1、第4讲直线、平面平行的判定与性质 )1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)因为la，a，l，所以l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)因为l，l，b，所以lb2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)因为a，b，abP，a，b，所以性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因
2、为，a，b，所以ab1辨明两个易误点(1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件2线面、面面平行的判定中所遵循的原则一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，不可过于“模式化”1. 如果直线a平面，那么直线a与平面内的()A一条直线不相交B两条直线不相交C无数条直线不相交 D任意一条直线都不相交D 因为a平面，直线a与平面无公共点，因此a和平面内的任意一条直线都不相交，故选D2a、b、c为三条不重合的
3、直线，、为三个不重合的平面，现给出四个命题： a a其中正确的命题是()ABC DC 正确错在与可能相交错在a可能在内3若平面平面，直线a平面，点B，则在平面内过B点的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一一条与a平行的直线A 当直线a在平面内且经过B点时，a平面，但这时在平面内过B点的所有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线，故选A.4过三棱柱ABCA1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条 各中点连线如图，只有平面EFGH与平面ABB1A1平行，在四边形EFGH
4、中有6条符合题意 65. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_ 如图，连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OEBD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE. 平行线面平行的判定与性质(高频考点)平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中某一问高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下三个命题角度：(1)判断线面的位置关系；(2)线面平行的证明；(3)线面平行性质的应用(2016高考全国卷丙)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，AD
5、BC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积【解】(1)证明：由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB(2)因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E，连接AE，由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.(1)证明
6、线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行(2)应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线 (3)利用平面几何知识证明线线平行的主要方法：有中点，找中点，连中线，证平行；构造三角形的中位线；构造平行四边形条件 角度一判断线面的位置关系1已知直线a和平面，那么a的一个充分条件是()A存在一条直线b，ab且bB存在一条直线b，ab且bC存在一个平面，a且D存在一个平面，a且C 在A，B，D中，均有可能a，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故C正确
7、角度二线面平行的证明2(2015高考四川卷节选)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN平面BDH. (1)点F，G，H的位置如图所示(2)证明：如图，连接BD，设O为BD的中点，连接OH，OM，MN，BH.因为M，N分别是BC，GH的中点，所以OMCD，且OMCD，HNCD，且HNCD，所以OMHN，OMHN.所以四边形MNHO是平行四边形，从而MNOH.又MN平面BDH，OH平面BDH，所以MN平面BDH. 角度三线面平行性质的应用3.如图，四
8、边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：APGH. 连接AC交BD于点O，连接MO，因为PMMC，AOOC，所以PAMO，因为PA平面MBD，MO平面MBD，所以PA平面MBD因为平面PAHG平面MBDGH，所以APGH.面面平行的判定与性质如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【证明】(1)因为GH是A1B1C1的中位线，所以GHB1C1.又因为B1C1BC，所以GHBC，所以B，C
9、，H，G四点共面(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EFBC，因为EF平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.因为A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1EGB因为A1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG.因为A1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG. 在本例条件下，线段BC1上是否存在一点M使得EM平面A1ACC1? 存在当M为BC1的中点时成立证明如下：连接EM，AC1(图略)，在ABC1中，E，M分别为AB，BC1的中点，所以EM綊AC1，又EM平面A1ACC1，AC1平面A1ACC1，所以EM平面A1ACC1. 1已知平面，P
10、且P ，过点P的直线m与，分别交于A，C，过点P的直线n与，分别交于B，D，且PA6，AC9，PD8，则BD的长为_ 如图1，因为ACBDP，图1所以经过直线AC与BD可确定平面PCD因为，平面PCDAB，平面PCDCD，所以ABCD所以，即，所以BD.如图2，同理可证ABCD图2所以，即，所以BD24.综上所述，BD或24. 或242如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点求证：平面BDE平面MNG.因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB中点，所以MN为ABD的
11、中位线，所以BDMN，又BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE平面MNG.线、面平行中的探索性问题如图，四棱锥PABCD中，ABCD，AB2CD，E为PB的中点(1)求证：CE平面PAD；(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由【解】(1)证明：如图所示，取PA的中点H，连接EH，DH，因为E为PB的中点，所以EHAB，EHAB，又ABCD，CDAB所以EHCD，EHCD，因此四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH，又DH平面PAD，CE平面PAD，所以CE平面
12、PAD(2)如图所示，取AB的中点F，连接CF，EF，所以AFAB，又CDAB，所以AFCD，又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形，所以CFAD，又CF平面PAD，所以CF平面PAD，由(1)可知CE平面PAD，又CECFC，故平面CEF平面PAD，故存在AB的中点F满足要求解决探索性问题的策略方法(1)根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设(2)按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”“只需使成立”如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点(1)若F为BB1的中
13、点，判断AC1与平面DEF是否平行？若平行，请给予证明，若不平行，说明理由；(2)试问：在侧棱BB1上是否存在点F，使三棱锥FDEB的体积与三棱柱ABCA1B1C1的体积之比为. (1)法一：连接B1C，BC1交于点G，连接DG，FG，则DGAC1，因为DG平面GDF，AC1平面GDF，则AC1平面GDF.由于平面GDF平面DEFDF，故AC1与平面DEF不可能平行法二：连接B1C，BC1交于点G，连接DG，FG，则DGAC1，而DG平面DEF，且DG与平面DEF交于点D，故AC1与平面DEF不可能平行(2)假设点F存在，由，得，显然，点F不存在 1在空间内，下列命题正确的是()A平行直线的平
14、行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行D 对于A，平行直线的平行投影也可能互相平行，或为两个点，故A错误；对于B，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B错误；对于C，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C错误；而D为直线和平面垂直的性质定理，正确2(2015高考北京卷)设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件B 当m时，过m的平面与可能平行也可能相交，因而mD/；当时，内任一直线与平行，因为m，所以m.综上知，“m”是“”的必要而不充分条件3.
