1、8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直课后篇巩固提升基础达标练 1.如图,在三棱锥D-ABC中,AC=BD,且ACBD,E,F分别是棱DC,AB的中点,则EF和AC所成的角等于()A.30B.45C.60D.90解析如图所示,取BC的中点G,连接FG,EG.E,F分别为CD,AB的中点,FGAC,EGBD,且FG=AC,EG=BD.AC=BD,FG=EG,EFG(或其补角)为EF与AC所成的角.ACBD,FGEG,FGE=90,EFG为等腰直角三角形.EFG=45,即EF与AC所成的角为45.答案B2.(2020海南华侨中学高三月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC
2、1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.B.C.D.解析在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CDAB,所以异面直线AE与CD所成角为EAB,设正方体边长为2a,则由E为棱CC1的中点,可得CE=a,所以BE=a,则tanEAB=.故选C.答案C3.若AOB=120,直线aOA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为.解析aOA,根据等角定理,又异面直线所成的角为锐角或直角,a与OB所成的角为60.答案604.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.解析取CD1的中点G,连接EG
3、,DG.E是BD1的中点,EGBC,EG=BC.F是AD的中点,且ADBC,AD=BC,DFBC,DF=BC,EGDF,EG=DF,四边形EFDG是平行四边形,EFDG,DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,DGCD1,D1GD=90,异面直线CD1,EF所成的角为90.答案905.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成的角为30,E,F分别为BC,AD的中点,则EF与AB所成角的大小为.解析取AC的中点G,连接EG,FG,则EGAB,且EG=AB,FGCD,且FG=CD
4、,由AB=CD知EG=FG.易知GEF(或其补角)为EF与AB所成的角,EGF(或其补角)为AB与CD所成的角.AB与CD所成的角为30,EGF=30或150.由EG=FG知EFG为等腰三角形,当EGF=30时,GEF=75;当EGF=150时,GEF=15.故EF与AB所成的角为15或75.答案15或756.在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且,EF=,求AB和CD所成角的大小.解如图,连接BD,过点E作AB的平行线交BD于点O,连接OF,EF.EOAB,.AB=3,EO=2.又,OFDC,OE与OF所成的角即为AB和CD所成的角,.D
5、C=3,OF=1.在OEF中,OE2+OF2=5,EF2=()2=5,OE2+OF2=EF2,EOF=90,AB和CD所成的角为90.能力提升练1.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=2,ABC=120,若异面直线A1B和AD1所成的角为90,试求AA1的长.解连接CD1,AC.由题意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1BC,A1D1=BC,四边形A1BCD1是平行四边形,A1BCD1,AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.异面直线A1B和AD1所成的角为90,AD1C=90.四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A
6、B=BC=2,ACD1是等腰直角三角形,AD1=AC.底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=2,ABC=120,AC=2sin 602=6,AD1=AC=3,AA1=.2.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大?最大面积是多少?解AD与BC成60角,HGF=60或120.设AEAB=x,则=x.又BC=a,EF=ax.由=1-x,得EH=a(1-x).S四边形EFGH=EFEHsin 60=axa(1-x)a2(-x2+x)=a2.当x=时,S最大值=a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a2.素养培优练如图,点S在平面ABC外,SBAC,SB=AC=2,E,F分别是SC和AB的中点,则EF的长是()A.1B.C.D.解析取CB的中点D,连接ED,DF,则EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角,即EDF=90.在EDF中,ED=SB=1,DF=AC=1,所以EF=.答案B