1、命题方向专题测试专题突破二 三角函数与平面向量综合问题求解策略 1以平面向量为载体来研究三角函数中的最值、单调性、周期等性质 2将平面向量与三角形相结合，研究三角形的有关性质或进行平面向量的运算 3借助平面向量的数量积公式来解决夹角问题，并以此进行三角恒等变换等例 1 已知函数 f(x)Asin(x)，xR(其中 A0，0，2 2)，其部分图象如图所示若横坐标分别为1，1，5 的三点 M，N，P 都在函数 f(x)的图象上，记MNP，则 cos 2的值是解析 由图可知，A1，f(x)的最小正周期 T8，所以 T28，即 4.又 f(1)sin 4 1，且22，所以4434，即 42，所以 4.
2、所以 f(x)sin 4(x1)答案 725因为 f(1)0，f(1)1，f(5)1，所以 M(1，0)，N(1，1)，P(5，1)所以NM(2，1)，NP(4，2)，NM NP 6，|NM|5，|NP|2 5，则 cos MNP NM NP|NM|NP|35，即 cos 35.于是 cos 22cos21 725.利用数量积公式可以解决夹角问题，一方面可以减少一些繁杂的运算，另一方面，也可以避免向量不是同一起点的问题当然，更多的试题是经过平面向量的坐标运算得出三角函数的解析式，然后研究其单调性、周期性和最值等性质，其落脚点是三角函数例 2 已知向量 a，b，c 满足 abc0，且 a 与 b
3、 的夹角的正切值为12，b 与 c 的夹角的正切值为13，|b|2，则 ac的值为解析 由 abc0，知向量 a，b，c 可组成如图所示的ABC，其中BC a，CA b，ABc，可知 tan C12，tan A13，所以 tan Btan(AC)1213121311.从而 sin A 110，sin B 12，sin C 15，cos B 12，根据正弦定理，可得|a|110 212|c|15，故|a|25，|c|2 25，从而 ac|a|c|cos(B)252 25 1245.答案 45平面向量、解三角形、三角函数的综合性试题，其主体思想是三角函数，在解题中只要把平面向量反映的三角函数关系、
4、三角形的边角关系转化为一般的等式，然后根据题目的要求采取相应的解决方法即可但解题时一定要注意图形的特征，特别注意两平面向量夹角的取值例 3 已知平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A(sin x，1)，B(cos x，0)，C(sin x，2)，点 P 在直线 AB 上，且ABBP.(1)记函数 f(x)BPCA，判断点78，0 是否为函数 f(x)图象的对称中心，若是，请给予证明；若不是，请说明理由；(2)若函数 g(x)|OP OC|，且 x 12，2，求函数 g(x)的最值解(1)点78，0 为函数 f(x)图象的对称中心 理由如下：因为BPAB(cos xsin x，1)，CA(
5、2sin x，1)，所以 f(x)2sin x(cos xsin x)1sin 2xcos 2x 2sin2x4.令 2x4k，kZ，得 xk2 8，kZ，所以函数 f(x)图象的对称中心为k2 8，0，kZ，取 k2，可得78，0 为函数f(x)图象的对称中心(2)设点 P 的坐标为(xp，yp)，则BP(xpcos x，yp)，因为ABBP，所以 cos xsin xxpcos x，yp1，所以xp2cos xsin x，yp1，所以点 P 的坐标为(2cos xsin x，1)，因为OC(sin x，2)，所以OP OC(2cos x2sin x，1)，所 以g(x)|OP OC|（2cos x2sin x）21 58sin xcos x 54sin 2x.因为 x 12，2，所以62x，所以12sin 2x1，所以 154sin 2x7，所以 1g(x)7，所以函数 g(x)在x 12，2 上的最小值为 1，最大值为 7.破解平面向量与“三角”交友题的关键：一是巧“化简”，即活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；二是会“转化”，把向量共线、向量垂直形式出现的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘积之间的关系”专题测试