1、新20版练B1数学人教A版第三章真题分类专练题组1函数的定义域和值域1.(北京高考)函数f(x)=xx-1(x2)的最大值为。答案：2解析：解法一(分离常数法):依题意知f(x)=xx-1=x-1+1x-1=1+1x-1,因为x2,所以x-11,01x-11,所以1+1x-1(1,2。故当x=2时,函数f(x)=xx-1取得最大值2。解法二(反解法):令y=xx-1,所以xy-y=x,所以x=yy-1。因为x2,所以yy-12,所以yy-1-2=2-yy-10,解得1y2。故函数f(x)的最大值为2。2.(江苏高考)函数y=3-2x-x2的定义域是。答案：-3,1解析：要使函数y=3-2x-x
2、2有意义,则有3-2x-x20,解得-3x1,则函数y=3-2x-x2的定义域是-3,1。3.(上海学考)函数y=x2-2x+4,x0,2的值域为。答案：3,4解析：因为y=(x-1)2+3,0x2,所以x=1时,ymin=3;x=0或2时,ymax=4,所以y3,4。4.(上海学考)函数f(x)=x-2的定义域为。答案：2,+)解析：因为x-20,所以x2,故填2,+)。题组2分段函数及其应用5.(山东学考)已知函数f(x)=x(x+1),x0,2x-1,x1。设aR,若关于x的不等式f(x)x2+a在R上恒成立,则a的取值范围是()。A.-4716,2B.-4716,3916C.-23,2
3、D.-23,3916答案：A解析：根据题意,作出f(x)的大致图像,如图所示。当x1时,若要f(x)x2+a恒成立,结合图像,只需x2-x+3-x2+a,即x2-x2+3+a0。故对于方程x2-x2+3+a=0,有=-122-4(3+a)0,解得a-4716;当x1时,若要f(x)x2+a恒成立,结合图像,只需x+2xx2+a,即x2+2xa。又x2+2x2,当且仅当x2=2x,即x=2时等号成立,所以a2。综上,a的取值范围是-4716,2。7.(浙江高考)已知函数f(x)=x2,x1,x+6x-6,x1,则f(f(-2)=,f(x)的最小值是。答案：-1226-6解析：因为f(-2)=4,
4、f(4)=-12,所以f(f(-2)=-12;x1时,f(x)min=0,x1时,f(x)min=26-6,又26-6a。若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是。答案：(-,-1)解析：函数y=x3-3x与y=-2x的大致图像如图所示,若函数f(x)=x3-3x,xa,-2x,xa无最大值,由图像可知-2a2,解得af(-2)f(3)B.f(-2)f(1)f(3)C.f(1)f(-2)D.f(1)f(-2)f(2)f(1),即f(3)f(-2)f(1)。16.(上海学考)设函数y=f(x)的定义域为R,则“f(0)=0”是“y=f(x)为奇函数”的()。A.充分不必要条件B.必要不充分条件C
5、.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：满足f(0)=0的函数不一定是奇函数。故选B。17.(山东学考)已知偶函数f(x)在区间0,+)上的解析式为f(x)=x+1,下列大小关系正确的是()。A.f(1)f(2)B.f(1)f(-2)C.f(-1)f(-2)D.f(-1)0,所以1-2a-b2-a-b。由1-2a-b+2-a-b=0,解得b=3-3a2。当0a1,b3-3a2时,M(b)=2a+b-1;b3-3a2时,M(b)=2-a-b;当b=3-3a2时,M(b)min=1+a212,1。当11。当2a时,2-a-b3。综上可得M(b)min12,所以m12。19.(黑龙江学考)已
6、知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=x+1,则f(-1)的值为()。A.-1B.2C.3D.-2答案：D解析：x0,所以f(-x)=-x+1,所以-f(x)=-x+1,所以f(x)=x-1,所以f(-1)=-1-1=-2。20.(浙江学考)设函数f(x)=x+3+1ax+2 (aR)。若其定义域内不存在实数x,使得f(x)0,则a的取值范围是。答案：0a23解析：因为在定义域内f(x)0,所以1ax+20在-3,+)上恒成立,所以a0且-3a+20。故0a0恒成立,故0a23。21.(黑龙江学考)函数y=x2+x-2的单调减区间是。答案：(-,-2解析：x2+x-20,所以x1或x-2,
7、对称轴为直线x=-12,所以函数y的单调递减区间为(-,-2。22.(2018全国高考)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x)。若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()。A.-50B.0C.2D.50答案：C解析：由f(1-x)=f(1+x)得f(-x)=f(x+2),又f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),所以f(x)=-f(x+2)=f(x+4),所以f(x)是周期为4的函数。由f(1)=2知f(-1)=-2,所以f(3)=-2,又f(x)为奇函数,x(-,+),所以f(0)=0。又因为f(1-x)=f(1+x),令x=1,所
