值法验证. 典例若0，给出下列不等式：0；ab；ln a2ln b2.其中正确的不等式是()ABC D解析法一：用“特值法”解题因为0，故可取a1，b2.显然|a|b1210，所以错误，综上所述，可排除A、B、D.法二：用“直接法”解题由0，可知ba0.中，因为ab0，所以，即正确；
14、中，因为baa0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又0，所以ab，故正确；中，因为baa20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确。答案C方法技巧不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件(2)与充要条件相结合问题用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确，要注意特殊值法的应用(3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法即时演练1(2017泰安调研)设a，bR，若p：a
15、b，q：0，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B当ab时，0不一定成立；当0时，ab0，则与的大小关系是_解析：(ab).ab0，(ab)20，0.答案：一元二次不等式的解法典例解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0x2x24；(3)ax2(a1)x10(a0)解(1)原不等式可化为3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集为.(2)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为.(3)原不等式变为(ax1)(x1)0，因为a0，所以a(x1)0.所以当a1时，解为x1；当a1时，解集为；当0a1时，
16、解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为.方法技巧解一元二次不等式的四个步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式；(2)判：计算对应方程的判别式；(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根；(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集即时演练1设函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集是()A(3,1)(3，) B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)解析：选A由题意知f(1)3，故原不等式可化为或解得3x3，所以原不等式的解集为(3,1)(3，)，故选A.2(20
17、16昆明、玉溪统考)若不等式ax2bxc0的解集为x|1x2ax的解集为()Ax|2x1 Bx|x1Cx|0x3 Dx|x3解析：选C由题意a(x21)b(x1)c2ax，整理得ax2(b2a)x(acb)0，又不等式ax2bxc0的解集为x|1x2，则a0，且1,2分别为方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系得即，将两边同除以a得x2x0，将代入得x23x0，解得0x3，故选C.一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交
18、点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.常见的命题角度有：(1)形如f(x)0(xR)确定参数的范围；(2)形如f(x)0(xa，b)确定参数范围；(3)形如f(x)0(参数ma，b)确定x的范围.角度一：形如f(x)0(xR)确定参数的范围1(2016南昌一模)已知不等式mx22xm10，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解：不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，12x0，则x，不满足题意；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且方程mx22xm10无解，
19、即不等式组的解集为空集，即m无解综上可知不存在这样的m.方法技巧对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方角度二：形如f(x)0(xa，b)确定参数的范围2(2017西安八校联考)设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解：要使f(x)m5在1,3上恒成立，则mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立有以下两种方法：法一：令g(x)m2m6，x1,3当m0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，则0
20、m.当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6.所以m0.综上所述，m的取值范围是.法二：因为x2x120，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可因为m0，所以m的取值范围是.方法技巧解决一元二次不等式的恒成立问题常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值角度三：形如f(x)0(参数ma，b)确定x的范围3对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围解：由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，解得
21、x3.故当x(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零 方法指导解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解 1(2014全国卷)已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB()A2，1B1,2)C1,1 D1,2)解析：选AAx|x1或x3，故AB2，1，选A.2(2014全国卷)设集合M0,1,2，Nx|x23x20，则MN()A1 B2C0,1 D1,2解析：选DNx|x23x20x|1x2，又M0,1,2，所以MN1,23(201
22、2全国卷)已知集合Ax|x2x20，Bx|1x1，则()AABBBACAB DAB解析：选BAx|x2x20x|1x2，Bx|1xb，cd，则acbdB若acbc，则abC若，则ab，cd，则acbd解析：选C取a2，b1，c1，d2，可知A错误；当cbcab，B错误；0，ab，则下列不等式成立的是()Aa2b2 B.a0 D.1解析：选B法一：因为函数f(x)x在R上是减函数，又ab，所以ab，故选B.法二：取a，b，则a2，b2，a2b2，lg(ab)lg0，00，Nx|mx8，若MNx|6x0x|x4或x0，Nx|mx8，由于MNx|6xn，m6，n8，mn14，故选C.4(2016重庆
