1、育才学校2021-2022学年度第一学期期末考试高二普通班理科数学试卷一选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知空间向量，若与垂直，则等于（）A.B.C.D.2.已知直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直，垂足为（2，p），则p+m+n的值为（）A.-6B.6C.4D.103.已知在数列an中，a1=3，a2=6，且an+2=an+1-an，则a2020=（）.A.3B.-3C.6D.-64.已知点O（0，0），A（0，2），点M是圆（x-3）2+（y+1）2=4上的动点，则OAM面积的最小值为（）A.1B.2C.3D.45.若等差数列的前7项和为48，前14项和为72，
2、则它的前21项和为（）A.96B.72C.60D.486.如图，已知F是椭圆（ab0）的左焦点，P是椭圆上的一点，PFx轴，OPAB（O为原点），则该椭圆的离心率是（）A.B.C.D.7.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为，过点F1的直线交C于点A，B，且ABF2的周长为8.则C的标准方程为（）A.B.C.D.8.已知双曲线（a0，b0）的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2=3，则双曲线的渐近线方程为（
3、）A.B.C.D.9.已知双曲线的离心率为2.抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A.B.C.D.10.朱载堉（15361611），是中国明代一位杰出的音乐家数学家和天文历算家，他的著作律学新说中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设前三个音的频率总和为A1，前六个音的频率总和为A2，则=（）A.1+B.1+C.1-D.1-11.如图所
4、示，F1，F2是双曲线的左右焦点，过F1的直线与C的左右两支分别交于A，B两点.若|AB|BF2|AF2|=345，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.12.已知A（0，3），若点P是抛物线x2=8y上任意一点，点Q是圆x2+（y-2）2=1上任意一点，则的最小值为（）A. B. C. D.二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.过点（1，2）可作圆x2+y2+2x-4y+k-2=0的两条切线，则实数k的取值范围是_.14.已知Sn为等比数列an的前n项和，且S3=8，S6=7，则a4+a5+a9=_.15.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的左支交于不同的两点，则k的
5、取值范围为_.16.过抛物线x2=2py（p0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p=_.三解答题（共6小题，共70分）17.（10分）已知直线m：（a+2）x+（1-2a）y+4-3a=0.（1）求证：直线m过定点M；（2）过点M作直线n使直线与两负半轴围成的三角形AOB的面积等于4，求直线n的方程.18.（12分）已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长|AB|=3.（1）求m的值；（2）设P是x轴上的点，且ABP的面积为9，求点P的坐标.19.（12分）已知函数f（x）=x2+2x，数列an的前n项和为
6、Sn，点（n，Sn）（nN*）在曲线y=f（x）的图象上.（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn是首项b1=1，公比q=3的等比数列，试求数列anbn的前n项和Tn.20.（12分）已知点A（0，-2），椭圆E：（ab0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.（1）求椭圆E的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆E交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程.21.（12分）如下图，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于直线AC，EC平面ABCD，AB=1，AD=2，ADC=60，AF=.（1）求证：ACBF；（2）求二面角F-BD-A的余弦
7、值.22.（12分）已知数列an满足a1=1，an+1an，（an-an-1）2=2（an+an-1）-1，n2.（1）求证：an+1-an是等差数列；（2）记bn=，求数列bn的前n项和.答案解析1.【答案】B【解析】因为，所以.因为与垂直，所以，所以，解得，所以，所以.2.【答案】A【解析】因为直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直，所以23+（-2）m=0，解得m=3，又垂足为（2，p），代入两条直线方程可得解得则p+m+n=-1+3+（-8）=-6.3.【答案】B【解析】由题意知a3=a2-a1=3，a4=a3-a2=-3，a5=a4-a3=-6，a6=a5-a4=-3，a
8、7=a6-a5=3，a8=a7-a6=6，a9=a8-a7=3，a10=a9-a8=-3，易知an是周期为6的数列，a2020=a4=-3.4.【答案】A【解析】根据题意，得圆（x-3）2+（y+1）2=4的圆心为（3，-1），半径r=2，O（0，0），A（0，2），OA所在的直线是y轴，当M到直线AO的距离最小时，OAM的面积最小，则M到直线AO的距离的最小值d=3-2=1，则OAM的面积最小值S=|OA|d=1.5.【答案】B【解析】解法一：由解得所以；解法二：，所以，成等差数列，公差为，由等差中项定义得，即，解得.故选：B6.【答案】A【解析】因为PFx轴，所以P.又OPAB，所以，即b
9、=c.于是b2=c2，即a2=2c2.所以.7.【答案】C【解析】因为ABF2的周长为8，所以|AB|+|AF2|+|BF2|=8|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=8（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=8，由椭圆的定义可知，|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，所以2a+2a=8a=2，由题意可得，解得，因为椭圆的焦点在x轴上，所以C的标准方程为.8.【答案】C【解析】设点，由题意知，所以其渐近线方程为，故选C.9.【答案】D【解析】由得，则双曲线的渐近线方程为，即，抛物线的焦点坐标为，则有，解得，故抛物线C2的方程为x2=16y.10.