8、以f(0)=f(2)=0,f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,f(49)=f(1)=2,f(50)=f(2)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(49)+f(50)=12f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(2)=120+2=2。故选C。23.(2017全国高考)函数f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是()。A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3答案：D解析：f(x)为奇函数,f(1)=-1,f(-1)=1。f(x)在(-,+)单调递减,由-1f(x-2)1,得-1x-21,即
9、1x3。故选D。【解有所得】解决与抽象函数相关的不等式问题,主要依据单调性或奇偶性去掉函数的“外衣”,从而转化成常规的不等式求解。题组5函数性质的综合问题24.(全国高考)已知函数f(x)(xR)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则i=1mxi=()。A.0B.mC.2mD.4m答案：B解析：由f(x)=f(2-x)知f(x)的图像关于直线x=1对称,又函数y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图像也关于直线x=1对称,所以这两个函数的图像的交点也关于直线x=1对称。不妨设x1x2xm,则x
10、1+xm2 =1,即x1+xm=2,同理有x2+xm-1=2,x3+xm-2=2,又i=1mxi=xm+xm-1+x1,所以2i=1mxi=(x1+xm)+(x2+xm-1)+(xm+x1)=2m,所以i=1mxi=m。25.(山东高考)已知函数f(x)的定义域为R。当x12时,fx+12=fx-12。则f(6)=()。A.-2B.-1C.0D.2答案：D解析：当x12时,fx+12=fx-12,f(x)=f(x+1),当x0时,函数f(x)以T=1为周期。故f(6)=f(1)。当-1x1时,f(-x)=-f(x),f(1)=-f(-1)。又当x12时由fx+12=fx-12得到f(x)=f(
11、x+1)后将f(6)转化为f(1)。【解有所得】涉及fx+12=fx-12的问题,常转化为函数的周期性。转化时要注意转化的等价性。26.(湖南学考)已知函数f(x)=(x-m)2+2。(1)若函数f(x)的图像过点(2,2),求函数y=f(x)的单调递增区间;答案：依题意知,2=(2-m)2+2,解得m=2,所以f(x)=(x-2)2+2,所以y=f(x)的单调递增区间是(2,+)。(2)若函数f(x)是偶函数,求m的值。答案：若函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),即(-x-m)2+2=(x-m)2+2,解得m=0。27.(黑龙江学考)已知函数f(x)=3-x2,x-1,2,x-3,
12、x(2,5。(1)在图3-9中给定的直角坐标系内画出f(x)的图像;图3-9答案：函数f(x)的图像如图所示。(2)写出f(x)的单调递增区间。答案：函数f(x)的单调递增区间为-1,0和2,5。28.(浙江学考)已知函数f(x)=1x-a-1x-b(a,b为实常数且ab)。(1)当a=1,b=3时,设g(x)=f(x+2),判断函数y=g(x)的奇偶性,并说明理由;求证:函数f(x)在2,3)上是增函数。答案：因为a=1,b=3,所以f(x)=1x-1-1x-3。所以g(x)=f(x+2)=1x+1-1x-1。因为g(-x)=1-x+1-1-x-1=1x+1-1x-1=g(x),又因为g(x
13、)的定义域为x|x-1,且x1,所以y=g(x)是偶函数。证明:设x1,x22,3)且x1x2,f(x1)-f(x2)=1x1-1-1x1-3-1x2-1-1x2-3=2(x1-x2)(x1+x2-4)(x1-1)(x1-3)(x2-1)(x2-3)。因为x1,x22,3)且x1x2,所以x1-x20,(x1-1)(x1-3)(x2-1)(x2-3)0。综上得f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2)。所以,函数f(x)在2,3)上是增函数。(2)设集合M=(x,y)|y=f(x),N=(x,y)|y=x-a+b22,R。若MN=,求的取值范围。答案：因为MN=,所以函数y=f(x)与y
14、=x-a+b22的图像无公共点,即方程1x-a-1x-b=x-a+b22无实数解,即方程a-b=(x-a)(x-b)x-a+b22(xa,且xb)(*)无实数解。当=0时,(*)无解,显然符合题意。当0时,令y=(x-a)(x-b)x-a+b22。变形得y=x-a+b22-(a-b)24x-a+b22。又令t=x-a+b22得y=tt-(a-b)24=t-(a-b)282-(a-b)464。于是当t=(a-b)28,即x=a+b22(a-b)4时,有ymin=-(a-b)464。所以,要使(*)无实数解,只要a-b-(a-b)464,解得064(b-a)3。综上可得064(b-a)3。29.(
