1、新 20 版练 B1 数学人教 A 版 5.3 诱导公式第五章 三角函数5.3 诱导公式第 1 课时 诱导公式(1)考点 1 诱导公式的理解1.已知角 和 的终边关于 x 轴对称,则下列各式中正确的是()。A.sin=sin B.sin(-2)=sin C.cos=cos D.cos(2-)=-cos 答案:C解析:由角 和 的终边关于 x 轴对称,可知=-+2k(kZ),故 cos=cos。2.已知 f(x)=sin x,下列式子中成立的是()。A.f(x+)=sin x B.f(2-x)=sin xC.f(-2)=cos D.f(-x)=-f(x)答案:C解 析:f(x+)=sin(x+)
2、=-sinx,f(2-x)=sin(2-x)=-sinx,f(-2)=sin(-2)=-sin(2-)=-cosx,f(-x)=sin(-x)=sin x=f(x)。故选 C。3.若角 A,B,C 是ABC 的三个内角,则下列等式中一定成立的是()。A.cos(A+B)=cos CB.sin(A+B)=-sin CC.cos(2+)=sin BD.sin+2=cos2答案:D解 析:A+B+C=,A+B=-C,cos(A+B)=-cosC,sin(A+B)=sinC,A,B都 不 正 确。同理,B+C=-A,sin+2=sin(2-2)=cos2。故选 D。4.已知函数 f(x)=cos2,则
3、下列等式中成立的是()。A.f(2-x)=f(x)B.f(2+x)=f(x)C.f(-x)=-f(x)D.f(-x)=f(x)答案:D解析:对于 A,f(2-x)=cos2-2=cos(-2)=-cos2f(x),A 不成立;对于 B,f(2+x)=cos2+2=cos(+2)=-cos2f(x),B 不成立;对于 C,f(-x)=cos-2=cos2=f(x)-f(x),C 不成立,D 成立。故选 D。考点 2 诱导公式二四的应用5.(2019天津一中高一上期末考试)化简 sin2(+)-cos(+)cos(-)+1 的结果为()。A.1 B.2sin2C.0 D.2答案:D解析:原式=(-
4、sin)2-(-cos)cos+1=sin2+cos2+1=2。6.(2018河北保定一中高一期中考试)已知 A=sin(+)sin+cos(+)cos(kZ),则 A 构成的集合是()。A.-1,1,-2,2B.1,-1C.2,-2D.-2,-1,0,1,2答案:C解析:当 k 为偶数时,A=2;当 k 为奇数时,A=-2。故 A 构成的集合为-2,2。7.(2018银川调考)sin2150+sin2135+2sin210+cos2225的值是()。A.14 B.34C.114 D.94答案:A解 析:原 式=sin230+sin245+2sin(180+30)+cos2(180+45)=(
5、12)2+(22)2+(-2sin30)+(-22)2=14+24-1+24=14。8.(2018成都七中月考)下列三角函数:sin(+43);cos(2+6);sin(2+3);cos(2+1)-6;sin(2+1)-3(nZ)。其中函数值与 sin3的值相同的是()。A.B.C.D.答案:C解析:sin(+43)=(-1)nsin43=(-1)n+1sin3;cos(2+6)=cos6=sin3;sin(2+3)=sin3;cos(2+1)-6=cos(-6)=-cos6=-sin3;sin(2+1)-3=sin(-3)=sin3,故正确。9.(2018郑州调考)已知 sin(-4)=32
6、,则 sin(54-)的值为()。A.12 B.-12 C.32 D.-32答案:C解析:sin(54-)=sin-(-4)=sin(-4)=32。10.(2018成都诊断)若 cos(-100)=a,则 tan 80等于()。A.-1-2B.1-2C.-1+2D.1+2答案:A解析:cos(-100)=cos 100=cos(180-80)=-cos 80=a,cos 80=-a。又sin280+cos280=1,sin800,sin 80=1-cos280=1-(-)2=1-2,故 tan 80=sin80cos80=-1-2。11.(2018重庆调考)已知 cos(508-)=1213,
7、则 cos(212+)=。答案:1213解析:由于 cos(508-)=cos(360+148-)=cos(148-)=1213,所以 cos(212+)=cos(360+-148)=cos(-148)=cos(148-)=1213。12.(2018武汉四月调考)设函数 f(x)=asin(x+)+bcos(x+),其中 a,b,都是非零实数,且满足f(2 018)=-1,则 f(2 019)的值为 。答案:1解 析:f(2 018)=asin(2 018+)+bcos(2 018+)=-1,f(2 019)=asin(2 019+)+bcos(2019+)=asin+(2 018+)+bco
8、s+(2 018+)=-asin(2 018+)+bcos(2 018+)=1。13.(2018天津一中期中)化简1-2sin10cos10cos10-1-cos2170等于 。答案:1解析:原式=(sin10-cos10)2cos10-1-cos2(180-10)=cos10-sin10cos10-sin10=1。14.(2018东北育才中学检测)化简下列各式:(1)cos(-)sin(2+)sin(-+)cos(-);答案:原式=-cossin-sin(-)cos(+)=-cossinsincos=-1。(2)cos190sin(-210)cos(-350)tan(-585)。答案:原式=
