1、考点规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固1.是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m,n,且Am,A,则m,n的位置关系不可能是()A.垂直B.相交C.异面D.平行答案:D解析:是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,m,n,n在平面内.Am,A,A是m和平面相交的点,m和n异面或相交,一定不平行.2.在空间中,四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案:D解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取l1为BC,l2为
2、CC1,l3为C1D1.满足l1l2,l2l3.若取l4为A1D1,则有l1l4;若取l4为DD1,则有l1l4.因此l1与l4的位置关系不确定,故选D.3.如图,=l,A,B,C,且Cl,直线ABl=M,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M答案:D解析:AB,MAB,M.又=l,Ml,M.根据公理3可知,M在与的交线上,同理可知,点C也在与的交线上.4.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,
3、O不共面D.B,B1,O,M共面答案:A解析:连接A1C1,AC,则A1C1AC,所以A1,C1,A,C四点共面.所以A1C平面ACC1A1.因为MA1C,所以M平面ACC1A1.又M平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.5.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a,且长为a的棱与长为2的棱异面,则a的取值范围是()A.(0,2)B.(0,3)C.(1,2)D.(1,3)答案:A解析:此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a的棱长一定大于0且小于2.6.l1,l2表示空
4、间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案:A解析:l1,l2是异面直线l1,l2不相交,即pq;而l1,l2不相交l1,l2是异面直线,即qp.故p是q的充分条件,但不是q的必要条件.7.b是平面外一条直线,下列条件可得出b的是()A.b与内一条直线不相交B.b与内两条直线不相交C.b与内无数条直线不相交D.b与内任意一条直线不相交答案:D解析:只有在b与内所有直线都不相交,即b与无公共点时,b.8.在四面体AB
5、CD中,E,F分别是AC,BD的中点.若AB=2,CD=4,EFAB,则EF与CD所成角的度数为()A.90B.45C.60D.30答案:D解析:如图,设G为AD的中点,连接GF,GE,则GF,GE分别为ABD,ACD的中位线.由此可得,GFAB,且GF=12AB=1,GECD,且GE=12CD=2,FEG或其补角即为EF与CD所成的角.又EFAB,GFAB,EFGF.在RtEFG中,GF=1,GE=2,sinGEF=GFGE=12,可得GEF=30,EF与CD所成角的度数为30.9.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作平面,使得正方体的各棱与平面所成的角均相等,则满足条件的平面的个数
6、是()A.1B.4C.6D.8答案:B解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1,AD,AB平行的直线各有3条,AA1=AD=AB,A1-BDC1是正三棱锥,AA1,AD,AB与平面A1DB所成角相等,则满足条件的平面有4个,故选B.10.用a,b,c表示三条不同的直线,表示平面,给出下列命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a,b,则ab;若a,b,则ab;若ab,bc,则ac;若abc,则a,b,c共面.其中真命题的序号是.答案:解析:由平行线的传递性(公理4)知正确;举反例:在同一平面内,ab,bc,有ac;举反例:如图的长方体中,a,b,但a与b相交;垂直于同一
7、平面的两直线互相平行,知正确;显然正确;由三棱柱的三条侧棱知错.11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)几何体A1GH-ABC是三棱台;(3)平面EFA1平面BCHG.答案:证明(1)GH是A1B1C1的中位线,GHB1C1.又B1C1BC,GHBC,B,C,H,G四点共面.(2)A1G12AB,AA1与BG必相交.设交点为P,则PA1PA=A1GAB=12.同理设CHAA1=Q,则QA1QA=12,P与Q重合,即三条直线AA1,GB,CH相交于一点.又由棱柱的性质知平面
8、A1GH平面ABC,几何体A1GH-ABC为三棱台.(3)E,F分别为AB,AC的中点,EFBC.EF平面BCHG,BC平面BCHG,EF平面BCHG.A1GEB,四边形A1EBG是平行四边形,A1EGB.A1E平面BCHG,GB平面BCHG,A1E平面BCHG.A1EEF=E,平面EFA1平面BCHG.能力提升12.以下四个命题中,不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;依次首尾相接的四条线段必共面.真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:B解
