1、6.2.3向量的数乘运算课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)下面四种说法,其中正确的是() A.对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mbB.对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-naC.对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=bD.对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n解析由数乘向量运算律,得A,B均正确.对于C,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b,错误.对于D,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n,错误.答案AB2.(2020江苏高一检测)在ABC中,M是BC的中点.若=a,=b,则=()A.(a+b)B.(a-b)C.a+bD.a+b解析在AB
2、C中,M是BC的中点,又=a,=b,所以=a+b,故选D.答案D3.已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线解析向量=2a+4b,=a+2b,=2,即A,B,D三点共线.答案A4.已知在ABC中,向量=()(R),则点P的轨迹经过ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心解析设D为BC中点,则=2,=2,即点P在中线AD所在直线上,可知点P轨迹必过ABC的重心.答案D5.若=5e,=-7e,且|=|,则四边形ABCD的形状是.解析由已知得=-,因此,且|,所以四边形ABCD是梯形.又因为|=
3、|,所以四边形ABCD是等腰梯形.答案等腰梯形6.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+b)与(b-3a)共线,则的值为.解析由向量共线可得a+b=k(b-3a),即a+b=kb-3ka,(1+3k)a=(k-)b.a,b不共线,解得=-.答案-7.如图,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.(1)用a,b分别表示向量;(2)求证:B,E,F三点共线.(1)解)=(a+b),(a+b).b,=-a+b.(2)证明由(1)知=-a+b,=-a+(a+b)=-a+b=,.共线.又BE,BF有公共点B,B,E,F三点共线.8.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求
4、-a-b+(2b-a);(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.解(1)原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b.a=3i+2j,b=2i-j,原式=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j.(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,x=a+b.y=3x-b=3-b=a-b.能力提升练1.已知ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足=0,若实数满足=,则的值为()A.2B.C.3D.6解析-2.又=0,即=-,=-3=-,=3.答案C2.(多选题)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的三角形的几
5、何学一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理.在ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个选项中正确的是()A.GH=2OGB.=0C.AH=2ODD.SABG=SBCG=SACG解析在ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示.对于B,根据三角形的重心性质得=0,选项B正确;对于A,C,AHOD,AHGDOG,=2,GH=2OG,AH=2OD,选项A,C正确;对于D,过点G作GEBC,垂足为E,DEGDNA,则,BGC的面积为SBGC=BCGE=BCAN=SABC;同理,SAGC=SAGB=SAB
6、C,选项D正确.答案ABCD3.在平行四边形ABCD中,若=+,其中,R,则+=.解析由平面向量的加法运算,有.因为=+=()+()=+=.所以,即1-=+-1.不共线,解得故+=.答案4.(2019浙江高一期中)已知点M是ABC所在平面内的一点,若满足6-2=0,且SABC=SABM,则实数的值是.解析记2.+2-2=0,=2,SABC=SABN.又SABM=SABN,SABC=3SABM,从而有=3.答案35.已知在OBC中,点A是线段BC的中点,点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设=a,=b.(1)用向量a与b表示向量;(2)若,判断C,D,E是否共线,并说明理由.解(1)=a,
7、=b,点A是BC的中点,=-a.=-a-b.(2)C,D,E不共线.理由如下,假设存在实数,使=.=a+b+(-b)=a+b,)=2a+(-a+b)=a+b,a+b=,此方程组无解,不存在实数,满足=.C,D,E三点不共线.6.在ABC中,点P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且=t,求t的值.解,3=2,即2-2.2,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示.A,M,Q三点共线,设=x+(1-x)+(x-1),又,.又,且=t,=t.解得t=.素养培优练(2020河南西华高一检测)如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=AF,设=a,=b,试用a,b表示.解因为=b-a,(b-a),所以a+b.因为(a+b),所以(a+b),所以(a+b)-b=a-b.6