1、规范答题示例7空间角的计算问题典例7(12分)如图,AB是圆O的直径,C是圆O上异于A,B的一个动点,DC垂直于圆O所在的平面,DCEB,DCEB1,AB4.(1)求证:DE平面ACD;(2)若ACBC,求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值审题路线图(1)(2)规范解答分步得分构建答题模板(1)证明DC平面ABC,BC平面ABC,DCBC,又AB是O的直径,C是O上异于A,B的点,ACBC,又ACDCC,AC,DC平面ACD,BC平面ACD,又DCEB,DCEB,四边形BCDE是平行四边形,DEBC,DE平面ACD.4分(2)解在RtACB中,AB4,ACBC,ACBC2,如图,以C
2、为原点建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),D(0,0,1),B(0,2,0),E(0,2,1),(2,0,1),(0,2,0),(2,2,0),(0,0,1).6分设平面ADE的一个法向量为n1(x1,y1,z1),则令x11,得n1(1,0,2),设平面ABE的一个法向量为n2(x2,y2,z2),则令x21,得n2(1,1,0).10分cosn1,n2.平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为.12分第一步找垂直:找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线第二步写坐标:建立空间直角坐标系,写出特征点坐标第三步求向量:求直线的方向向量或平面的法向量第四步求夹角:计算向量的夹角第
3、五步得结论:得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.评分细则(1)第(1)问中证明DCBC和ACBC各给1分,证明DEBC给1分,证明BC平面ACD时缺少ACDCC,AC,DC平面ACD,不扣分(2)第(2)问中建系给1分,两个法向量求出1个给2分,没有最后结论扣1分,法向量取其他形式同样给分跟踪演练7(2017山东)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的,G是的中点(1)设P是上的一点,且APBE,求CBP的大小;(2)当AB3,AD2时,求二面角EAGC的大小解(1)因为APBE,ABBE,AB,AP平面ABP,ABAPA,
4、所以BE平面ABP.又BP平面ABP,所以BEBP,又EBC120,所以CBP30.(2)方法一取的中点H,连接EH,GH,CH.因为EBC120,所以四边形BEHC为菱形,所以AEGEACGC.取AG的中点M,连接EM,CM,EC,则EMAG,CMAG,所以EMC为所求二面角的平面角又AM1,所以EMCM2.在BEC中,由于EBC120,由余弦定理得EC22222222cos 12012,所以EC2,因此EMC为等边三角形,故所求的角为60.方法二以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,3),C(1,0),故(2,0,3),(1,0),(2,0,3),设m(x1,y1,z1)是平面AEG的一个法向量由可得取z12,可得平面AEG的一个法向量m(3,2)设n(x2,y2,z2)是平面ACG的一个法向量由可得取z22,可得平面ACG的一个法向量n(3,2)所以cosm,n.因此所求的角为60.