9、cos(180+10)-sin(180+30)cos(360-10)-tan(360+225)=-cos10sin30cos10-tan(180+45)=-12-tan45=12。考点 3 诱导公式五、六的应用15.已知 cos(2+)=32,且|2,则 tan 等于()。A.-33 B.33 C.-3D.3答案:C解析:由 cos(2+)=-sin=32,得 sin=-32。又|2,=-3,tan=-3。16.(2018浙江温州高一下期末考试)若 cos(12-)=13,则 sin(512+)=()。A.13 B.223C.-13 D.-223答案:A解析:cos(12-)=13,sin(5
10、12+)=sin2-(12-)=cos(12-)=13,故选 A。17.(2019石家庄模拟)已知 sin 10=k,则 cos 620的值等于()。A.k B.-k C.k D.不能确定答案:B18(2018济南调考)已知 cos(512+)=13,且-2,则 cos(12-)的值为()。A.233B.13C.-13 D.-223答案:D解 析:cos(12-)=cos 2-(512+)=sin(512+)。又-2,-712 512+-12,sin(512+)=-1-cos2(512+)=-223。考点 4 诱导公式二六的综合应用19.(2018西安月考)如果 sin(+)=12,那么 co
11、s(32-)的值是()。A.12 B.-12 C.32 D.-32答案:A解析:sin(+)=-sin=12,sin=-12,cos(32-)=-sin=12。20.(2018宁波调考)若 sin(+)+cos(2+)=-m,则 cos(2-)+2sin(3-)的值为()。A.-23 mB.23m C.-32mD.32m答案:D21(2018西安调考)已知 cos(60+)=13,且-180-90,则 cos(30-)的值为()。A.-223B.223C.-23 D.23答案:A解析:由-180-90,得-12060+0,所以-9060+-30,即-150-90,所以 12030-180,co
12、s(30-)0,所以cos(30-)=sin(60+)=-1-cos2(60+)=-1-(13)2=-223。22.(2019北京东城区期末测试)若 tan(-)=2,则 2sin(3+)cos(52+)+sin(32-)sin(-)的值为 。答案:223(2018南京质检)已知 sin 是方程 5x2-7x-6=0 的实根,是第三象限角,则sin(-32)sin(32-)tan3cos(2-)cos(2+)的值为 。答案:34解析:5x2-7x-6=0 的两实根 x1=-35,x2=2,故 sin=-35又 为第三象限角,故 cos=-45,所以原式=cos(-cos)sin3cos3sin
13、(-sin)=sincos=34。第 2 课时 诱导公式(2)考点 1 给角求值问题1.(2019浙江杭州高一上期末)sin 315+sin(-480)+cos(-330)的值为()。A.12 B.-12 C.-22 D.22答案:C解析:原式=sin(360-45)+sin(-360-120)+cos(-360+30)=-sin 45-sin 60+cos 30=-22-32+32=-22。故选 C。2.(2019宁波一中月考)计算 sin21+sin22+sin23+sin289=()。A.89B.90 C.892 D.45答案:C解析:sin21+sin289=sin21+cos21=1
14、,sin22+sin288=sin22+cos22=1,sin21+sin22+sin23+sin289=sin21+sin22+sin23+sin244+sin245+cos244+cos243+cos23+cos22+cos21=44+12=892。【归纳总结】给角求值的运算规则:负化正,大化小,化到锐角再查表。3.(2019江苏启东中学月考)计算:cos(-585)sin495-sin570=。答案:2-2 解析:原式=cos585sin(360+135)-sin(360+210)=cos225sin135-sin210=-cos45sin(90+45)-sin(180+30)=-222
15、2+12=2-2。4.(2019合肥二中月考)若 k 为整数,则 sin(-23)cos(+6)=。答案:-34 解析:分 k 为奇数和 k 为偶数两种情况进行讨论。(1)当 k=2n(nZ)时,原式=sin(2-23)cos(2+6)=-sin23cos6=-sin3cos6=-32 32=-34。(2)当 k=2n+1(n Z)时,原 式=sin(2+-23)cos(2+6)=sin3 cos(+6)=sin3(-cos6)=32(-32)=-34。所以 sin(-23)cos(+6)=-34(kZ)。考点 2 给值求值问题5.(2019成都七中月考)已知 sin(-4)=13,则 cos
16、(4+)的值为()。A.223B.-23 2C.13D.-13答案:D解析:4+-(-4)=2,cos(4+)=sin2-(4+)=sin(4-)=-sin(-4)=-13。6.(2019江西赣州十三县十四校高一上联考)设 tan=3,则sin(-)+cos(-)sin(2-)+cos(2+)=()。A.3 B.2 C.1 D.-1答案:B解析:sin(-)+cos(-)sin(2-)+cos(2+)=-sin-coscos-sin=-tan-11-tan=-3-11-3=2。7.(2019安徽江南六校高一联考)已知函数 f(x)满足 f(cos x)=1-cos 2x,则 f(sin 15)