23、检测)不等式1的解集是()A(，1)(1，)B(1，)C(，1)D(1,1)解析：选A1，10，即0，x1.5不等式f(x)ax2xc0的解集为x|2x1，则函数yf(x)的图象为()解析：选B由根与系数的关系得21，2，得a1，c2，f(x)x2x2(经检验知满足题意)，f(x)x2x2，其图象开口向下，对称轴为x，结合图象知选B.6(2017合肥一模)若不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0) B3,0)C3,0 D(3,0解析：选D当k0时，显然成立；当k0时，即一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则解得3k0.综上，满足不等式2kx2kx0对
24、一切实数x都成立的k的取值范围是(3,07若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是()A4,1 B4,3C1,3 D1,3解析：选B原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1aab，则实数b的取值范围是_解析：ab2aab，a0，当a0时，b21b，即解得b1；当a0时，b21b，即此式无解综上可得实数b的取值范围为(，1)答案：(，1)10(2017河南六市一联)不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析：不等式x2ax40，即a216.a4或a4.答案：(
25、，4)(4，)11已知函数f(x)为奇函数，则不等式f(x)4的解集为_解析：因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，可得a3，b1，所以f(x)当x0时，由x23x4，解得0x4；当x0时，由x23x4解得x0，所以不等式f(x)4的解集为(，4)答案：(，4)12若关于x的不等式ax2|x|2a0的解集为空集，则实数a的取值范围为_解析：ax2|x|2a0a，当x0时，(当且仅当x时取等号), 当x0时，0，因此要使关于x的不等式ax2|x|2aa2(aR)的解集解：原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，不等式的
26、解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0时，不等式的解集为.14某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)由题意得，y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6
27、x)(0x1)，整理得y6 000x22 000x20 000(0x1)(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得0x0)的最小值；(2)对于任意的x0,2，不等式f(x)a成立，试求a的取值范围解：(1)依题意得yx4.因为x0，所以x2.当且仅当x时，即x1时，等号成立所以y2.所以当x1时，y的最小值为2.(2)因为f(x)ax22ax1，所以要使得“任意的x0,2，不等式f(x)a成立”只要“x22ax10在0,2上恒成立”不妨设g(x)x22ax1，则只要g(x)0在0,2上恒成立即可所以即解得a.故a的取值范围为.高考研究课(二)简单的线性规划问题全国卷5年命题分析考
28、点考查频度考查角度线性规划求最值5年7考求最值，由最值求参数，与量词交汇命题线性规划实际应用5年1考实际应用(整点)二元一次不等式(组)表示平面区域典例(1)设不等式组所表示的平面区域为D，则区域D的面积为_(2)已知不等式组表示的平面区域被直线2xyk0平分成面积相等的两部分，则实数k的值为_解析(1)画出可行域如图中阴影部分所示易得A，B(0,2)，C(0，4)，所以可行域D的面积为2.(2)画出可行域，如图中阴影部分所示，其面积为1(11)1，可知直线2xyk0与区域边界的交点A，B的坐标分别为及，要使直线2xyk0把区域分成面积相等的两部分，必有k2.答案(1)(2)2方法技巧确定二元
29、一次不等式表示平面区域的方法与技巧(1)直线定界即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线(2)特殊点定域即在直线AxByC0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧常选(1,0)或(0,1)点即时演练1不等式组所表示的平面区域内的整点个数为()A2B3C4 D5解析：选C由不等式2xy6得y0，y0，则当x1时，0y4，则y1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x2时，0y2，则y1，此时整点有(2,1)；当x3时，y无解故平面区域内的整点个数为4，故选C
30、.2若实数x，y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是()A3 B.C2 D2解析：选C因为直线xy1与xy1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，故|AB|，|AC|2，所以其面积为|AB|AC|2.目标函数最值的求法及应用线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.,常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标函数的最值；(3)求线性规划中的参数值或范围；(4)线性规划的实际
31、应用.角度一：求线性目标函数的最值1(2016北京高考)若x，y满足则2xy的最大值为()A0 B3C4 D5解析：选C根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y2x，当直线平移到过点A时，目标函数取得最大值，由可得A(1,2)，此时2xy取最大值为2124.角度二：非线性目标函数的最值2(2016山东高考)若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A4 B9C10 D12解析：选C作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示x2y2表示平面区域内点到原点距离的平方，由得A(3，1)，由图易得(x2y2)max|OA|232(1)210.故选C.3设x，y满足约束条件则的取值范围是()A1
32、,5 B2,6C2,10 D3,11解析：选D设z12，设z，则z的几何意义为动点P(x，y)到定点D(1，1)的斜率，画出可行域如图中阴影部分所示，则易得zkDA，kDB，易得z1,5，z12z3,11角度三：求线性规划中参数值或范围4已知z2xy，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是()A. B.C. D.解析：选A根据题意画出如图所示的可行域平移直线l：2xy0，当l过点A(m，m)时z最小，过点B(1,1)时z最大，由题意知，zmax4zmin，即343m，m.5(2017西城区期末)若x，y满足约束条件且目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()
33、A4,2 B(4,2)C4,1 D(4,1)解析：选B作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线zax2y的斜率为k，从图中可看出，当12，即4a2时，目标函数z仅在点(1,0)处取得最小值故选B.角度四：线性规划的实际应用6(2017南昌模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A12万元 B16万元C17万元 D18万元解析：选D根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则目标函数为z3x4y，作出不等式
