1、6.3.5平面向量数量积的坐标表示课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)设向量a=(1,0),b=,则下列结论中不正确的是() A.|a|=|b|B.ab=C.abD.a-b与b垂直解析A项,|a|=1,|b|=,故|a|b|;B项,ab=1+0;C项,10;D项,a-b=,(a-b)b=0,故a-b与b垂直.答案ABC2.已知=(2,3),=(3,t),|=1,则=()A.-3B.-2C.2D.3解析由=(1,t-3),|=1,得t=3,则=(1,0).所以=(2,3)(1,0)=21+30=2.故选C.答案C3.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于()A.4B.-4C
2、.2D.-2解析如图,由向量的加减,可得=(1,2),-2=(0,2).故=(1,2)(0,2)=0+4=4.答案A4.在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则的取值范围是()A.2,14B.0,12C.0,6D.2,8解析如图,A(0,0),E(2,1),设F(x,2)(0x2),所以=(2,1),=(x,2),因此=2x+2,设f(x)=2x+2(0x2),f(x)为增函数,则f(0)=2,f(2)=14,故2f(x)14,的取值范围是2,14.答案A5.设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,则|a+b
3、|=()A.B.C.2D.10解析向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,则有2x-4=0,-4-2y=0,解得x=2,y=-2,故a+b=(3,-1),故有|a+b|=,故选B.答案B6.设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且ab,则|a|=.解析因为ab,所以ab=0,则x+1+(-x)2=0,解得x=1,则|a|=.答案7.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45,则y=.解析ab=-1+3y,|a|=,|b|=,a与b的夹角为45,cos 45=.解得y=2或y=-(舍去).答案28.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x
4、)(xR).(1)若ab,求|a-b|;(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.解(1)因为ab,所以-x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),所以a-b=(2,-4),则|a-b|=2.综上,|a-b|=2或2.(2)因为a与b的夹角为锐角,所以ab0,即2x+3-x20,解得-1x3.又当x=0时ab,故x的取值范围是(-1,0)(0,3).9.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求证:ABAD;(2)若四边形ABCD为
5、矩形,求点C的坐标及矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值.(1)证明A(2,1),B(3,2),D(-1,4),=(1,1),=(-3,3).又=1(-3)+13=0,ABAD.(2)解,四边形ABCD为矩形,.设点C的坐标为(x,y),则=(x+1,y-4).又=(1,1),解得点C的坐标为(0,5).=(-2,4),=(-4,2),|=2,|=2=8+8=16.设的夹角为,则cos =.故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.能力提升练1.已知在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足=2,则=()A.-B.-1C.-2D
6、.-2解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为ADBC,ABC=90,AB=BC=2,AD=1,所以B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以=(0,2),=(2,0),因为=2,所以2=(0,2)+(2,0)=(2,2),故=(1,1),故P(1,1),=(0,1),=(1,-1),所以=01+1(-1)=-1.答案B2.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)c的取值范围是()A.0,1B.-1,1C.-D.0,解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b|=,设a-b与c的夹角为,则(a-b)c=|a-b|c|cos =cos ,cos
7、 -1,1,(a-b)c的取值范围为-.答案C3.(2020安徽合肥检测)已知在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为()A.3B.5C.7D.8解析如图,以D为原点,DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设DC=a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0xa),则+3=(2,-x)+3(1,a-x)=(5,3a-4x),所以|+3|=5,当且仅当x=a时,等号成立.故|+3|的最小值为5.答案B4.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且ab=,则b=.解析设b=(x,y
8、).|b|=1,x2+y2=1.ab=x+y=,x2+(1-x)2=1.4x2-6x+2=0.2x2-3x+1=0.x1=1,x2=,y1=0,y2=.(1,0)是与x轴平行的向量,舍去,b=.答案5.如图,在ABC中,=0,|=8,|=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.(1)求的值;(2)判断的值是否为一个常数,并说明理由.解(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系(图略),由题意易知|BC|=10,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A,此时=(-10,0),所以=-(-10)+0=14.(2)是一个常数.
9、理由如下:设点E的坐标为(0,y)(y0),此时,所以=-(-10)+0=14,为常数,故的值是一个常数.6.已知向量a=(1,2),b=(cos ,sin ),设m=a+tb(tR).(1)若=,求当|m|取最小值时实数t的值;(2)若ab,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.解(1)当=时,b=,ab=,|m|=,当t=-时,|m|取得最小值.(2)存在.假设存在满足条件的实数t.由条件得cos,ab,|a-b|=,|a+tb|=,(a-b)(a+tb)=5-t,.t2+5t-5=0,且t5,得t=.存在t=满足条件.素养培优练1.
10、已知向量a,b满足|a|=,b=(1,-3),且(2a+b)b.(1)求向量a的坐标;(2)求向量a与b的夹角.解(1)设a=(x,y),因为|a|=,则,又因为b=(1,-3),且(2a+b)b,2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3),所以(2x+1,2y-3)(1,-3)=2x+1+(2y-3)(-3)=0,即x-3y+5=0,由解得所以a=(1,2)或a=(-2,1).(2)设向量a与b的夹角为,所以cos =-或cos =-,因为0,所以向量a与b的夹角=.2.(2020天津高一检测)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x.(1)若mn,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.解(1)m=,n=(sin x,cos x),mn,mn=sin x-cos x=0,即sin x=cos x,tan x=1.(2)由题意知,|m|=1,|n|=1,mn=sin x-cos x=sin.而mn=|m|n|cos=cos.sin.又x,x-,x-,x=.7