1、新20版练B1数学人教A版5.7三角函数的应用第五章 三角函数5.7 三角函数的应用考点1 函数式y=Asin(x+)描述简谐运动时的基本概念问题1.(2018重庆第一中学高二期末)已知简谐运动f(x)=2sin3x+|2的图像经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为()。A.T=6,=6B.T=6,=3 C.T=6,=6D.T=6,=3答案:A解析: T=2=23=6。f(x)的图像过点(0,1),sin =12。-20,0)在一个周期内的简图时,列表如下:x+02322x12451271234y020-20则振幅是,相位是。答案: 23x-4解析: 由表格得A=2,34-1
2、2=2,=3。x+=3x+。当x=12时,3x+=4+=0,=-4。考点2知模型求参数问题5.(2019福建闽侯第六中学高三上期末)如图5-7-1为一半径为3 m的水轮,水轮圆心O距水面2 m,已知水轮每分钟转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足关系式y=Asin(x+)+2,则有()。图5-7-1A.=512,A=5B.=215,A=3 C.=512,A=3D.=152,A=5答案:B解析: 水轮的半径为3 m,水轮圆心O距离水面2 m,A=3。又水轮每分钟旋转4圈,故转1圈需要15 s,T=15=2,=215,故选B。6.(2019四川泸州高三上期末)某商品一年内每件出厂
3、价在5万元的基础上,按月呈f(x)=Asin(x+)+BA0,0,|2的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价7万元,7月份达到最低价3万元,根据以上条件可以确定f(x)的解析式是()。A.f(x)=2sin4x+4 +5(1x12,xN*)B.f(x)=7sin4x-4+5(1x12,xN*)C.f(x)=7sin4x+4+5(1x12,xN*)D.f(x)=2sin4x-4+5(1x12,xN*)答案:D解析: 根据题意,得T=2(7-3)=8,则=2T=4。由A+B=7,-A+B=3,得A=2,B=5。当x=3时,2sin43+5=7,得=-4,f(x)=2sin4x-4+5(1x1
4、2,xN*)。故选D。7.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0t24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据。t/时03691215182124y/米1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测,y=f(t)可近似地看成是函数y=Acos t+B。(1)根据上表数据,求函数y=Acos t+B的最小正周期T、振幅A及函数解析式;答案: 由表中数据知周期T=12,=2T=6。由t=0,y=1.5,得A+B=1.5。由t=3,y=1.0,得B=1.0。A=0.5,B=1。y=12cos 6t+1,t0,24。(2)依据规定,当海浪高度等于或高于1
5、米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内8时至20时之间,有多长时间可供冲浪爱好者进行运动。答案: y1,12cos 6t+11。cos 6t0。2k-26t2k+2(kZ)。12k-3t12k+3(kZ)。又8t20,k=1,9t15。冲浪爱好者从9时到15时,有6小时可进行运动。考点3建立三角函数模型问题8.如图5-7-2,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(2,-2),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为()。图5-7-2图5-7-3答案:C解析: P0(2,-2),P0Ox=4。按逆时针转时间t后得POP0=t,POx=t-4,此
6、时P点纵坐标为2sint-4,d=2sint-4。当t=0时,d=2,排除A,D项;当t=4时,d=0,排除B项,故选C。9.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d=,t0,60。答案:0sin t60解析: 如图所示,经过t秒钟,秒针转过的角度为AOB=t30。取AB的中点C,则AOC=t60,d=|AB|=2|OA|sinAOC=10sin t60,t0,60。10.如图5-7-4所示为一个观览车示意图,该观览车半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m
7、,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动角到OB,设B点与地面距离为h。图5-7-4(1)求h与间关系的函数解析式;答案: 过点O作地面的平行线ON,过点B作ON的垂线BM交ON于点M。当2时,BOM=-2,h=|OA|+0.8+|BM|=5.6+4.8sin-2;当02,2时,上述解析式也适合。综上所述,h=5.6+4.8sin-2。(2)设从OA开始转动,经过t s到达OB,求h与t间关系的函数解析式。答案: 因为点A在O上逆时针运动的角速度是30 rad/s,所以t s转过的弧度数为30t,所以h=4.8sin30t-2+5.6,t0,+)。考点4三角函数模型的应