34、组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x4y0并平移，易知当直线经过点A(2,3)时，z取得最大值且zmax324318，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.方法技巧1求目标函数的最值3步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置； (3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值2常见的3类目标函数(1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa
35、)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.3解答线性规划实际问题的3步骤(1)根据题意设出变量，找出约束条件和目标函数；(2)准确作出可行域，求出最优解；(3)将求解出来的结论反馈到实际问题当中，设计最佳方案提醒注意转化的等价性及几何意义1(2014全国卷)不等式组的解集记为D.有下面四个命题：p1：(x，y)D，x2y2，p2：(x，y)D，x2y2，p3：(x，y)D，x2y3，p4：(x，y)D，x2y1.其中真命题是()Ap2，p3 Bp1，p4Cp1，p2 Dp1，p3解析：选C画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数zx2y经过可行域内的点A(2，1)时，取得最小值0，故x2
36、y0，因此p1，p2是真命题，选C.2(2016全国丙卷)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示平移直线xy0，当直线经过A点时，z取得最大值， 由得A，zmax1.答案：3(2015全国卷)若x，y满足约束条件则的最大值为_解析：画出可行域如图阴影部分所示，表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，点(x，y)在点A处时最大由得A(1,3)的最大值为3.答案：34(2016全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙
37、材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为即目标函数为z2 100x900y，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分作直线2 100x900y0，即7x3y0，当直线经过点B时，z取得最大值，联立解得B(60,100)则zmax2 10060900100216 000(元)答案：216 000一、选择题1设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1
38、,0)之间的距离的最小值为()A. B.C. D.解析：选C作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2xy0的距离最小，d，故最小距离为.2(2016天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x5y的最小值为()A4 B6C10 D17解析：选B由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为yxz，在图中画出直线yx，平移该直线，易知经过点A时z最小又知点A的坐标为(3,0)，zmin23506.故选B.3(2017河南豫西五校联考)设zxy，其中实数x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为()A3 B2C1 D0解析：选A法一：作出实数x，y满足的
39、平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数zxy经过点C(k，k)时，取得最大值，且zmaxkk6，得k3.当目标函数zxy经过点B(6,3)时，取得最小值，且zmin633，故选A.法二：先作出所表示的平面区域，再作出直线xy6，则直线xy6与直线yx的交点为(3,3)，结合题意易知k3.故不等式组表示的平面区域的顶点分别为(0,0)，(6,3)，(3,3)，分别代入zxy得z的值为0，3,6，所以z的最小值为3.4已知实数x，y满足则z2x2y1的取值范围是()A. B0,5C. D.解析：选D画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：2x2y10，平移l可知221z0)
40、的最大距离为2，则实数k_.解析：题中的不等式组表示的平面区域是以(0,1)，(0,3)，(1,2)为顶点的三角形区域(如图所示)，易得平面区域内的点(0,3)到直线ykx1(k0)的距离最大，所以2，又k0，得k1.答案：112(2016江苏高考)已知实数x，y满足则x2y2的取值范围是_解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x，y)为阴影区域内的动点d可以看做坐标原点O与可行域内的点(x，y)之间的距离数形结合，知d的最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线2xy20的距离由可得A(2,3)，所以dmax，dmin.所以d2的最小值为，最大值为13.所以x2y2的取值范
41、围是.答案：三、解答题13(2017山西实验中学诊断)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，求a的取值范围解：不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)解得A，解得B(1,0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线xya中a应满足0a1或a.故a的取值范围为(0,1.14(2016天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料 ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙
42、种肥料，产生的利润为3万元分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分(2)设利润为z万元，则目标函数为z2x3y.考虑z2x3y，将它变形为yx，它的图象是斜率为，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大根据x，y满足的约束条件，由图可知，当直线z2x3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得点M的坐标为(20,24
