1、押题方向 专题突破三 数列核心押题 高考对这部分知识的考查，题型多样，题目可难可易，备考中应注重数列基础知识，关注求数列通项的方法，关注数列求和的基本方法，如错位相减法、裂项相消法，关注数列与其他数学知识的综合问题，如数列与不等式的综合应用等，注重思想方法的应用，着力于提高运算能力和推理能力，在熟练等差和等比两类数列模型的基础上，突出方法的掌握，尤其是通性通法，提高等价转化能力及思维的灵活性押题一 数列的概念与基本运算等差(比)数列问题一般都转化为关于首项 a1 与公差 d(公比 q)的方程或方程组，方程思想与基本量思想在解决数列问题中作用突出例 1(2017郑州质检)等差数列an 的前 7
2、项和等于前 2 项和，若 a11，aka40，则 k解析 设数列an 的公差为 d，依题意得 71762 d2d，解得 d14，则 aka42(k2)14 0，由此解得 k6.答案 6例 2(2015高考北京卷)已知等差数列an满足 a1a210，a4a32.(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足 b2a3，b3a7，问：b6 与数列an的第几项相等？解(1)设等差数列an的公差为 d.因为 a4a32，所以 d2.又因为 a1a210，所以 2a1d10，故 a14.所以 an42(n1)2n2(n1，2，)(2)设等比数列bn的公比为 q.因为 b2a38，b3a716，所以 q
3、2，b14.所以 b64261128.由 1282n2 得 n63，所以 b6 与数列an的第 63 项相等 押题二 等差、等比数列性质综合应用利用等差(比)数列的性质求解就要关注项的下标的规律，数列中的下标就是函数中的自变量 x，性质往往可以在下标中体现同时注意数列与函数的结合例 3(2017北京东城区高三联考)已知数列an 满足 an（13a）n10a，n6an7，n6(nN*)，若an 是递减数列，则实数 a 的取值范围是()A.13，1 B.13，12C.58，1D13，58解析 选 D.由已知得13a00aa7，即13a1，解得13a0.当 n1 时，bn1bn 2an1an2d.所
4、以数列bn 是首项为 2a1，公比为 2d 的等比数列(2)函数 f(x)2x 在(a2，b2)处的切线方程为 y2a2(2a2ln 2)(xa2)，它在 x 轴上的截距为 a2 1ln 2.由题意知，a2 1ln 22 1ln 2，解得 a22.所以 da2a11，ann，bn2n，anb2nn4n.于是，Sn14242343(n1)4n1n4n，4Sn142243(n1)4nn4n1.因此，Sn4Sn4424nn4n14n143n4n1（13n）4n143.所以 Sn（3n1）4n149.押题三 数列的通项与求和的综合应用数列通项公式 an 是数列问题的核心，求和是进一步运算，若已知 an
5、 与 Sn 则可解决数列与其它知识的综合例 5 已知数列an的首项 a135，an1 3an2an1，n1，2，.(1)求证：数列1an1 为等比数列；(2)记 Sn 1a1 1a2 1an，若 Sn100，求最大正整数 n；(3)是否存在互不相等的正整数 m，s，n 使 m，s，n 成等差数列，且 am1，as1，an1 成等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由解 证明：(1)1an123 13an，所以 1an11 13an13131an1.又因为 1a11230，所以 1an10(nN*)所以数列1an1 为等比数列(2)由(1)知，1an12313n1，所以 1an21
6、3n1.Sn 1a1 1a2 1ann213 132 13n n213 13n1113n1 13n，若 Sn100，则 n1 13n100，所以 nmax99.(3)假设存在 m，s，n，则 mn2s，(am1)(an1)(as1)2.因为 an 3n3n2，所以 3m3m213n3n21 3s3s21 2.化简，得 3m3n23s.因为 3m3n2 3mn23s，当且仅当 mn 时等号成立，又 m，s，n 互不相等，所以不存在例 6 已知数列an满足：1a1 1a2 1ann2(n1，nN*)(1)求 a1，a2 及 a2016；(2)求数列an的通项公式；(3)设 bn 2an1an，数列
7、b2n的前 n 项和为 Sn，证明 Sn21n.解(1)由 1a1 1a2 1a3 1ann2(n1，nN*)，得 a11，a213，1a1 1a2 1a3 1a2 0152 0152，1a1 1a2 1a2 015 1a2 0162 0162 由得 1a2 0162 01622 01524 031.a2 01614 031.(2)由 1a1 1a2 1a3 1ann2(n1，nN*)得 1a1 1a2 1a3 1an1(n1)2(n2，nN*)，所以 1ann2(n1)22n1(n2，nN*)，得 an12n1(n2，nN*)当 n1 时，a11 也满足上式，所以 an12n1(nN*)(3)证明：由(2)知 bn1n，故 b2n 1n2，所以 Snb21b22b2n.下面用数学归纳法证明 Sn21n.()当 n1 时，Sn1，而 21n1，所以不等式 Sn21n成立；()假设当 nk(k1)时，不等式成立，即 Sk21k.当 nk1 时，Sk 1Skb2k121k 1（k1）2，又1（k1）21k（k1）1k 1k1，所以 Sk121k1（k1）221k1k 1k12 1k1.所以当 nk1 时，不等式也成立 由()()可知，对于一切 nN*，Sn21n恒成立