15、浙江学考)设函数f(x)=1(|x-1|-a)2的定义域为D,其中a1。(1)当a=-3时,写出函数f(x)的单调区间(不要求证明);答案：单调递增区间是(-,1,单调递减区间是(1,+)。(2)若对于任意的x0,2D,均有f(x)kx2成立,求实数k的取值范围。答案：当x=0时,不等式f(x)kx2成立;当x0时,f(x)kx2等价于k1x(|x-1|-a)2。设h(x)=x(|x-1|-a)=-xx-(1-a),0x1,xx-(1+a),1x2。当a-1时,h(x)在(0,2上单调递增,所以0h(x)h(2)。即0h(x)2(1-a)。故k14(1-a)2。当-1a(1-a)24=h1-a
16、2,所以0h(x)h(2),即0h(x)2(1-a)。故k14(1-a)2。当0a(1-a)24=h1-a2,所以-ah(x)2-2a且h(x)0。当0a|-a|,所以k14(1-a)2;当23a1时,因为|2-2a|-a|,所以k1a2。综上所述,当a23时,k14(1-a)2;当23a1时,k1a2。【答题模板】函数单调性判定的一般步骤步骤1取值:在定义域内任取x1,x2,且x1x2。步骤2作差:令f(x2)-f(x1)或f(x1)-f(x2),并变形,直到有利于判断符号为止。步骤3判号:根据所给条件判断符号。步骤4结论:根据符号下结论。题组6抽象函数与新定义函数30.(全国高考)已知函数
17、f(x)(xR)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1x与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则i=1m(xi+yi)=()。A.0B.mC.2mD.4m答案：B解析：因为f(x)+f(-x)=2,y=x+1x=1+1x,所以函数y=f(x)与y=x+1x的图像都关于点(0,1)对称,所以i=1mxi=0,i=1myi=m22=m,故选B。31.(湖北高考)设xR,x表示不超过x的最大整数。若存在实数t,使得t=1,t2=2,tn=n同时成立,则正整数n的最大值是()。A.3B.4C.5D.6答案：B解析：由t=1,得1t2。由t2=2,得2t23。
18、由t4=4,得4t45,所以2t25。由t3=3,得3t34,所以6t545。由t5=5,得5t56,与6t50,且对于任意的m,nR都有f(m)f(n)=f(m+n)。(1)求f(0)的值;答案：解:在f(m)f(n)=f(m+n)中,令m=n=0,得f 2(0)=f(0)。又f(0)0,所以f(0)=1。(2)求证:f(m)f(n)=f(m-n);答案：证明:证法一:在f(m)f(n)=f(m+n)中,令m=-n,得f(-n)f(n)=f(0)=1。所以f(-n)=1f(n)。因此f(m-n)=f(m)f(-n)=f(m)f(n),即f(m)f(n)=f(m-n)(m,nR)。证法二:由题
19、设,得f(m-n)f(n)=f(m-n+n)=f(m)。又f(n)0,所以f(m)f(n)=f(m-n)(m,nR)。(3)若f(4)=4,且存在x1,t(t1)使得f(x2)18f(kx),求实数k的取值范围。答案：解:因为f(4)=4,所以f2(2)=f(4)=4。又f(2)0,所以f(2)=2。解法一:f(6)=f(2+4)=f(2)f(4)=24=8。由(2)可知f(x2)18f(kx)可化为f(x2)f(kx)f(6)=f(kx-6)。因为f(x)是R上的增函数,所以x2kx-6,即kx+6x(x1,t)。令g(x)=x+6x,存在x1,t(t1)使得 f(x2)18f(kx),等价
20、于kg(x)min(x1,t)。下面证明g(x)=x+6x在1,6上是减函数,在(6,+)上是增函数。设x1,x21,6,且x1x2,则g(x1)-g(x2)=x1+6x1-x2+6x2=(x1-x2)1-6x1x2=(x1-x2)x1x2-6x1x2,因为x1-x20,x1x2-60。所以g(x1)g(x2)。因此,g(x)在1,6上是减函数。同理可证g(x)在(6,+)上是增函数。所以当16时,g(x)在1,6上是减函数,在(6,t上是增函数,所以g(x)在1,t上的最小值g(x)min=g(6)=26,此时k26。综上,当16时,k26。解法二:f(-6)=f(-2-4)=f(-2)f(
21、-4)=1f(2)1f(4)=18。f(x2)18f(kx)化为f(x2)f(-6)f(kx),即f(x2)f(kx-6)。以下过程同解法一(略)。题组7幂函数的图像与性质33.(上海学考)幂函数y=x-2的大致图像是()。图3-10答案：C解析： y=x-2为偶函数,在(0,+)上递减,故选C。34.(云南学考)已知函数f(x)=-x3,则下列说法中正确的是()。A.f(x)为奇函数,且在(0,+)上是增函数B.f(x)为奇函数,且在(0,+)上是减函数C.f(x)为偶函数,且在(0,+)上是增函数D.f(x)为偶函数,且在(0,+)上是减函数答案：B解析：由y=-x3的图像与性质知,y=-