43、)，所以zmax220324112.故生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度基本不等式求最值未考查基本不等式的实际应用未考查利用基本不等式求最值利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容.,常见的命题角度有：(1)通过配凑法求最值；(2)通过常值代换法求最值；(3)通过消元法求最值.角度一：通过配凑法求最值1(2017泉州检测)已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A. B.C. D.解析：选B0x2)在xa处取
44、最小值，则a等于()A1 B1C3 D4解析：选Cx2，x20，f(x)x(x2)222224，当且仅当x2，即(x2)21时等号成立，解得x1或3.又x2，x3，即a等于3时，函数f(x)在x3处取得最小值，故选C.方法技巧(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式角度二：通过常值代换法求最值3(2016日照二模)已知第一象限的
45、点(a，b)在直线2x3y10上，则代数式的最小值为()A24B25C26 D27解析：选B因为第一象限的点(a，b)在直线2x3y10上，所以2a3b10，a0，b0，即2a3b1，所以(2a3b)49132 25，当且仅当，即ab时取等号，所以的最小值为25，选B.方法技巧将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决此类问题的常用方法角度三：通过消元法求最值4(2017山西大学附中检测)已知函数f(x)|lg x|，ab0，f(a)f(b)，则的最小值等于_解析：由函数f(x)|lg x|，ab0，f(a)f(b)，可知a1b0，所以lg alg b，b，aba0，则a2(当且仅当a，即a时
46、，等号成立)答案：2方法技巧利用给定条件变形，消去其中一元，变为一元变量函数，再配凑后使用基本不等式求最值基本不等式的实际应用典例某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比x(x1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x4 000，得a.则S(x)(a
47、8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)160804 160(x1)(2)由(1)知，S(x)804 1608024 1601 6004 1605 760.当且仅当2，即x2.5时，等号成立，此时a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米方法技巧利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解即时演练1
48、.如图，某城镇为适应旅游产业的需要，欲在一扇形OAB(其中AOB45，扇形半径为1)的草地上修建一个三角形人造湖OMN(其中点M在OA上，点N在或OB上，OMN90)，且沿湖边OMN修建休闲走廊，现甲部门需要人造湖的面积最大，乙部门需要人造湖的走廊最长，请你设计出一个方案，则该方案()A只能满足甲部门，不能满足乙部门B只能满足乙部门，不能满足甲部门C可以同时满足两个部门D两个部门都不能满足解析：选C当点N在上时，设OMx，MNy，则x2y21，所以人造湖的面积Sxy，走廊长l1xy1111，上述两个不等式等号成立的条件均为xy，即点N在点B处；当点N在线段OB上时，人造湖的面积、休闲走廊长度的
49、最大值显然也在点B处取得2运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解：(1)设所用时间为t，则t(h)，y214，x50,100所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50,100(2)yx26，当且仅当x，即x18时等号成立故当x18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元一、选择题1设0ab，则下列不等式中正确的是()Aab BabCab D.ab解析：
50、选B因为0ab，所以a()0，故a0，故b；由基本不等式知，综上所述，a0，所以“a2b22ab”是“2”的必要不充分条件3设正实数a，b满足ab1，则()A.有最大值4 B.有最小值C.有最大值 Da2b2有最小值解析：选C由于a0，b0，由基本不等式得1ab2，当且仅当ab时，等号成立，ab，4，因此的最小值为4，a2b2(ab)22ab12ab1，()2ab212112，所以有最大值，故选C.4(2017开封摸底考试)已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4C. D.解析：选B由题意得x2y8x2y82，当且仅当x2y时，等号成立，整理得(x2y)24(x2y)3
51、20，即(x2y4)(x2y8)0，又x2y0，所以x2y4，所以x2y的最小值为4，故选B.5(2017江南十校联考)设x，yR，a1，b1，若axby2,2ab8，则的最大值为()A2 B3C4 Dlog23解析：选Baxby2，xloga2，ylogb2，log2alog2blog2(ab)又a1，b1，82ab2，即ab8，当且仅当2ab，即a2，b4时取等号，log2(ab)log283.故max3.6不等式x22x对任意a，b(0，)恒成立，则实数x的取值范围是()A(2,0) B(，2)(0，)C(4,2) D(，4)(2，)解析：选C不等式x22x对任意a，b(0，)恒成立，等
52、价于x22xmin，由于2 8(当a4b时等号成立)，x22x8，解得4x0，则tt2(t1)2(当且仅当t1时等号成立)故选D.二、填空题9(2017云南两市联考)已知向量a(m,1)，b(1n,1)，m0，n0，若ab，则的最小值是_解析：向量ab的充要条件是m11(1n)，即mn1，故(mn)332，当且仅当nm2时等号成立，故的最小值是32.答案：3210已知a，b，c都为实数，且b，c同号，若a，则的最小值为_解析：由已知得a2bc，所以a2bc2(当且仅当bc1时取等号)，故的最小值为2.答案：211(2016周口调研)已知对任意正实数x，y，x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_
53、解析：依题意得x2x(x2y)2(xy)，即2(当且仅当x2y时取等号)，即的最大值是2，又恒成立，所以2，即的最小值是2.答案：212.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9平方米，且高度不低于米，记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y米，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x_.解析：设横断面的高为h，由题意得ADBC2BCx，hx，9(ADBC)h(2BCx)x，故BC，由得2x6，yBC2x(2x6)，从而y2 6，当且仅当
54、(2x6)，即x2时等号成立答案：2三、解答题13已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 ，得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18.当且仅当x12且y6时等号成立，xy的最小值为18.14某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值解：(1)由题设，得S(x8)2x916，x(8,450)(2)因为8x450，所以2x2 240，当且仅当x60时等号成立，从而S676.故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.