10、【答案】A11.【答案】C【解析】|AB|BF2|AF2|=345，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，ABF2=90，又由双曲线的定义得|BF1|-|BF2|=2a，|AF2|-|AF1|=2a，|AF1|+3-4=5-|AF1|，|AF1|=3，2a=|AF2|-|AF1|=2，a=1，|BF1|=6.在RtBF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=36+16=52，又|F1F2|2=4c2，4c2=52，12.【答案】D【解析】设点P（x0，y0），由于点P是抛物线x2=8y上任意一点，则x=8y0（y00），点A（
11、0，3），则|PA|2=x+（y0-3）2=8y0+（y0-3）2=y+2y0+9，由于点Q是圆x2+（y-2）2=1上任意一点，要使的值最小，则的值要最大，即点到圆心的距离加上圆的半径为的最大值，则，.，经检验满足条件，的最小值为.13.【答案】（3，7）【解析】把圆的方程化为标准方程得（x+1）2+（y-2）2=7-k，圆心坐标为（-1，2），半径r=，则点（1，2）到圆心的距离d=2.由题意，可知点（1，2）在圆外，dr，即0，解得3k0，p=2.17.【答案】（1）方程m：（a+2）x+（1-2a）y+4-3a=0可化为a（x-2y-3）+（2x+y+4）=0，要使a有无穷多个解，必须
12、有解得无论a取何值，（-1，-2）都满足方程，故直线m过定点M（-1，-2）.（2）设直线n：，则解得故直线n：，即2x+y+4=0.所以当直线n为2x+y+4=0时，三角形的面积为4.18.【答案】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得4x2+4（m-1）x+m2=0，由根与系数的关系，得x1+x2=1-m，x1x2=，|AB|=|x1-x2|=，|AB|=3，=3，解得m=-4.（2）设P（a，0），P到直线AB的距离为d，则d=，又SABP=|AB|d，则d=，=，|a-2|=3，a=5或a=-1，故点P的坐标为（5，0）或（-1，0）.19.【解析】（1）由题意得Sn=n2+
13、2n，当n1时，an=Sn-Sn-1=（n2+2n）-（n-1）2+2（n-1）=2n+1；当n=1时，a1=S1=3，满足上式，所以an=2n+1（nN*）.（2）由题意得bn=3n-1，又由（1）可知an=2n+1，故anbn=（2n+1）3n-1，所以Tn=330+531+732+（2n+1）3n-1，3Tn=331+532+733+（2n+1）3n，两式相减，得-2Tn=3+2（31+32+33+3n-1）-（2n+1）3n=3+2-（2n+1）3n，=-2n3n所以Tn=n3n.20.【答案】解（1）设点F（c，0），因为直线AF的斜率为，A（0，-2），所以，.又因为，b2=a2-
14、c2，解得a=2，b=1，所以椭圆E的方程为.（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx-2，联立消去得，当，即时，.所以又点到直线的距离，所以设，则.当且仅当，即，即时取等号，满足，所以的面积最大时，直线的方程为或，即或21.【答案】（1）证明CD=AB=1，AD=2，ADC=60，AC=，CD2+CA2=AD2，CDCA，又EC平面ABCD，故以CD为x轴，CA为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，其中C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，0），F（0，），B（-1，0），=（0，0），=（1，0，），=（-1，），=（-2，0）
15、，=0，ACBF.（2）解平面ABD的一个法向量=（0，0，1），设平面FBD的法向量=（x，y，z），由得令z=1，得=（-，-2，1），cos=.故所求二面角F-BD-A的余弦值为.22.【答案】解：（1）令cn=an+1-an，cn0，则=2（an+an-1）-1，=2（an+1+an）-1，两式相减得，=2（an+1-an）+（an-an-1）=2（cn+cn-1），得cn-cn-1=2（n2）.故an+1-an是等差数列.（2）因为（a2-a1）2=2（a2+a1）-1，a1=1，且a2a1，所以a2=4，故c1=a2-a1=3，所以cn=c1+（n-1）2=2n+1，nN*，所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（a2-a1）+a1=（2n-1）+（2n-3）+3+1=n2.故bn=-，b1+b2+bn=+-.