22、x3为奇函数,在(0,+)上是减函数。35.(重庆高考)若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()。A.(a,b)和(b,c)内B.(-,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+)内D.(-,a)和(c,+)内答案：A解析：令y1=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=(x-b)2x-(a+c),y2=-(x-c)(x-a),由abc作出函数y1,y2的图像(图略),由图可知两函数图像的两个交点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,即函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内。36.(重庆高考)已
23、知函数f(x)=1x+1-3,x(-1,0,x,x(0,1,且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是()。A.-94,-20,12B.-114,-20,12C.-94,-20,23D.-114,-20,23答案：A解析：g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点,就是函数y=f(x)的图像与函数y=m(x+1)的图像有两个交点,在同一直角坐标系内作出函数f(x)=1x+1-3,x(-1,0,x,x(0,1和函数y=m(x+1)的图像,如图,当直线y=m(x+1)与y=1x+1-3,x(-1,0和y=x,x(0,1都相交时0m
24、12;当直线y=m(x+1)与y=1x+1-3,x(-1,0有两个交点时,由方程组y=m(x+1),y=1x+1-3,消元得1x+1-3=m(x+1),即m(x+1)2+3(x+1)-1=0,化简得mx2+(2m+3)x+m+2=0,当=9+4m=0,即m=-94时直线y=m(x+1)与y=1x+1-3相切,当直线y=m(x+1)过点(0,-2)时,m=-2,所以m-94,-2。综上,实数m的取值范围是-94,-20,12,故选A。37.(湖北高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x。则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为()。A.1,3B.-3,-1,1
25、,3C.2-7,1,3D.-2-7,1,3答案：D解析：当x0时,函数g(x)的零点即方程f(x)=x-3的根,由x2-3x=x-3,解得x=1或3;当x0,函数f(x)=x2+2ax+a,x0,-x2+2ax-2a,x0,若关于x的方程f(x)=ax恰有两个互异的实数解,则a的取值范围是。答案：(4,8)解析：当x0时,由x2+2ax+a=ax,得a=-x2-ax;当x0时,由-x2+2ax-2a=ax,得2a=-x2+ax。令g(x)=-x2-ax,x0,-x2+ax,x0。作出直线y=a,y=2a,函数g(x)的图像如图所示。g(x)的最大值为-a24+a22=a24。由图像可知,若f(
26、x)=ax恰有2个互异的实数解,则aa242a,得4aa。若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是。答案：(-,0)(1,+)解析：令(x)=x3(xa),h(x)=x2(xa),函数g(x)=f(x)-b有两个零点,即函数y=f(x)的图像与直线y=b有两个交点,结合图像(图略)可得ah(a),即aa2,解得a1,故a(-,0)(1,+)。题组8函数的应用40.(北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。加油时间加油量/升加油时的累计里程/千米2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注:“累计里程”
27、指汽车从出厂开始累计行驶的路程。在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()。A.6升B.8升 C.10升D.12升答案：B解析：因为第一次(即5月1日)把油加满,而第二次把油加满加了48升,即汽车行驶35 600-35 000=600(千米)耗油48升,所以每100千米的耗油量为8升,选B。41.(云南学考)2016年,某厂计划生产25吨至45吨的某种产品,已知生产该产品的总成本y(万元)与总产量x(吨)之间的关系可表示为y=x210-2x+90。(1)求该产品每吨的最低生产成本;答案：由已知y总=x210-2x+90得,每吨成本表达式为y1=y总x=x10+90x-2=110x+900x-21102x900x-2=6-2=4(万元)。故每吨的最低生产成本为4万元。(2)若该产品每吨的出厂价为6万元,求该厂2016年获得利润的最大值。答案：设利润为g(x),则g(x)=6x-x210+2x-90=-x210+8x-90=-110(x-40)2+70。所以当x=40时,g(x)max=70。所以该厂2016年获得利润的最大值为70万元。