1、第5讲三角函数的图象与性质, )正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR且xk，kZ值域R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性(kZ)为增；(kZ)为减(kZ)为减；(kZ)为增(kZ)为增对称中心(k，0)(kZ)(kZ)(kZ)对称轴xk(kZ)xk(kZ)无1辨明三个易误点(1)ytan x不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间(kZ)内为增函数(2)三角函数存在多个单调区间时易错用“”连接(3)求函数yAsin(x)的单调区间时，应注意的符号，只有当0时，才能把x看作一个整体，代入ysin t的相应单调区间求解2学会求三角函
2、数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为yAsin(x)的形式，通过分析x的范围，结合图象写出函数的值域；(2)换元法：把sin x(cos x)看作一个整体，化为二次函数来解决1. 函数ytan的最小正周期是()A2B2C4 D4A T2.2. 函数y2cos(xR)的最大值和最小正周期分别是()Aymax2，T3 Bymax1，T6Cymax3，T6 Dymax3，T3C 最大值ymax2(1)3，T6，故选C.3函数f(x)sin在区间上的最小值为()A1 BC D0B 由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.4. 在同一坐标系中，ysin x与ycos
3、 x的所有交点中，最近的两个点的距离为_ 如图，取相邻的两个交点A，B，则|AB|. 5. 函数ytan的单调增区间是_ 由kxk，kZ，得kxk，kZ，即2kx2k，kZ，故函数的单调增区间为，kZ. (kZ)三角函数的定义域和值域(1)函数ylg(2sin x1)的定义域是_(2)函数ycos 2x2sin x的最大值为_【解析】(1)要使函数ylg(2sin x1)有意义，则即解得2kx2k，kZ.即函数的定义域为，kZ.(2)ycos 2x2sin x2sin2x2sin x1，设tsin x(1t1)，则原函数可以化为y2t22t12，所以当t时，函数取得最大值.【答案】(1)，kZ
4、(2)本例(2)变为函数ycos 2x4sin x的最大值为_ ycos 2x4sin x2sin2x4sin x1，设tsin x，则原函数可以化为y2t24t12(t1)23，所以当t时，函数取得最大值. (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)三角函数值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域 1函数y2sin(0x9)
5、的最大值与最小值之和为()A2 B0C1 D1A 因为0x9，所以x，所以sin，所以y，所以ymaxymin2.2函数y的定义域为_ 要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为. 3函数ylg sin x的定义域为_ 要使函数有意义，则有即解得(kZ)，所以2k0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，函数f(x)sin在上是减函数，则的取值范围是_ 由x，得x，由题意知(kZ)且2，则且02，故. 角度四利用三角函数的单调性比较大小3已知函数f(x)2sin，设af，bf，cf，则a，b，c的大小关系是()AacbBcabCbac DbcaB af2sin ，bf2s
6、in 2，cf2sin 2sin ，因为ysin x在上递增，所以cab.故选B., )求最值(值域)时忽视角的范围致误函数ysin xcos xsin xcos x，x的最大值与最小值之和为_【解析】令tsin xcos x，又x，所以tsin，t由tsin xcos x，得t212sin xcos x，即sin xcos x.所以原函数变为yt，t即yt2t.所以当t1时，ymax11；当t1时，ymin11.故函数的最大值与最小值之和为0.【答案】0该题通过换元法，令tsin xcos x，将求函数ysin xcos xsin xcos x，x的最值问题转化为求二次函数yt2t，t的最值
7、问题，而换元之后确定t的范围时，易忽视函数的定义域而导致t的范围求解错误，从而导致问题的求解错误，换元后，正确求出t的范围是解决本题的关键已知函数f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值 (1)因为f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2xsin1，所以函数f(x)的最小正周期T.(2)由(1)知，f(x)sin1.当x时，2x，由正弦函数ysin x在上的图象知，当2x，即x时，f(x)取得最大值1；当2x，即x时，f(x)取得最小值0.综上，f(x)在上的最大值为1，
8、最小值为0., )1函数y 的定义域为()AB，kZC，kZDRC 由cos x0，得cos x，所以2kx2k，kZ.2函数f(x)tan的单调递增区间是()A(kZ)B(kZ)C(kZ)D(kZ)B 由k2xk(kZ)得，x0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0，0)成中心对称，x0，则x0()ABC DA 由题意得，T，2.又2x0k(kZ)，x0(kZ)，而x0，所以x0.6(2016高考全国卷乙)已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图像的对称轴，且f(x)在单调，则的最大值为()A11 B9C7 D5B 因为x为函数f(x)的零点
9、，x为yf(x)图像的对称轴，所以(kZ，T为周期)，得T(kZ)又f(x)在单调，所以T，k，又当k5时，11，f(x)在不单调；当k4时，9，f(x)在单调，满足题意，故9，即的最大值为9.7(2017唐山统考)已知函数f(x)sin xcos x(0)，ff0，且f(x)在区间上递减，则_. 因为f(x)在上单调递减，且ff0，所以f0，因为f(x)sin xcos x2sin，所以ff2sin0，所以k(kZ)，3k1，kZ，又，0，所以2. 28已知x(0，关于x的方程2sina有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为_ 令y12sin，x(0，y2a，作出y1的图象如图所示若2si
10、na在(0，上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点，所以a0)和g(x)3cos(2x)的图象的对称中心完全相同，若x，则f(x)的取值范围是_ 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故2，所以f(x)3sin，当x时，2x，所以sin1，故f(x). 11(2017嘉兴一模)已知函数f(x)12sin.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x时，求函数f的值域 (1)f(x)12sin12sin22sincoscossinsincos 2x.所以f(x)的最小正周期T.(2)由(1)可知fcos，由于x，所以2x，所以cos，所以f的值域为12(2017
11、安徽江南十校联考)已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为4，且对任意xR，都有f(x)f成立，则f(x)图象的一个对称中心的坐标是()A BC DA 由f(x)sin(x)的最小正周期为4，得.因为f(x)f恒成立，所以f(x)maxf，即2k(kZ)，所以2k(kZ)，由|0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间 (1)因为x，所以2x.所以sin，所以2asin所以f(x)，又因为5f(x)1，所以b5，3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0，得g(x)1，所以4sin11，所以sin，所以2k2x2k，kZ，其中当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递增，即kxk，kZ，所以g(x)的单调增区间为，kZ.又因为当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递减，即kx0时，所以a33，b5.当a0时，所以a33，b8.综上所述，a33，b5或a33，b8.