1、6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例课后篇巩固提升基础达标练1.在RtABC中,ABC=90,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cosBDC=() A.-B.C.0D.解析如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),=(-3,-4),=(3,-4).又BDC为的夹角,cosBDC=.答案B2.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120时,合力的大小为()A.40 NB.10 NC.20 ND. N解析对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90
2、,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10 N;当它们的夹角为120时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10 N.答案B3.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为()A.10 m/sB.2 m/sC.4 m/sD.12 m/s解析由题意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图.|v|=2(m/s).答案B4.(多选题)已知O是四边形ABCD内一点,若=0,则下列结论错误的是()A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心B.四边形ABCD为一般四
3、边形,点O是四边形ABCD的对角线交点C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点解析由=0知,=-().设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点.答案ABC5.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P在线段AB的中垂线上,则x=.解析设AB的中点为M,则M=(x-1,-1),由题意可知=(-4,-3),则=0,所以-4(x-1)+(-1)(-3)=0,解得x=.答案6.一个物体
4、在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且力F所做的功W=250 J,则F与s的夹角等于.解析设F与s的夹角为,由W=Fs,得250=1050cos ,cos =.又0,=.答案7.如图所示,在等腰直角三角形ACB中,ACB=90,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:ADCE.证明=()()=-|2+|2.因为CA=CB,所以-|2+|2=0,故ADCE.8.某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向.解设v1表示20 km/h的速度,
5、在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1.如图,令=-v1,=-2v1,实际风速为v.,=v-v1.这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度.,=v-2v1.这就是当车的速度为40 km/h时,骑车人感觉到的风速.由题意,得DCA=45,DBAB,AB=BC,DCA为等腰三角形,DA=DC,DAC=DCA=45,DA=DC=BC.|v|=20 km/h.实际风速的大小是20 km/h,为东南风.能力提升练1.已知ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则的值为()A.-B.C.-D.解析因为3+4+5=0,所以3+4=
6、-5,所以9+24+16=25.因为A,B,C在圆上,所以|=|=|=1.代入原式得=0,所以=-(3+4)()=-(3+4-3-4)=-.答案A2.(2020武汉检测)O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点,若()()=()()=0,则O为ABC的()A.内心B.外心C.重心D.垂心解析因为()()=0,则()()=0,所以=0,所以|=|.同理可得|=|,即|=|=|,所以O为ABC的外心.答案B3.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项中,其中正确的是()A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小C.船
7、的浮力不断变小D.船的浮力保持不变解析设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为0,则|F|cos =|f|,|F|=.增大,cos 减小,|F|增大.|F|sin 增大,船的浮力减小.答案AC4.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是 km/h.解析如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.由图知,|=4,|=8,则AOB=60.又|v2|=2,|v1|=|v2|tan 60=2.即河水的流速是2 km/h.答案25.已知ABC是等腰直角三角形,B=90,D是BC
8、边的中点,BEAD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:ADB=FDC.证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),=(2,-2).设=,则=(0,2)+(2,-2)=(2,2-2).又=(-1,2),由题设,所以=0,所以-2+2(2-2)=0,所以=.所以.所以.又=(1,0),所以cosADB=,cosFDC=,又ADB,FDC(0,),所以ADB=FDC.6.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点Q从Q
9、0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设P,Q在t=0 s时分别在P0,Q0处,当时所需的时间t为多少秒?解e1+e2=(1,1),|e1+e2|=,其单位向量为;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=,其单位向量为.依题意知,|=t,|=t,=|=(t,t),=|=(3t,2t),由P0(-1,2),Q0(-2,-1),得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),=(-1,-3),=(2t-1,t-3),=0,即2t-1+3t-9=0,解得t=2.即当时所需的时间为2 s.素养培优练如图所示,若D是ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:ADBC.证明设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d,所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2ec-2ed-d2.由已知可得a2-b2=c2-d2,所以c2+2ec-2ed-d2=c2-d2,所以e(c-d)=0.因为=d-c,所以=e(d-c)=0,所以,即ADBC.7