1、课时达标第34讲解密考纲考查线性规划以选择题或填空题的形式出现一、选择题1已知实数x，y满足则z4xy的最大值为(B)A10B8C2D0解析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数的图象经过点A(2,0)时，z4xy取得最大值8.2设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是(A)ABC1,6D解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示由图可知，当直线z3xy过点A(2,0)时，z取得最大值6，过点B时，z取得最小值，故选A3设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2y2的取值范围为(C)A2,8B4,13C2,13D解析：作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原
2、点的距离的平方，从而可得zmin|OA|222，zmax|OB|2322213.故z2,134若实数x，y满足且zyx的最小值为2，则k的值为(B)A1B1C2D2解析：当k1或k2时，目标函数zyx无最小值；当k2时，直线yxz过点(0,2)时有zmin2；当k1时，直线yxz过点(2,0)时有zmin2.5若关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为(A)A3B6C5D4解析：先作出不等式组对应的区域，如图因为直线axy10过定点(0,1)，且不等式axy10表示的区域在直线axy10的下方，所以ABC为不等式组对应的平面区域因为A到直线BC的距离为1，所以SABC1BC
3、2，所以BC4.当x1时，yC1a，所以yC1a4，解得a3.6设实数x, y满足则z的取值范围是(D)ABCD解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示解方程组得可行域的顶点分别为A(3,1)，B(1,2)，C(4,2)由于表示可行域内的点(x，y)与原点(0,0)的连线的斜率，则kOA，kOB2，kOC，所以.结合对勾函数的图象，得z，故选D二、填空题7设实数x，y满足约束条件则目标函数zx2y的最大值为25.解析：由zx2y，得yx，作出不等式组表示的平面区域，如图所示平移直线yx，由图象可知，当直线yx经过点F时，直线yx在y轴上的截距最大，此时z最大由解得即F(7,9)，代入z
4、x2y，得zmax72925.8若点(x，y)位于曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域，则z2xy的最小值为4.解析：曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域如图由z2xy，得y2xz.当直线y2xz经过点(1,2)时，直线在y轴上的截距最大，此时z的值最小故zmin2(1)24，即2xy的最小值为4.9已知a0，实数x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a的值为.解析：由题意得直线ya(x3)过x1与2xy1的交点(1，1)，因此a的值为.三、解答题10若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围解析：(1)作出可
5、行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直线xy0，由图可知过A(3,4)时，z取最小值2，过C(1,0)时，z取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a2.故所求a的取值范围为(4,2)11已知变量x，y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围；(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围解析：由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示由解得A.由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)z，z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB.(2)zx2
6、y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|.2z29，即z2,29(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax8.16z64，即z16,6412实系数一元二次方程x2ax2b0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点(a，b)对应的区域的面积；(2)的取值范围；(3)(a1)2(b2)2的值域解析：方程x2ax2b0的两根在区间(0,1)和(1,2)
7、上的几何意义分别是：函数yf(x)x2ax2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内，由此可得不等式组由解得A(3,1)；由解得B(2,0)；由解得C(1,0)在如图所示的坐标平面aOb内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为ABC(不包括边界)(1)ABC的面积为SABC|BC|hh，h是A到a轴的距离，则SABC1.(2)的几何意义是点(a，b)和点D(1,2)连线的斜率kAD，kCD1.由图可知，kADkCD1，即.(3)(a1)2(b2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1,2)之间距离的平方，由图可知，在A点与C点分别取最大值和最小值(a1)2(b2)2(8,17)