1、3.2.2 复数代数形式的乘除运算内 容 标 准学 科 素 养1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；3.理解共轭复数的概念.严格数学概念提升数学运算恰当转化化归01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 复数的乘法法则预习教材P109110，思考并完成以下问题怎样进行复数的乘法？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可知识梳理(1)复数乘法的运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，那么它们的积(abi
2、)(cdi).(acbd)(adbc)i(2)复数乘法的运算律对任意复数 z1，z2，z3C，有交换律z1z2结合律(z1z2)z3乘法对加法的分配律z1(z2z3)z2z1z1(z2z3)z1z2z1z3知识点二 共轭复数预习教材P110，思考并完成以下问题共轭复数有何性质？提示：设zabi(a，bR)，则 z abi.则z z 2a；z z 2bi；z z|z|2.知识梳理 当两个复数的、时，这两个复数叫做互为，z的共轭复数用 z 表示即zabi，则 z.实部相等虚部互为相反数共轭复数abi 知识点三 复数的除法法则预习教材P110111，思考并完成以下问题如何理解复数的除法运算法则？提示
3、：复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)知识梳理 复数除法的运算法则对于复数 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，(abi)(cdi)abicdiabicdicdicdiacbdc2d2 bcadc2d2 i(cdi0)思考：1.实数集和复数集内的乘法、乘方有何不同？提示：实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，如：(1)当zR时，有|z|2z2；当zC时，有|z|2R，而z2C，故|z|2和z2不能进行比较例如，当z1i时，|z|22，z22i，此时2和2i不能进行比较(2)当m，
4、nR时，有m2n20mn0；当z1，z2C时，z 21 z 22 0D/z1z20，但z1z20z21z220.需注意：z1z20的充要条件是z10或z20.依据复数的乘法运算可得z1z20|z1z2|0|z1|z2|0z10或z20.2你是怎样理解共轭复数的？提示：(1)实数的共轭复数是它本身，即z z zR，利用这个性质可证明一个复数为实数(2)若z0且z z 0，则z为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数(3)zR的充要条件是z z.设zabi，则zRb0z z，所以zR的充要条件是z z.(4)z z 不是z为纯虚数的充要条件设zabi，若z是纯虚数，则a0，b0，此时zbi，z
5、 bi，从而z z；反之，若z z，则abi(abi)，所以aa，即a0，此时zbi，当b0时z是纯虚数，当b0时z0.所以z z 是z为纯虚数的必要不充分条件3如何理解复数的除法？提示：(1)复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，一般不能直接约分化简(2)复数除法的一般做法：通常先把(abi)(cdi)写成abicdi的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简，即(abi)(cdi)abicdi自我检测1复数(ai)(1i)(aR)的实部与虚部相等，则实数a()A1 B0 C1 D2解析：(ai)(1i)a
6、1(1a)i(aR)，实部与虚部相等，a11a，解得a0.答案：B2复数z与复数i(2i)互为共轭复数，其中i为虚数单位，则 z()A12i B12i C12i D12i解析：i(2i)12i，又复数z与复数i(2i)互为共轭复数，z12i.答案：A3设z1i(i是虚数单位)，则2zz2_.解析：2zz2 21i(1i)221i212ii21i12i11i.答案：1i探究一 复数的乘除运算例1 计算：(1)(1i)12 32 i(1i)；(2)(23i)(12i)；(3)14i1i24i34i；(4)i2i11ii1i.解析(1)原式(1i)(1i)12 32 i(1i2)12 32 i212
7、 32 i1 3i.(2)原式23i12i23i12i12i12i2634i12224575i.(3)14i1i24i34i1441i24i34i 7i34i 7i34i34i34i214328i252525i251i.(4)i2i11ii1i1i2i2i11ii 13i2i 13i2i2i2i2361i555i51i.方法技巧(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”
8、类似跟踪探究 1.计算：(1)(158i)(12i)；(2)1i43i2i1i.解析：(1)原式(158i)(12i)(1530i8i16i2)(38i1)138i.(2)法一：1i43i2i1i 17i13i17i13i102i.法二：1i43i2i1i 1i1i 43i2ii43i2i534i2i5105i52i.探究二 i的运算性质例2 计算：(1)22i1i221i2 016(2)ii2i2 017解析(1)原式21i2i 22i1 008i(1i)(i)1 008ii2(1)1 008 i1 008i1i4252i11i.(2)法一：原式i1i2 0171iii2 0181iii45
9、04i21ii11i1i1i1i1i2i2i.法二：因为inin1in2in3in(1ii2i3)0(nN*)所以原式(ii2i3i4)(i5i6i7i8)i2 013i2 014i2 015i2 016 i2 017i2 017(i4)504i1504ii.方法技巧(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即inin1in2in30(nN*)(2)记住以下结果，可提高运算速度(1i)22i，(1i)22i；1i1ii，1i1ii；1ii.跟踪探究 2.(1)计算1i1i6 2 3i3 2i_；(2)计算1i1i 1i1i21i1i31i1i2 016的值为_解析：(
10、1)由1i1ii，abibaii，可得原式i6i1i.(2)因为1i1ii，所以原式ii2i3i2 016i1232 016i2 01612 0162i1 0082 017(i2)5042 0171.答案：(1)1i(2)1探究三 共轭复数及应用例3 把复数z的共轭复数记作 z，已知(12i)z 43i，求z.解析 设zabi(a，bR)由已知得：(12i)(abi)(a2b)(2ab)i43i，由复数相等的定义知，a2b4，2ab3，解得a2，b1，所以z2i.延伸探究(1)若把本例条件改为 z(z2)43i，求z.解析：设zxyi(x，yR)则 z xyi，由题意知，(xyi)(xyi2)
11、43i.得x2xy24，xyyx23.解得x1 112，y32，或x1 112，y32，所以z1 11232i或z1 11232i.(2)若把条件改为(12i)z43i，求z.解析：设zxyi(x，yR)，则(12i)(xyi)43i，得x2y4，2xy3，解得x2，y1，所以z2i.方法技巧 已知关于z和 z 的方程求解z或 z 时，常设出z的代数形式，再表示出 z，代入方程，利用复数相等的充要条件，转化为实数方程组求解跟踪探究 3.(1)z 是z的共轭复数，若z z 2，(z z)i2(i为虚数单位)，则z等于()A1i B1iC1i D1i(2)若z12i，则4iz z 1等于()A1
12、B1 Ci Di解析：(1)设zabi，a，b为实数，则 z abi.因为z z 2a2，所以a1.又(z z)i2bi22b2，所以b1.故z1i.故选D.(2)4iz z 14i12i12i14i4i，故选C.答案：(1)D(2)C课后小结(1)复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化(2)共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题(3)复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本
13、思想方法，其桥梁是设复数zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化素养培优误认为|z|2z2致错易错案例：已知复数z满足条件z2|z|60.求复数z.易错分析：求解本题易将复数z的模等同于实数的绝对值，误认为|z|2z2而出错事实上，若zabi(a，bR)，有z2a2b22abi，|z|2a2b2，即z2|z|2，二者不可混淆考查等价转化，数学运算等核心素养自我纠正：设zxyi(x，yR)，则依条件得x2y22xyi x2y260.依复数相等的充要条件得x2y2 x2y260，2xy0，解得x2 x260，y0或y2 y260，x0(无解)，即 x23 x220，y0，解得x3，y0.故z3或z3.04 课时 跟踪训练