1、第四章测评(一)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021辽宁高三模拟)已知相关变量x和y的散点图如图所示,若用y=b1ln(k1x)与y=kx2+b2拟合时的相关系数分别为r1,r2,则比较r1,r2的大小结果为()A.r1r2B.r1=r2C.r16n2+B.20,P(B)0,若事件A,B相互独立,则A与B不互斥D.假如P(A)0,P(B)0,若事件A,B互斥,则A与B相互独立12.设随机变量X的分布列为X012Pab2b2其中ab0,则下列说法正确的是()A.a+b=1B.E(X)=26C.D(X)先增大后减小D
2、.D(X)有最小值三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021辽宁模拟)已知随机变量XN(,2),若P(X6),则=.14.(2021北京西城校级期中)甲、乙两人进行一对一投篮比赛.甲和乙每次投篮命中的概率分别是13,15,每人每次投篮互不影响.若某人某次投篮命中,则由他继续投篮,否则由对方接替投篮.已知两人共投篮3次,且第一次由甲开始投篮,则3次投篮的人依次为甲、乙、乙的概率是.15.(2021天津红桥校级期中)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中抽取一道题,抽出的题不再放回,在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为.16.(2021浙江模拟)随机
3、变量X的分布列如表:X-101Pabc其中2b=a+c,则P(|X|=1)=,方差D(X)的最大值是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021安徽月考)某市教育部门为了了解在校学生某学期体育课时间与期末体育测试成绩的关系,现随机抽取了8所学校进行调研,得到8所学校该学期学生体育课时间平均值x(单位:小时)以及期末体育得分平均值y(单位:分),数据如表:学校编号12345678学生体育时间平均值x10095938382757062学生体育成绩平均值y86.583.583.581.580.579.577.576.5(1)已知x与y之间具
4、有线性相关关系,求y关于x的回归直线方程;(2)下学期该市教育部门准备从8所学校中抽取2所学校进行体育观摩教学,求抽取的2所学校学生体育课时间平均值均超过80小时的概率.参考公式:b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=ybx;参考数据:i=18xiyi=53 844,i=1nxi2=55 656.18.(12分)某市某生物疫苗研究所对某病毒疫苗进行实验,并将某一型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床实验,得到如下22列联表:是否注射疫苗是否感染病毒总计未感染病毒感染病毒未注射疫苗20xA注射疫苗30yB总计5050100现从所有试验小白鼠中任取一只,取到“注射疫苗”小白鼠的概率
5、为25.(1)求22列联表中x,y,A,B的值;(2)是否有99.9%的把握认为注射此种疫苗对预防该病毒有效?附:2=n(ad-bc)2(a+b)(a+c)(c+d)(b+d),n=a+b+c+d.P(2k)0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82819.(12分)(2021福建三明高三模拟)为促进物资流通,改善出行条件,驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后,工作组为了解该快速道路的交通通行状况,调查了行经该道路的各种类别的机动车共1 000辆,对行车速度进行统计后,得到如图所示的频率分布直方图.(1)试
6、根据频率分布直方图,求样本中的这1 000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).(2)设该公路上机动车的行车速度vN(,2),其中,2分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差(经计算2=210.25).请估计该公路上10 000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位);现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆,设车速低于85千米/时的车辆数为X,求X的数学期望.附:若XN(,2),则P(-X+)0.683,P(-2X+2)0.954,P(-3X+3)0.997.20.(12分)“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏,其规则是:用三种不同的
7、手势分别表示石头、剪刀、布,两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏,“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”;双方出示的手势相同时,不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率;(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X,求X的分布列.21.(12分)(2021广西南宁三中高三模拟)中国茶文化博大精深,已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明,某种绿茶用85 的水泡制,再等到茶水温度降至60 时饮用,可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量,得到了下面表格中的数据(室温是20 )
8、.泡制时间x/min01234水温y/8579747165ln(y-20)4.24.14.03.93.8(1)小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图,并根据散点图分布情况,考虑到茶水温度降到室温(即20 )就不能再降的事实,决定选择函数模型y=kcx+20(x0)来刻画.令z=ln(y-20),求出z关于x的回归直线方程;利用的结论,求出y=kcx+20(x0,c0)中的k与c.(2)你认为该品种绿茶用85 的水大约泡制多久后饮用,可以产生最佳口感?参考数据:log0.90.64.8,e-0.10.9,e4.266.7,4006670.6;参考公式:b=i=1n(xi-x)(zi-z)i=1n
9、(xi-x)2,a=zbx.22.(12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p|r2|.又因为此x和y负相关,所以r17.879,所以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为是否喜欢乡村音乐与性别有关,即有99.5%的把握认为是否喜欢乡村音乐与性别有关.故选C.5.D6.B由题可得恰有1位患者被治愈的概率为C31341-342=964.故选B.7.B由已知得12+16+a=1,a=13,E(X
