1、四川省成都市第七中学2020届高三数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可以求出集合，然后进行交集的运算即可【详解】解：，故选：【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题2.已知为虚数单位，若复数,则（）A. 1B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用复数除法的运算法化简复数，再根据复数模的计算公式，求出，最后选出答案.【详解】因为，所以，故本题选D.【点睛】本题考查了复数的除法运算法则和复数求模公式，考查了数学运算能力.3.若，则下列不等式恒成立的是（ ）A
2、. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性以及特殊值法来判断各选项中不等式的正误.【详解】对于A选项，由于指数函数为增函数，且，A选项中的不等式不成立；对于B选项，由于对数函数在上单调递增，当时，B选项中的不等式不恒成立；对于C选项，由于幂函数在上单调递增，且，C选项中的不等式恒成立；对于D选项，取，则，但，D选项中的不等式不恒成立.故选C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，通常利用函数单调性、比较法、不等式的性质以及特殊值法来判断，考查推理能力，属于中等题.4.已知点，则向量在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先
3、求出，的坐标，再根据投影公式：向量在方向上的投影为即可求得。【详解】因为，所以向量在方向上的投影为.【点睛】本题考查向量在向量方向上的投影公式：，是基础题。5.成都七中星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：558：35，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：559：35之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出该同学在之间随机到达教室的区间长度，以及他听第二节课的时间不少于20分钟时随机到达教室的区间长度，即可求出概率值【详解】解：该同学在之间随机到达教室，区间长度
4、为40；他听第二节课的时间不少于20分钟，应在之间随机到达教室，区间长度为10，所以他在之间随机到达教室，听第二节课的时间不少于20分钟的概率是故选：【点睛】本题主要考查了几何概型中的长度类型问题，属于基础题6.已知数列an的前n项和为Sn，则“an是等差数列”是“是等差数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的定义证明求解.【详解】首先证“充分条件”：因为an是等差数列，所以 所以，所以常数，所以是等差数列证“必要条件”因为是等差数列，所以设数列的公差为，则所以当时，所以当时满足.所以常数，所以an是等
5、差数列.故选C.【点睛】本题考查等差数列的证明和充要条件的判断，属于中档题.7.已知，是奇函数，直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）A. 在上单调递减B. 在上单调递减C. 在上单调递增D. 在上单调递减增【答案】A【解析】分析】根据函数是奇函数，得又由图像的两个相邻交点的横坐标之差得周期，从而可求出函数的解析式，进而求解.【详解】因为是奇函数，所以 所以；又由已知得 所以 所以由函数的解析式可知在上单调递减故选A.【点睛】本题考查三角函数周期性和奇偶性，属于基础题.8.已知等比数列的各项均为正数，且，成等差数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分
6、析】易得，于是根据已知条件求等比数列的公比即可.【详解】设公比为.由，成等差数列，可得，所以，则，解(舍去)或.所以.故选A.【点睛】本题考查等比数列、等差数列的基本问题.在等比数列和等差数列中，首项和公比(公差)是最基本的两个量，一般需要设出并求解.9.椭圆与双曲线焦点相同，当这两条曲线的离心率之积为1时，双曲线的渐近线斜率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，离心率，得到双曲线的离心率，焦点坐标，然后求解双曲线的渐近线斜率【详解】解：在椭圆，焦点坐标为，因为椭圆与双曲线焦点相同，则双曲线的焦点坐标为，即双曲线的，又因为这两条曲线的离心率之积为1，所以
7、双曲线的离心率为：，解得，则所以双曲线方程为则双曲线的渐近线为，斜率为故选：【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的综合应用，属于基础题10.当时，函数的最大值与最小值之和是（ ）A. 10B. 8C. 7D. 6【答案】D【解析】【分析】构造新函数，说明它是奇函数，利用奇函数性质可求解【详解】设，是奇函数，又，故选：D.【点睛】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题关键是构造新函数为奇函数，利用奇函数的对称性求解11.在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得出，再由，可得出，由三点共线得出，将代
8、数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】如下图所示：，即，、三点共线，则.，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.12.函数是定义在上的偶函数，周期是4，当时，.则方程的根的个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由偶函数得出函数上的解析式，结合周期作出函数的图象，再作函数图象，观察这两个函数图象公共点，由时，而，因此在无交点，是它们的一个交点，注意在点前面还有一交点（可从导数即切线斜率说明）