8、用问题11.(2019辽宁师范大学附属中学高三上期末)如图5-7-5,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin6x+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()。图5-7-5A.5B.6C.8D.10答案:C解析: 由图像知ymin=2。因为ymin=-3+k,所以-3+k=2,解得k=5,所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8,故选C。12.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin t2(t0),则人流量增加的时间段是()。A.0,5B.5,10 C.10,15D.15,20答案:C解
9、析: 由2k-2t22k+2,kZ,知函数F(t)的单调递增区间为4k-,4k+,kZ。当k=1时,t3,5。因为10,153,5,故选C。13.已知某种交流电电流i(A)随时间t(s)的变化规律可以用函数i=52sin100t-2,t0,+)表示,则这种交流电电流在0.5 s内往复运行次。答案:25解析: 周期T=2100=150(s),频率为每秒50次。0.5 s往复运行25次。14.已知某地一天从416时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin8x-54+20,x4,16。(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差。答案: 由函数易知,当x=14时,函数取得最大值,此时最高温度为30 ,当
10、x=6时,函数取得最小值,此时最低温度为10 ,所以最大温差为30 -10 =20 ()。(2)若有一种细菌在15 到25 之间可以生存,则在这段时间内,该细菌最多能存活多长时间?答案: 令10sin8x-54+20=15,得sin8x-54=-12,因为x4,16,所以x=263。令10sin8x-54+20=25,得sin8x-54=12。因为x4,16,所以x=343。故该细菌能存活的最长时间为343-263=83(小时)。考点5三角函数模型的综合问题15.如图5-7-6所示,一个单摆以OA为始边,OB为终边的角(-0)。因为T4=4,所以T=16,所以=216=8,所以y=4sin8x
11、+。又曲线经过最高点M(2,4),所以82+=2+2k,kZ,所以=4+2k,kZ,取=4,所以y=4sin8x+4。23.(2019山东东营四校高三期末联考)某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-2sin12t+3,t0,24),该实验室这一天的最大温差为。答案: 4 解析: 因为f(t)=10-2sin12t+3,t0,24),所以312t+30,300942,的最小正整数值是943。25.(2019山西大同模块统考)某港口一天内的水深y(米)是时间t(0t24,单位:时)的函数,下面是水深数据:t/时03691215182124y/米10
12、.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图5-7-11所示,经拟合,该曲线可近似地看成正弦型函数y=Asin t+B(A0,0)的图像。图5-7-11(1)试根据数据和曲线,求出y=Asin t+B的解析式。答案: 从拟合的曲线可知,函数y=Asin t+B的一个周期为12小时,因此=2T=6。又ymin=7,ymax=13,A=12(ymax-ymin)=3,B=12(ymax+ymin)=10。函数的解析式为y=3sin 6t+10(0t24)。(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离
13、)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间)答案: 由题意,水深y4.5+7,即y=3sin 6t+1011.5,t0,24,sin 6t12,6t2k+6,2k+56,k=0,1,t1,5或t13,17。该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港。若欲当天安全离港,则船在港内停留的时间最多不能超过16小时。26.(2019武汉二中月考)弹簧挂着的小球做上下振动,它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式表示:h=3sin2t+4。(1)求小球开始振动的位置
14、;答案: 令t=0,得h=3sin 4=322,所以小球开始振动的位置为0,322。(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置;答案: 最高点为8,3,第一次到达最低点为58,-3。(3)经过多长时间小球往返振动一次?答案: T=22=3.14,即每经过约3.14 s小球往返振动一次。(4)每秒内小球能往返振动多少次?答案: f=1T0.318,即每秒内小球往返振动约0.318次。27.(2019海口中学月考)如图5-7-12所示,某大风车的半径为2 m,每12 s旋转一周,它的最低点O离地面0.5 m,风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t(s)后与地面的距离为h(m)。图5-7-12(1)求函数h=f(t)的关系式;答案: 如图(1),以O为原点,过点O的圆的切线为x轴建立直角坐标系,设点A的坐标为(x,y),则h=y+0.5。设OO1A=,则cos =2-y2,y=-2cos +2。又=212t,即=6t,所以y=-2cos 6t+2,即h=f(t)=-2cos 6t+2.5。(2)画出函数h=f(t)的图像。答案: 函数h=-2cos 6t+2.5的图像如图(2)所示。