1、第9讲函数模型及其应用 1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)2.三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同1辨明两
2、个易误点(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域(2)注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性2解决实际应用问题的四大步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：1. 一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的() B2下列函数中，随x的增大，
3、y的增长速度最快的是()AyexBy100 ln xCyx100 Dy1002x A3在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A BC DC 设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，所以y40x.因为xy300，所以x(40x)300，所以x240x3000，所以10x30.4生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_万件 利润L(x)20xC(x)(x18)214
4、2，当x18时，L(x)有最大值 185某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是_ 由题意可得y y一次函数与二次函数模型(高频考点)高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数(2017日照模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高
5、、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4x20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年(1)当0x20时，求函数v关于x的函数解析式(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值【解】(1)由题意得当0x4时，v2；当4x20时，设vaxb，显然vaxb在(4，20内是减函数，由已知得解得所以vx，故函数v(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(
6、1)可得f(x)当0x4时，f(x)为增函数，故f(x)maxf(4)428；当4x20时，f(x)x2x(x220x)(x10)2，f(x)maxf(10)12.5.所以当00)模型为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并
7、求最小值【解】(1)由已知条件得C(0)8，则k40，因此f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x10102 1070(万元)，当且仅当6x10，即x5时等号成立所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元应用函数yx(a0)模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)ax与反比例函数f(x)叠加而成的(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)ax的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f(x)ax的形式(1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域(2)利用模型f(x)ax求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件要建造一个容积为2 400 m3
8、，深为6 m的长方体无盖水池池底造价为100元/m2，池壁造价为80元/m2，则最低造价为_(元) 设水池长为x，则宽为.则总造价y(12x)80400100960(x)40 000960240 00078 400(元)当且仅当x，即x20时，最低造价为78 400元 78 400指数、对数函数模型(1)(2016高考四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2
9、018年B2019年C2020年 D2021年(2)里氏震级M的计算公式为：Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍【解析】(1)设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(112%)x200，即1.12xx3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年(2)Mlg 1 000lg 0.0013(3)6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A
10、1，A2，则9lg A1lg A0lg ，则109，5lg A2lg A0lg ，则105，所以104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍【答案】(1)B(2)610 000(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示通常可以表示为yN(1p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式求解时可利用指数运算与对数运算的关系(2)已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可 (2017湛江模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt(cm
11、3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一 当t0时，ya；当t8时，yae8ba，故e8b.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，则t24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一 16 1.如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线lAB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把图形ABCD分成两部分，设AEx，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为()D 因为左侧部分面积为y，随x的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加
12、，只有D选项适合2(2017聊城模拟)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()Ay2xByx21Cy2x2 Dylog2xD 根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()Ax15，y12 Bx12，y15Cx1
13、4，y10 Dx10，y14A 由三角形相似得.得x(24y)，所以Sxy(y12)2180，所以当y12时，S有最大值，此时x15.4某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是()A减少7.84% B增加7.84%C减少9.5% D不增不减A 设某商品价格为a，依题意得：a(10.2)2(10.2)2a1.220.820.921 6a，所以四年后的价格与原来价格比较，(0.921 61)a0.078 4a，即减少7.84%.5已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖
14、这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A40万元 B60万元C120万元 D140万元C 甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120620(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20240万元，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(12040)440(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40280万元，共获利4080120万元，故选C.6.(2017临沂模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为
15、x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为()A BC DB 根据题意知，9(ADBC)h，其中ADBC2BCx，hx，所以9(2BCx)x，得BC，由得2x6.所以yBC2x(2x6)，由y10.5，解得3x4.因为7.某人根据经验绘制了2016年元旦前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿_千克 前10天满足一次函数关系式，设为ykxb，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得解得k，b，所以yx，则当x6时，y
16、. 8有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为_(围墙厚度不计) 设矩形的长为x m，宽为m，则Sx(x2200x)当x100时，Smax2 500 m2. 2 500 m29某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_ 七月份：500(1x%)，八月份：500(1x%)2.所以一
17、至十月份的销售总额为：3 86050027 000，解得1x%2.2(舍)或1x%1.2，所以xmin20. 2010一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为_海里/小时时，总费用最小 设每小时的总费用为y元，则ykv296，又当v10时，k1026，解得k0.06，所以每小时的总费用y0.06v296，匀速行驶10海里所用的时间为小时，故总费用为Wy(0.06v296)0.6v248，当且仅当0.6v，即v40时等号成立故总费用最小时轮船的速
18、度为40海里/小时 4011A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？ (1)x的取值范围为10x90.(2)y5x2(100x)2(10x90)(3)因为y5x2(100x)2x2500x25 000，所以当x时，ymin.故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y
19、最少12某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿(1)当x时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (1)当x时，设该项目获利为S，则S200xx2400x80 000(x400)2，所以当x时，S0，因此该项目不会获利当x300时，S取得最大值
20、5 000；当x200时，S取得最小值20 000.所以国家每月补偿数额的范围是(2)由题意可知，二氧化碳的每吨处理成本为当x (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有ablog30，即ab0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故ablog31，整理得a2b1.解方程组得(2)由(1)知，vablog31log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v2，所以1log32，即log33，解得27，即Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位14.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企
21、业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中有：这种消费品的进价为每件14元；该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；每月需各种开支2 000元(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早有望在几年后脱贫？设该店月利润余额为L，则由题设得LQ(P14)1003 6002 000，由销量图易得Q代入式得L (1)当14P20时，Lmax450元，此时P19.5元；当20P26时，Lmax元，此时P元故当P19.5元时，月利润余额最大，为450元 (2)设可在n年后脱贫，依题意有12n45050 00058 0000，解得n20，即最早有望在20年后脱贫