9、然后才可得结论【详解】方程的根的个数就是函数和图象的交点的个数由于是偶函数，因此由题意知时，作出函数的图象，再作出的图象，它们在上有3个交点，由时，而，因此在无交点，是一个交点，在点处时，的切线为，因此在处的切线与的图象有相交（有两个公共点），从而与的图象有两个交点所以函数和图象有5个交点即方程有5个根故选：C【点睛】本题考查函数零点与方程根的个数问题，解题方法是转化为函数图象交点个数，由数形结合思想求解二、填空题13.命题“”的否定是_.【答案】【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：“”的否定是：，故答案为：，【点睛】本题
10、考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查，属于基础题14.2019年10月1日，我国在天安门广场举行盛大的建国70周年阅兵典礼.能被邀请到现场观礼是无比的荣耀.假设如图，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为和，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为_米.【答案】30【解析】【分析】在中由正弦定理求得，然后在直角中求得旗杆的长【详解】由题意，所以，在中，由得，在中，故答案为：30【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握仰角和坡度的概念15.在棱长为1的正方体中，平面与正方体每条棱所成的角均相等
11、，则平面截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大值为_.【答案】【解析】【分析】利用正方体棱的关系，判断平面所成的角都相等的位置，然后求解截此正方体所得截面三角形面积的最大值【详解】解：正方体的所有棱中，实际上是组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，如图所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面时，满足平面与正方体每条棱所成的角均相等，并且如图所示的正三角形为平面截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大者因为正三角形的边长为，所以最大截面为故答案：【点睛】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题16.已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，给出
12、命题：；若，则存在，使得；若有两个极值点，则；若，且是曲线,的一条切线，则的取值范围是；则以上命题正确序号是_.【答案】【解析】【分析】由函数有极值，求得的范围，同时有导函数的极值点是的零点求得的关系，判断四个命题的真假，其中由刚才的关系式就可判断，用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可得，可举反例说明，用已知得出在单调性，化简函数，利用导数的几何意义求出的表达式，从而求得其取值范围【详解】由题意，即设，则，由得，由是一次函数知是的极值点（本题是极小值点），即为的极值点，所以，即，正确；显然时，设的两解为，即为的两个极值点，则，中有一个小于1，一个大于1，不妨设，是极大值，而，若，则，在上
13、在一个零点，当时，在上单调递增，因此在上有零点所以且正确；若，则极值为0和2，错误；由，知中，因此在上递增，设切点为，则，即，整理得，因为，所以，又，解得，由上知是增函数，所以当时，正确故答案为：【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与极值考查导数的几何意义，在求函数图象外一点的切线方程时一般设切点坐标，由导数几何意义得切线方程，再代入点的坐标求出切点坐标从而得切线方程本题难度较在，属于困难题三、解答题17.已知函数.（1）用“五点作图法”作出在一个周期内图像；（2）在中，若函数在角处取得最大值，且，求周长的最大值.【答案】（1）作图见解析（2）【解析】【分析】（1）化简求出函数的解析式，列表
14、描点即可用“五点作图法”画出函数在一个周期内的图象；（2）由题意求出角的值，再求周长的最大值【详解】解：（1）列表，描点如图所示：0010100（2）当时，取得最大值，此时， .由余弦定理可知：，又，.由基本不等式.，当且仅当时取等号.当，即为正三角形时，周长的最大值为.【点睛】本题主要考查了五点法作函数的图象，解三角形的问题，属于基础题18.如图，是由矩形，和组成的一个平面图形，其中，.将其沿，折起使得，重合，连结如图.（1）证明：平面平面；（2）求直线与直线所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）在折叠过程中，保持不变，因此有平面.中得线线垂直，再由矩形得一个垂
15、直，从而有线面垂直，得面面垂直；（2）连接，交于点.取的中点，连接，则直线和直线所成的角为.【详解】（1）证明：由翻折前后的不变关系可知，则平面.，又，平面.又平面，平面平面.（2）连接，交于点.取的中点，连接，所以，则直线和直线所成的角为.，.所以直线和直线所成的角的余弦值为.【点睛】本题考查证明面面垂直，考查求异面直线所成的角掌握面面垂直的判定定理是解题基础掌握线面垂直与线线垂直的相互转化是解题关键求异面直线所成角关键是作出这个角，然后解三角形即可19.2019年电商“双十一”大战即将开始.某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双十一”的先机，对成都地区年龄在15到75岁的人群“是否网上购物”