17、=。答案:1+32解析:f(cos x)=1-cos 2x,f(sin 15)=f(cos 75)=1-cos 150=1-cos(180-30)=1+cos 30=1+32。8.(2019黑龙江鹤岗一中高一上期末考试)已知 f()=sin(-)cos(2-)sin(-+32)sin(2+)sin(-)。(1)化简 f();答案:f()=sincos(-cos)cossin=-cos。(2)若 是第三象限角,且 cos(-32)=15,求 f()的值。答案:因为 是第三象限角,且 cos(-32)=15,所以 sin=-15,cos=-265,所以 f()=-cos=265。考点 3 利用诱导
18、公式化简求值问题9.(2019南宁一中月考)cos(+)sin2(+3)tan(+4)tan(-)sin3(2+)的值为()。A.1 B.-1 C.sin D.tan 答案:B解析:原式=-cossin2tantancos3=-sin2tan2cos2=-tan2tan2=-1。10.化简sin400sin(-230)cos850tan(-50)的结果为 。答案:cos 50解析:sin400sin(-230)cos850tan(-50)=sin(360+40)-sin(180+50)cos(720+90+40)(-tan50)=sin40sin50sin40tan50=cos 50。11.(
19、2019陕西西安铁一中单元测评)化简cos(-2)sin(52+)sin(-)cos(2-)的结果为 。答案:-sin2解析:原式=cos(2-)sin(2+2+)(-sin)cos(-)=sinsin(2+)(-sin)cos=sincos(-sin)cos=-sin2。考点 4 利用诱导公式证明三角恒等式问题12.(2019武汉二中月考)求证:tan(2-)cos(32-)cos(6-)tan(-)sin(+32)cos(+32)=1。答案:证明:左边=tan(-)-cos(2-)cos(-)(-tan)-sin(2+)-cos(2+)=(-tan)(-sin)cos(-tan)(-cos
20、)sin=1=右边。所以原式成立。考点 5 诱导公式的综合问题13.(2019河北武邑中学高一周考)若 sin(-)0,则 的终边在()。A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:C解析:因为 sin(-)=sin 0,所以 的终边在第三象限,故选 C。14.(2019青岛调考)已知 a=tan(-76),b=cos234,c=sin(-334),则 a,b,c 的大小关系是()。A.bac B.abcC.bca D.acb答案:A解析:a=tan(-76)=-tan(+6)=-tan6=-33,b=cos234=cos(6-4)=cos4=22,c=sin(-334)=-sin(
21、8+4)=-sin4=-22,bac。15.(2019西安调考)如果 f(sin x)=cos 2x,那么 f(cos x)=()。A.-sin 2x B.sin 2xC.-cos 2x D.cos 2x答案:C解析:f(cos x)=fsin(2-)=cos2(2-)=cos(-2x)=-cos 2x。16.(2019江西南昌莲塘一中月考)已知 sin(+6)=14,则 sin(56-)+cos2(3-)=。答案:516解析:sin(56-)=sin-(+6)=sin(+6),cos2(3-)=1-sin2(3-)=1-sin22-(6+)=1-cos2(6+)=sin2(6+),又 sin
22、(+6)=14,sin(56-)+cos2(3-)=sin(+6)+sin2(+6)=14+(14)2=516。17.(2019吉林四平高一上期末联考)已知函数 f(x)=-cos,0,(+1)+1,0,则 f(43)+f(-43)的值为 。答案:3解析:f(43)=-cos43=cos3=12,f(-43)=f(-43+1)+1=f(-13)+1=f(-13+1)+1+1=f(23)+2=-cos23+2=cos3+2=12+2=52,所以 f(43)+f(-43)=12+52=3。18.(2019哈尔滨测评)化简:sin(4-14-)+cos(4+14-)(kZ)的结果为 。答案:0解析:
23、原式=sin-(4+)+cos+(4-)。当 k 为奇数时,设 k=2n+1(nZ),则原式=sin(2+1)-(4+)+cos(2+1)+(4-)=sin-(4+)+cos+(4-)=sin(4+)+-cos(4-)=sin(4+)-cos2-(4+)=sin(4+)-sin(4+)=0;当 k 为偶数时,设 k=2n(nZ),则原式=sin2-(4+)+cos2+(4-)=-sin(4+)+cos(4-)=-sin(4+)+cos2-(4+)=-sin(4+)+sin(4+)=0。综上,原式=0。19.(2019上海建平中学测试)已知 sin(3-)=2cos(32+)和3cos(-)=-2cos(+),且0,0,求 和 的值。答案:解:已知条件可化为sin=2sin,3cos=2cos,两式平方相加可得 sin2+3cos2=2,即 sin2=12。0,sin=22,=4或=34。当=4时,代入可求得 cos=32,又因为 0,所以=6。当=34 时,代入可求得 cos=-32,又因为 0,所以=56。综上,=4,=6或=34,=56。