1、第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若ab,则a+b=()A.(-2,-1)B.(2,1)C.(3,-1)D.(-3,1)解析ab,2(-2)-x=0,x=-4.a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).答案A2.在ABC中,若A=60,BC=4,AC=4,则角B的大小为()A.30B.45C.135D.45或135解析由正弦定理,得,则sin B=.因为BCAC,所以AB,而A=60,所以B=45.答案B3.(2018全国高
2、考)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0解析a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.答案B4.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120,则ABC的面积为()A.B.C.D.2解析将c2=a2+b2-2abcos C与(a+b)2-c2=4联立,解得ab=4,故SABC=absin C=.答案C5.已知ab=-12,|a|=4,a与b的夹角为135,则|b|=()A.12B.3C.6D.3解析-12=|a|b|cos 135,且|a|=4,故|b|=6.答案C6.(2018全国高考)在AB
3、C中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A.B.C.D.解析如图,=-=-)=)=.答案A7.(2020山东潍坊模拟)如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则()的最小值是()A.2B.0C.-1D.-2解析由平行四边形法则得=2,故()=2,|=2-|,且反向,设|=t(0t2),则()=2=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2(t-1)2-1.0t2,当t=1时,()取得最小值,为-2,故选D.答案D8.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,且c=,
4、C=,则ABC的面积是()A.B.C.D.解析sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A,sin(B-A)=sin Bcos A-cos Bsin A,sin 2A=2sin Acos A,sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,2sin Bcos A=6sin Acos A.当cos A=0时,A=,B=.又c=,所以b=.由三角形的面积公式,得S=bc=;当cos A0时,由2sin Bcos A=6sin Acos A,得sin B=3sin A.根据正弦定理,可知b=3a,再由余弦定理,得cos C=cos,解得a=1,b=3,所以此时ABC的面积为S=a
5、bsin C=.综上可得ABC的面积为,故选D.答案D二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.(2020江西南昌模拟)已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,ab,则b可能是()A.(4,-8)B.(8,4)C.(-4,-8)D.(-4,8)解析当b=-4a时,b=(-4,8);当b=4a时,b=(4,-8).答案AD10.(2019山东济南高一期末)对于任意的平面向量a,b,c,下列说法错误的是()A.若ab且bc,则acB.(a+b)c=ac+bcC.若ab=ac,且a0,则b
6、=cD.(ab)c=a(bc)解析对于A,b=0,命题不成立;对于B,显然成立;对于C,若a和b,c都垂直,显然b,c至少在模的方面没有特定关系,所以命题不成立;对于D,如图,若a=,b=,c=,则(ab)c与a(bc)分别是与c,a共线的向量,显然(ab)c=a(bc)不成立.答案ACD11.(2019福建厦门外国语学校高一月考)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个说法中正确的是()A.若,则ABC一定是等边三角形B.若acos A=bcos B,则ABC一定是等腰三角形C.若bcos C+ccos B=b,则ABC一定是等腰三角形D.若a2+b2-c20,则ABC一
7、定是锐角三角形解析由,利用正弦定理可得,即tan A=tan B=tan C,即A=B=C,所以ABC是等边三角形,A正确;由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=,ABC是等腰三角形或直角三角形,B不正确;由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B,即sin (B+C)=sin B,即sin A=sin B,则A=B,ABC是等腰三角形,C正确;由余弦定理可得cos C=0,C为锐角,A,B不一定是锐角,D不正确.答案AC12.(2019山东烟台高一期末)在ABC中,角A,B,C所对的边分别
8、为a,b,c,且(a+b)(a+c)(b+c)=91011,则下列结论正确的是()A.sin Asin Bsin C=456B.ABC是钝角三角形C.ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则ABC外接圆半径为解析因为(a+b)(a+c)(b+c)=91011,所以可设(x0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sin Asin Bsin C=abc=456,所以A正确;由上可知,c边最大,所以三角形中角C最大,又cos C=0,所以角C为锐角,所以B错误;由上可知a边最小,所以三角形中角A最小,又cos A=,所以cos 2A=2cos2A-1=,所以cos 2A=cos C,由三
9、角形中角C最大且角C为锐角可得,2A(0,),C,所以2A=C,所以C正确;由正弦定理得2R=,又sin C=,所以2R=,解得R=,所以D正确.答案ACD三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019全国高考)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-b,则cos=.解析a,b为单位向量,|a|=|b|=1.又ab=0,c=2a-b,|c|2=4|a|2+5|b|2-4ab=9,|c|=3.又ac=2|a|2-ab=2,cos=.答案14.已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,c=2,B=60,则b=,C=.解析在ABC中,因为a=4,c=2,B=
10、60,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=42+22-242cos 60=12,所以b=2,又由正弦定理,得sin C=,又由cb,所以C0,故cos B=,所以B=45.20.(12分)(2019山东高三模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若asin B=bcos A.(1)求角A;(2)若ABC的面积为2,a=5,求ABC的周长.解(1)由题意,在ABC中,因为asin B=bcos A,所以由正弦定理,可得sin Asin B=sin Bcos A,又因为B(0,),可得sin B0,所以sin A=cos A,即tan A=.因为A(0,),所以A=.(
11、2)由(1)可知A=,且a=5,又由ABC的面积2bcsin A=bc,解得bc=8,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得25=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24,整理得(b+c)2=49,解得b+c=7,所以ABC的周长a+b+c=5+7=12.21.(12分)(2020江苏扬州中学高三检测)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(1,2),n=cos 2A,cos2,且mn=1.(1)求角A的大小;(2)若b+c=2a=2,求sin的值.解(1)由题意得,mn=cos 2A+2cos2,由二倍角的余弦公式可得,cos 2A=2
12、cos2A-1,2cos2=cos A+1,又因为mn=1,所以2cos2A+cos A=1,解得cos A=或cos A=-1,0A,A=.(2)在ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即()2=b2+c2-2bc=b2+c2-bc,又因为b+c=2,把b=2-c代入整理得,c2-2c+3=0,解得c=,b=,所以ABC为等边三角形,B=,sinB-=sin=sincos-cossin.22.(12分)要将一件重要物品从某港口O用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶
13、.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最短,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能在最短时间内与轮船相遇,并说明理由.解(1)(方法一)设相遇时小艇航行的距离为s,则s=,故当t=时,smin=10海里,v=30,即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最短.(方法二)若相遇时小艇的航行距离最短,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向.设小艇与轮船在C处相遇,如图所示.在RtOAC中,OC=20cos 30=10,AC=20sin 30=10,又AC=30t,OC=vt,所以t=,v=30.故小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最短.(2)设小艇与轮船在B处相遇,如图所示,则v2t2=400+900t2-22030tcos(90-30),即v2=900-.0v30,900-900,即0,解得t.又t=时,v=30.故v=30时,t取得最小值,且最小值等于.此时,在OAB中,有OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30,航行速度为30海里/时.此时小艇能在最短时间内与轮船相遇.9