15、如图，AB平面平面，过A，B的直线m，n分别交，于C，E和D，F，若AC2，CE3，BF4，则BD的长为()A.BC. DC 由AB，易证.即，所以BD.4(2017江西赣中南五校模拟)已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若，则B若mn，m，n，则C若mn，m，n，则D若mn，m，则nC 对于A，若，则与平行或相交；对于B，若mn，m，n，则与平行或相交；对于D，若mn，m，则n或n在平面内5.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AEEBAFFD14，又H，G分别为BC，CD的中点，则()ABD平面EFGH，且四边形EFGH是
16、矩形BEF平面BCD，且四边形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四边形EFGH是菱形DEH平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形B 由AEEBAFFD14知EF綊BD，所以EF平面BCD又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊BD，所以EFHG且EFHG.所以四边形EFGH是梯形6.在三棱锥SABC中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC12，平面DEFH分别与AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H，且它们分别是AB、BC、SC、SA的中点，那么四边形DEFH的面积为()A18B18C36 D36A 因为D、E、F、H分别是AB、BC、SC、SA的中点，所以DEAC，FHAC，DHS
17、B，EFSB，则四边形DEFH是平行四边形，且HDSB6，DEAC3.如图，取AC的中点O，连接OB、SO，因为SASC12，ABBC6，所以ACSO，ACOB，又SOOBO，所以AO平面SOB，所以AOSB，则HDDE，即四边形DEFH是矩形，所以四边形DEFH的面积S6318，故选A.7.如图，在空间四边形ABCD中，MAB，NAD，若，则直线MN与平面BDC的位置关系是_ 在平面ABD中，所以MNBD又MN平面BCD，BD平面BCD，所以MN平面BCD 平行8.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_ 因为E
18、F平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，所以EFAC，所以F为DC中点故EFAC. 9设，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，则ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_(把所有正确条件的序号都填上) 由面面平行的性质定理可知，正确；当b，a时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确故填入的条件为或. 或10在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是_ 如图，取AB，C1D1的中点E，F，连接A1E，A1F，EF，
19、则平面A1EF平面BPC1.在A1EF中，A1FA1E，EF2，SA1EF2，从而所得截面面积为2SA1EF2. 211.如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AEFC1B1G1，H是B1C1的中点(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH平面BED1F. (1)因为AEB1G1，所以BGA1E2，因为BGA1E，所以A1GBE.又因为C1F綊B1G，所以FGC1B1D1A1，所以四边形A1GFD1是平行四边形所以A1GD1F，所以D1FEB，故E、B、F、D1四点共面(2)因为H是B1C1的中点，所以B1H.
20、又B1G1，所以.又，且FCBGB1H90，所以B1HGCBF，所以B1GHCFBFBG，所以HGFB又由(1)知A1GBE，且HGA1GG，FBBEB，所以平面A1GH平面BED1F. 12.如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点(1)当等于何值时，BC1平面AB1D1?(2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值 (1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时1.连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点在A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1BC1.又因为OD1平面A
21、B1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1平面AB1D1.所以1时，BC1平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BDC1BC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O.因此BC1D1O，同理AD1DC1.所以，.又因为1，所以1，即1.13如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：没有水的部分始终呈棱柱形；水面EFGH所在四边形的面积为定值；棱A1D1始终与水面所在平面平行；当容器倾斜如图所示时，BEBF是定值其中正确的个数是()A1B2C3 D4C 由题
22、图，显然是正确的，是错的；对于因为A1D1BC，BCFG，所以A1D1FG且A1D1平面EFGH，所以A1D1平面EFGH(水面)所以是正确的；因为水是定量的(定体积V)所以SBEFBCV，即BEBFBCV.所以BEBF(定值)，即是正确的，故选C.14.(2017湖南省长沙一中高考模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP，过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ_ 因为平面A1B1C1D1平面ABCD，而平面B1D1P平面ABCDPQ，平面B1D1P平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1PQ.又因为B1D1BD，所以B
23、DPQ，设PQABM，因为ABCD，所以APMDPQ.所以2，即PQ2PM.又知APMADB，所以，所以PMBD，又BDa，所以PQa. a15.如图，一个侧棱长为l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度)若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1C1的中点D，E，F，G.(1)求证：平面DEFG平面ABB1A1；(2)当底面ABC水平放置时，求液面的高 (1)证明：因为D，E分别为棱AC，BC的中点，所以DE是ABC的中位线，所以DEAB又DE平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，所以DE平面ABB1A1.同理DG平面ABB1A1，又DEDGD，所以平面DEFG平面AB
24、B1A1.(2)当直三棱柱ABCA1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABCA1B1C1容器的高，即侧棱长l，当底面ABC水平放置时，设液面的高为h，ABC的面积为S，则由已知条件可知，CDECAB，且SCDES，所以S四边形ABEDS.由于两种状态下液体体积相等，所以V液体ShS四边形ABEDlSl，即hl.因此，当底面ABC水平放置时，液面的高为l.16如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18.点E，F分别在A1B1，D1C1上，过点E、F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH.(1)求证：A1ED1F；(2)判断A1D与平面的关系 (1)证明：过点E分别作EMAB于点M，END1C1于点N.设MHm，NFn.因为EFGH是正方形，所以EFEHHF.又在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA18，BC10.所以102n282m2解之得n0，m6.所以N与F重合所以A1ED1ND1F.(2)由(1)知，A1DEG.又A1EDG.所以四边形A1DGE是以A1D与EG为腰的梯形，即A1D与EG相交又EG.所以直线A1D与平面相交