1、第5讲直接证明和间接证明1直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法综合法又称为：由因导果法(顺推证法)(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法分析法又称为：执果索因法(逆推证法)2间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证
2、法做一做1下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；反证法是间接证法其中正确的有()A2个B3个C4个 D5个解析：选D.由分析法、综合法、反证法的定义知都正确2(2015山西太原模拟)用反证法证明“若x210，则x1或x1”时，应假设_解析：“x1或x1”的否定是“x1且x1”答案：x1且x11辨明两个易误点(1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论；(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的2
3、证题的三种思路(1)分析法证题的一般思路：分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件(2)综合法证题的一般思路：用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论(3)反证法证题的一般思路： 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现做一
4、做3在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足_解析：由余弦定理cos A0，所以b2c2a2b2c2.答案：a2b2c2,学生用书P114P115)_综合法的应用(高频考点)_综合法证明是历年高考的热点问题，也是必考问题之一通常在解答题中某一问出现，一般为中高档题，高考对综合法的考查常有以下三个命题角度：(1)三角函数、数列证明题；(2)几何证明题；(3)与函数、方程、不等式结合的证明题(1)(2015山东烟台模拟)设数列an的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意nN*，Sn是a和an的等差中项证明数列an为等差数列，并求数列an的通项公式；证明1时，f
5、(x)0，当n1时，2a1aa1，解得a11(a10舍去)；当n2时，有2Sn1aan1.于是2Sn2Sn1aaanan1，即2anaaanan1.于是aaanan1，即(anan1)(anan1)anan1.因为anan10，所以anan11(n2)故数列an是首项为1，公差为1的等差数列，所以数列an的通项公式为ann.证明：因为ann，所以Sn，则2，所以221时，g(x)0.又g(1)0，所以g(x)0，即f(x)1时，2x1，故.令k(x)ln xx1，则k(1)0，k(x)10，故k(x)0，即ln x1时，f(x)0，3x20，由基本不等式知显然成立，故原结论成立规律方法(1)分
6、析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证；(2)要注意书写格式的规范性2.ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明：要证，即证3，也就是证1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2.又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立_反证法_(2013高考陕西卷)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n
7、项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1.a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列规律方法用反证法证明数学命题要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必
8、须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的3.已知xR，ax2，b2x，cx2x1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.证明：假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，则有abc3，而abc2x22x3233，两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.方法思想转化与化归思想求证函数的综合问题设函数f(x)x33bx23cx有两个极值点x1，x2，且x11，0，x21，2(1)求b，c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内画出满足这些
9、条件的点(b，c)的区域；(2)证明：10f(x2).解(1)f(x)3x26bx3c.依题意知，方程f(x)0有两个根x1，x2，且x11，0，x21，2等价于f(1)0，f(0)0，f(1)0，f(2)0.由此得b，c满足的约束条件为满足这些条件的点(b，c)的区域为图中阴影部分(2)证明：由题设知f(x2)3x6bx23c0，故bx2xc.于是f(x2)x3bx3cx2xx2.由于x21，2，而由(1)知c0，故43cf(x2)c.又由(1)知2c0，所以10f(x2).名师点评1.本题在求证第(2)问时，利用了转化与化归思想，利用f(x2)0得出bx2xc.进而转化为f(x2)xx2，
10、借助于(1)中c的范围证明出结论2解决此类问题，要培养观察能力，即观察条件、结论，且能从数学的角度揭示其差异，如“高次低次”“分式(根式)整式”“多元一元”等，从而为我们的化归转化指明方向，奠定基础(2014高考天津卷)已知q和n均为给定的大于1的自然数设集合M0，1，2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1，2，n(1)当q2，n3时，用列举法表示集合A；(2)设s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，i1，2，n.证明：若anbn，则st.解：(1)当q2，n3时，M0，1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1，2，3，可得，A0，1
11、，2，3，4，5，6，7(2)证明：由s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1，2，n及anbn，可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1qn110.所以st.1若ab0，则下列不等式中成立的是()A.bCba D.解析：选C.ab.由不等式的同向可加性知ba.2(2014高考山东卷)用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两
12、个实根解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根，故应选A.3分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设abc，且abc0，求证：0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析：选C.ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.故选C.4(2015宁夏银川模拟)设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab，a0，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零C恒为正值
13、D无法确定正负解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)0.6用反证法证明命题“a，bR，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故应假设“a，b中没有一个能被5整除”答案：a，b中没有一个能被5整除7(2015福建福州模拟)如果abab，则a，b应满足的条件是_解析：abab，即()2()0，需满足a0，b0且ab.答案：a0，b0且ab8已知点An(n，an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_解析：由条件得cnanbnn，cn随n的增大而减小，cn1cn.答案：cn11)h(x)x2x1.h(x)在(1，0)上为增函数，在(0，)上为减函数h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x)