10、)=-12+13=-16.E(Y)=2E(X)+1,E(Y)=23.故选B.8.C(x+p)n=pn+Cn1pn-1x+Cn2pn-2x2+Cn3pn-3x3+Cnnxn,又(x+p)n=a0+12x+32x2+anxn,npn-1=12,n(n-1)2pn-2=32,若A成立,则np=3,np(1-p)=2,解得n=9,p=13,代入验证不成立,故A错误;若B成立,则np=4,np(1-p)=2,解得n=8,p=12,代入验证不成立,故B错误;若C成立,则np=2,np(1-p)=1,解得n=4,p=12,代入验证成立,故C正确;若D成立,则np=3,np(1-p)=1,解得n=92,p=2
11、3,不合题意,故D错误.故选C.9.ABD由22列联表可得n+1+28=46,得n+1=18.由n11+6=18,得n11=12.由15+n22=28,得n22=13,故n1+=12+15=27,n2+=6+13=19.所以n11n1+=1227=49,6n2+=619.因为49619,故选项A正确;由题可知2=46(1213-156)2271918280.7752.706,故没有90%的把握认为,在恶劣气候的飞行中,晕机与否跟男女的性别有关,故选项B,D正确,选项C错误.故选ABD.10.ACD由题意知随机变量X服从超几何分布,故B错误,C正确;P(X=1)=C41C63C104=821,所
12、以E(X)=4410=85,故A,D正确.故选ACD.11.AC对于A,对立事件一定是互斥事件,故A正确;对于B,若事件A,B相互独立,即事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,P(A+B)=P(A)+P(B)不一定正确,B错误;对于C,若事件A,B相互独立,即事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,事件A,B可能同时发生,则A与B不互斥,C正确;对于D,若事件A,B互斥,即事件A,B不会同时发生,则A与B不是相互独立事件,故D错误.故选AC.12.AC由题意可知a+b2+b2=1,即a+b=1,所以A正确;E(X)=0a+1b2+2b2=3b2,所以B不正确;D(X)=a0-3b22+b
13、21-3b22+b22-3b22=-94b2+52b,b(0,1),D(X)是二次函数,对称轴为直线b=59(0,1),所以D(X)先增大后减小,有最大值,无最小值,所以C正确,D不正确.故选AC.13.3随机变量XN(,2),得正态曲线的对称轴为x=.因为P(X6),所以=0+62=3.14.215两人共投篮3次,且第一次由甲开始投篮,3次投篮的人依次为甲、乙、乙的情况是第一次甲投篮不中,第二次乙投篮命中,则3次投篮的人依次为甲、乙、乙的概率为P=1-1315=215.15.125道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中抽取一道题,抽出的题不再放回,设事件A表示“第1次抽到代数题”,事件B
14、表示“第2次抽到几何题”,则P(A)=35,P(AB)=3524=310,所以在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12.16.2323由题意可得2b=a+c,又a+b+c=1,a,b,c0,1).解得b=13.所以P(|X|=1)=a+c=1-b=23.E(X)=-a+0b+1c=c-a=23-2a,令E(X)=m=23-2a,D(X)=(-1-m)2a+(0-m)213+(1-m)2c=m2+(2a-2c)m+a+c=23-2a2+4a-4323-2a+23=-4a2+8a3+29=-4a-132+2323,当且仅当a=c=13时
15、取等号.因此方差D(X)的最大值为23.17.解(1)由题意,x=80+20+15+13+3+2+(-5)+(-10)+(-18)8=1652,y=80+6.5+3.5+3.5+1.5+0.5+(-0.5)+(-2.5)+(-3.5)8=6498,b=i=18xiyi-8xyi=18xi2-8x2=53844-81652649855656-8(1652)2=0.25,所以a=ybx=6498141652=60.5,故回归直线方程为y=0.25x+60.5.(2)从8所学校中任选2所学校,抽取的2所学校学生体育课时间平均值均超过80小时的概率P(A)=C52C82=1028=514.18.解(1
16、)由题意知,22列联表中的数据B=25100=40,A=100-B=60,x=60-20=40,y=40-30=10.(2)计算2=100(2010-3040)250506040=50310.828,所以有99.9%的把握认为注射此种疫苗对预防该病毒有效.19.解(1)由图知v=(450.01+550.015+650.02+750.03+850.015+950.01)10=70.5千米/时.所以这1000辆机动车的平均车速为70.5千米/时.(2)由(1)及题设知vN(70.5,210.25),则=70.5,=14.5,P(v85)=P(v+)=1-P(-v+)20.1585,所以10000辆
17、机动车中车速不低于85千米/时的车辆数约为100000.1585=1585.由()知车速低于85千米/时的概率约为1-0.1585=0.8415,故XB(10,0.8415).所以E(X)=100.8415=8.415.20.解(1)用(石头,布)表示在1次游戏中玩家甲出石头,乙出布,则这个试验的样本空间可记为=(石头,石头),(石头,剪刀),(石头,布),(剪刀,石头),(剪刀,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),(布,剪刀),(布,布),共有9个样本点.记A:玩家甲胜玩家乙,则A=(石头,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),共有3个样本点.所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P(A)=13
18、.(2)X的可能取值分别为0,1,2,3,XB3,13,则P(X=0)=C30233=827,P(X=1)=C31131232=49,P(X=2)=C32132231=29,P(X=3)=C33133=127.X的分布列如下:X0123P827492912721.解(1)由已知得出x与z的关系,如下表,泡制时间x/min01234z4.24.14.03.93.8设回归直线方程为z=bx+a,由题意,得x=0+1+2+3+45=2,z=4.2+4.1+4.0+3.9+3.85=4,i=15(xi-x)(zi-z)=(-2)0.2+(-1)0.1+1(-0.1)+2(-0.2)=-1,i=15(x
19、i-x)2=(-2)2+(-1)2+12+22=10,则b=i=15(xi-x)(zi-z)i=15(xi-x)2=-110=-0.1,a=zbx=4+0.12=4.2,则z关于x的回归直线方程为z=-0.1x+4.2.由y=kcx+20(x0),得y-20=kcx(x0,c0),两边取对数得ln(y-20)=ln k+xln c,利用的结论得ln c=-0.1,ln k=4.2,所以c=e-0.10.9,k=e4.266.7.(2)由(1)得,y=66.70.9x+20(x0),令y=60,得xlog0.90.64.8.所以该品种绿茶用85 的水泡制4.8 min后饮用,口感最佳.22.解(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1-p)18.(2)由p=0.1.令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知YB(180,0.1),X=202+25Y,即X=40+25Y.所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)400,故应该对余下的产品作检验.