9、析:中显然是正确的;中若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面;构造长方体或正方体,如图显然b,c异面,故不正确;中空间四边形中四条线段不共面,故只有正确.13.若空间三条直线a,b,c满足ab,bc,则直线a与c()A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.一定垂直答案:D解析:两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直,故选D.14.一正方体的平面展开图如图所示,在这个正方体中,有下列四个结论:AFGC;BD与GC是异面直线,且夹角为60;BDMN;BG与平面ABCD所成的角为45.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:将平面展开
10、图还原成正方体(如图).对于,由图形知AF与GC异面垂直,故正确;对于,BD与GC是异面直线.连接EB,ED,则BMGC,所以MBD(或其补角)即为异面直线BD与GC所成的角.在等边三角形BDM中,MBD=60,所以异面直线BD与GC所成的角为60,故正确;对于,BD与MN为异面垂直,故错误;对于,由题意,得GD平面ABCD,所以GBD是BG与平面ABCD所成的角.但在RtBDG中,GBD45,故错误.综上可得正确.故选B.15.已知m,n,l为不同直线,为不同平面,给出下列命题,其中真命题的序号是.(填上所有真命题的序号)ml,nlmn;m,nmn;m,n,mn;m,nmn;m与l异面,n与
11、l异面m与n异面;m与l共面,n与l共面m与n共面.答案:解析:由平面的基本性质4知正确;平行于同一平面的两条直线可以平行、相交,也可以异面,故错误;mmnmn,故为真命题;nn或nmmn,故为真命题;如图(1),长方体中,m与l异面,n1,n2,n3都与l异面,但n2与m相交,n1与m异面,n3与m平行,故为假命题;如图(2),长方体中,m与l共面,n与l共面,但m与n异面,故为假命题.(1)(2)16.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:当直线AB与a成60角时,AB与b成30角;当直线AB与
12、a成60角时,AB与b成60角;直线AB与a所成角的最小值为45;直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)答案:解析:由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由ACa,ACb,得AC圆锥底面,在底面内可以过点B,作BDa,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DEBD,DEb.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=2,当直线AB与a成60角时,ABD=60,故BD=2.又在RtBDE中,BE=2,DE=2,过点B作BFDE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=2,ABF为等边三角形,ABF=60,即AB与b成60角,正确
13、,错误.由最小角定理可知正确;很明显,可以满足直线a平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90,错误.故正确的说法为.17.在空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.求证:(1)BC与AD是异面直线.(2)EG与FH相交.答案:证明(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为,则B,C,A,D.所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾,所以BC与AD是异面直线.(2)如图,连接AC,BD,则EFAC,HGAC,因此EFHG.同理EHFG,则四边形EFGH为平行四边形.又EG,FH是EFGH的对角线,所以EG与FH相交.高
14、考预测18.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点F在棱B1B上,且满足B1F=2BF.(1)求证:EFA1C1;(2)在棱C1C上确定一点G,使A,E,G,F四点共面,并求此时C1G的长.答案:(1)证明如图所示,连接B1D1,ABCD-A1B1C1D1为正方体,四边形A1B1C1D1为正方形.A1C1B1D1.BB1平面A1B1C1D1,A1C1BB1.B1D1BB1=B1,A1C1平面BB1D1D.EF平面BB1D1D,EFA1C1.(2)解如图所示,假设A,E,G,F四点共面,则A,E,G,F四点确定平面AEGF,ABCD-A1B1C1D1为正方
15、体,平面AA1D1D平面BB1C1C.平面AEGF平面AA1D1D=AE,平面AEGF平面BB1C1C=GF,由平面与平面平行的性质定理得AEGF,同理可得AFGE,因此四边形AEGF为平行四边形,GF=AE.在RtADE中,AD=a,DE=12DD1=a2,ADE=90,由勾股定理得AE=AD2+DE2=a2+a22=52a,在直角梯形B1C1GF中,下底B1F=23BB1=23a,腰B1C1=a,GF=AE=52a,过G作GHBB1交BB1于H.显然四边形B1C1GH为矩形,故有C1G=B1H,GH=C1B1=a.在RtFGH中,FH=B1F=C1G,GH=a.由勾股定理可得GF=GH2+(B1F-C1G)2=a2+23a-C1G2=52a,结合图形可知C1GB1F,解得C1G=16a.
