1、2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法内 容 标 准学 科 素 养1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点；2.用综合法、分析法解决问题.加强数学运算严格逻辑推理提高直观想象01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 综合法预习教材P8586，思考并完成以下问题阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a，b0，求证：a(b2c2)b(c2a2)4abc.证明：因为b2c22bc，a0，所以a(b2c2)2abc.又因为c2a22ac，b0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4a
2、bc.提示：利用已知条件a0，b0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论 知识梳理(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学、等，经过一系列的，最后推导出所要证明的成立，这种证明方法叫做综合法(2)综合法的框图表示PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ(P表示、已有的、等，Q表示所要)定义公理定理推理论证结论已知条件定义公理定理证明的结论知识点二 分析法预习教材P8689，思考并完成以下问题阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知a，b0，求证：ab2 ab.证明：要证ab2 ab，只需证ab2 ab，只需证ab2 ab0，只需证(a b)20，因为(a b)20显然成立，所以原不等
3、式成立提示：从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件知识梳理(1)定义：从要证明的出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(、等)为止，这种证明方法叫做分析法(2)分析法的框图表示QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件结论充分条件已知条件定理定义公理思考：1.综合法有哪些特点？提示：(1)综合法是从原因推导出结果的思维方式，从“已知”“看”“可知”，逐步推出“未知”，其由因导果逐步推理的过程，实际上是寻找已知条件的必要条件(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理等，通过演绎推理，一步一
4、步完成命题的证明(3)用综合法证明题目，证明步骤严谨、逐层递进、步步为营、条理清晰、形式简洁、易于表达推理的思维过程2分析法的特点有哪些？提示：(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其推理过程是一步步寻求使结论成立的充分条件(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定理、定义、公理等3比较综合法与分析法，有哪些区别与联系？提示：综合法分析法推理方向顺推，由因导果递推，执果索因解题思路探路较难，易生枝节容易探路，利于思考(优点)表述形式形式简洁，条理清晰(优点)叙述烦琐，易出错思考的侧重点侧重于已知条件提供的信息侧重于结论提供的信息联系：分析法便
5、于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用自我检测1设0 x1，则a 2x，bx1，c 11x中最大的是()AaBbCcD随x取值不同而不同解析：0 x1，1x2 x 4x 2x，只需比较1x与 11x的大小1x 11x1x211x x21x0.1x 11x，故c最大答案：C2要证 2 3 6 7成立，只需证()A(2 3)2(6 7)2B(2 6)2(3 7)2C(2 7)2(3 6)2D(2 3 6)2(7)2解析：欲证 2 3 6 7，只需证 2 7 3 6，只需证
6、(2 7)2(36)2.答案：C3已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，且a2b2c2ab，则角C的值为_解析：cos Ca2b2c22ab ab2ab12.0C，C3.答案：3 探究一 综合法的应用例1 在ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：acos2C2cos2A232b.证明 因为a，b，c成等比数列，所以b2ac.因为左边a1cos C2c1cos A212(ac)12(acos Cccos A)12(ac)12aa2b2c22abcb2c2a22bc12(ac)12b acb2bb232b右边，所以acos2C2ccos2A232b.方法技巧 综合法证明问题的步骤跟
7、踪探究 1.已知数列an的前n项和为Sn，a11，an1n2n Sn(n1,2,3，)证明：(1)数列Snn 是等比数列；(2)Sn14an.证明：(1)当n2时，an1Sn1Sn，an1n2n Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，整理得nSn12(n1)Sn，Sn1n12Snn.又当n1时，S1a11，a2121 S13，故S2134，也满足 Sn1n12Snn.数列Snn 是以2为公比的等比数列(2)由(1)知 Sn1n14Sn1n1，且ann1n1Sn1(n2)，于是Sn14(n1)Sn1n14an(n2)又a11，S244a1，适合上式因此对于任意正整数n，都有Sn14an.探究二 分
8、析法的应用例2 当ab0时，求证：a2b2 22(ab)证明 要证a2b2 22(ab)，只需证a2b2 222 ab 2，即证a2b212(a2b22ab)，即证a2b22ab.因为a2b22ab对一切实数恒成立，所以 a2b2 22(ab)成立方法技巧 分析法证题的思路与步骤分析法证明命题“若A成立，则B成立”的思路与步骤是：要证明(或为了证明)B成立，只需证明A1成立(A1是B成立的充分条件)，只需证明A2成立(A2是A1成立的充分条件)，只需证明Ak成立(Ak是Ak1成立的充分条件)，只需证明A成立(A是Ak成立的充分条件)A成立，B成立说明：对于一些含有分式、根式、对数式、指数式的不
9、等式(或等式)的命题不便于用综合法证明时，常常考虑用分析法证明跟踪探究 2.求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大证明：设圆和正方形的周长为L，故圆的面积为 L22，正方形的面积为 L42，则本题即证L22L42.要证L2 2L42，即证L242L216，即证114，即证4，因为4显然成立，所以L22L42.故原命题成立探究三 分析法与综合法的综合运用例3 ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(ab)1(bc)13(abc)1.证明 要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证 1ab 1bc3abc，即证abcab abcbc 3，即
10、证 cab abc1.即证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即证c2a2acb2.因为ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，得b2c2a22cacos 60，即b2c2a2ac.所以c2a2acb2成立，命题得证延伸探究 本例改为求证：ab1ab c1c.证明：要证 ab1ab c1c，只需证ab(ab)c(1ab)c，即证abc.而abc显然成立，所以 ab1ab c1c.方法技巧 实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者综合使用分析法与综合法，即从“未知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已
11、知条件和结论的途径跟踪探究 3.已知sin cos 1，求证sin6cos61.证明：sin6cos6(sin2)3(cos2)3(sin2cos2)(sin4sin2cos2cos4)sin42sin2cos2cos43sin2cos2(sin2cos2)23sin2cos213sin2cos2.要证sin6cos61，只需证sin2cos20.将sin cos 1两边平方，得2sin cos 0，sin2cos20，sin6cos61.课后小结(1)综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因(2)分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”“只需证”“即证”等词语(3)在解题
12、时，往往把综合法和分析法结合起来使用素养培优分析法证明过程不规范致误用分析法证明：若a0，则 a2 1a22a1a 2.易错分析：从条件入手直接证明不等式较困难时，常用分析法寻求使结论成立的充分条件，但一定要注意对所要证明的结论是以“分析”的语气对待的因而证明格式上应体现出“分析”探讨性(“要证，只要证”)，而非直接肯定结论考查逻辑推理数学运算等核心素养自我纠正：证明：要证a2 1a22a1a 2，a0，两边均大于零，因此只需证 a2 1a22 2a1a 2 2，只需证a2 1a244a2 1a2a2 1a2222 2a1a只需证a2 1a2 22 a1a，只需证：a2 1a212a2 1a22，即证：a2 1a22.它显然成立原不等式成立.04 课时 跟踪训练