16、的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：（年龄单位：岁）年龄段频率0.10.320.280.220.050.03购物人数828241221（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？年龄低于45岁年龄不低于45岁总计使用网上购物不使用网上购物总计（2）若从年龄在的样本中随机选取2人进行座谈，求选中的2人中恰好有1人“使用网上购物”的概率.参考数据：0.0250.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828参考公式：.【答案】（1）列联表
17、见解析，可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用网上购物”与年龄有关（2）【解析】【分析】（1）由已知表格可得列联表中需要的数据，根据公式计算可得结论；（2）5人中有2人参与网购，求出任选2人的方法总数及所求事件的方法数后可得概率【详解】解：（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人，可得列联表如下：年龄低于45岁年龄不低于45岁总计使用网上购物601575不使用网上购物101525总计7030100于是有的观测值.故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用网上购物”与年龄有关.（2）由题意可知，基本事件的总数为10.记事件为：选中的2人中恰好
18、有1人“使用网上购物”.所包含的基本事件的总数为6.【点睛】本题考查频率分布表，独立性检验，考查古典概型，考查学生的运算求解能力和数据处理能力，属于中档题20.已知抛物线：过点，直线经过抛物线的焦点与抛物线交于，两点.（1）若直线的方程为，求的值；（2）若直线，的斜率为，且，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入点坐标求出焦参数，由抛物线方程与直线方程联立方程组，消元得一元二次方程，用韦达定理得，由焦点弦长公式（可焦半径公式）可得弦长；（2）设直线方程为，同（1）求得，计算，并代入刚刚求得的，可求得，得直线方程【详解】解：（1）将点代入抛物线方程，可得，则抛物线方程为.设
19、，联立，可得.，则.（2）由题意知直线的斜率存在且不为0.设直线方程为，联立，可得，显然，从而，.，.直线的方程为.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的焦点弦性质，解题方法是设而不求的思想方法这是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法21.已知函数，其中为正实数，为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使得对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，使得成立？若存在，求出正实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）函数的单调递增区间为与，单调递减区间为与；（2）存在，.【解析】【分析】（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；（2）由（1）求出的图象与
20、在区间上至少有两个交点的的取值范围，函数的值域就是这个范围的子集由此可得【详解】解：（1），.当，即时，或，当，即时，或.函数的单调递增区间为与，单调递减区间为与.（2）由（1）可知，函数有两个极小值，存在一个极大值大致作出函数图像（只反映单调性）可知：对于函数，假设存在满足题意的实数.当时，由，得.由题意，解得.所以，实数的取值范围是.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查方程根与函数零点分布问题，解决这类问题的方法是数形结合思想作出函数大致图象，利用函数图象交点个数确定范围22.在直角坐标系中，曲线的方程为，直线恒过定点，倾斜角为.（1）求曲线和直线的参数方程；（2）当时，若直线交椭
21、圆于两点，求的值.【答案】（1）曲线的参数方程是（为参数），直线的参数方程是，（为参数）（2）【解析】【分析】（1）根据参数方程的求法即可求出，（2）求出直线的参数方程，代入到椭圆方程，参数的几何意义可得【详解】解：（1）曲线的参数方程是（为参数），直线的参数方程是，（为参数）.（2）当时，直线的参数方程为，（为参数），将其代入椭圆方程：化简得，由题意知恒成立，.由参数的几何意义得.【点睛】本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，属于中档题23.已知函数.（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求不等式的解集.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）不等式对恒成立（2）不等式，即分当时，；当时，；当时，即可【详解】解：（1）恒成立，即，由几何意义可知，可得或.（2）不等式为，即，时，不等式为，解得，所以；当时，不等式为，恒成立，所以；当时，不等式为，解得，所以；综上所述，当时，原不等式的解集为.【点睛】本题考查了解绝对值不等式、恒成立问题、不等式性质，属于中档题