1、2016 年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10 分为一个档次，不要增加其他中间档次.一、（本题满分 40 分）设实数122016,aaa满足21911(1,2,2015)iiaai+=求222212232015201620161()()()()aaaaaaaa的最大值 解 令222212232015201620161()()()()Paaaaaaaa=由已知得，对1,2,2015i=，均有2221111109iii
2、iaaaa+若2201610aa，则0S 10 分 以下考虑2201610aa的情况约定20171aa=由平均不等式得 12016201620162220161111111()20162016iiiiiiiPaaaa+=201620162016211111(1)20162016iiiiiiiaaaa=20 分 2201611(1)111201620162201644iiiaa=+=，所以 201614P 30 分 当12201612aaa=时，上 述 不 等 式 等 号 成 立，且 有21911iiaa+(1,2,2015)i=，此时201614P=综上所述，所求最大值为201614 40 分
3、 二、（本题满分 40 分）如图所示，在 ABC 中，,X Y 是直线 BC 上两点（,X B C Y 顺次排列），使得 BX ACCY AB 设 ACX，ABY 的外心分别为12,O O，直线12O O 与,AB AC 分别交于点,U V 证明：AUV 是等腰三角形 VUO2O1YBCAX证法一 作BAC的内角平分线交 BC 于点 P.设三角形 ACX 和 ABY 的外接圆分别为1 和2.由内角平分线的性质知，BPABCPAC=.由条件可得 BXABCYAC=.从而 PXBXBPABBPPYCYCPACCP+=+，即CP PXBP PY=20 分 故 P 对圆1 和2 的幂相等，所以 P 在
4、1 和2 的根轴上 30 分 于是12APO O，这表明点,U V 关于直线 AP 对称，从而三角形 AUV 是等腰三角形.40 分 证法二 设 ABC 的外心为O，连接12,OO OO 过点12,O O O 分别作直线 BC的垂线，垂足分别为12,D DD 作1O KOD于点 K 我们证明12OOOO在直角三角形1OKO 中，111sinO KOOO OK 由外心的性质，1OOAC又ODBC，故1O OKACB 而1,D D 分别是,BC CX 的中点，所以11111222DDCDCDCXBCBX 因此 111112sinsin2BXO KDDBXOORABO OKACBABR，这里 R 是
5、 ABC 的外接圆半径同理2CYOOR AC 10 分 由已知条件可得 BXCYABAC，故12OOOO 20 分 由于1OOAC，所以1290AVUOO O同理2190AUVOO O 30 分 又因为12OOOO，故1221OO OOO O，从而AUVAVU 这样 AUAV，即 AUV 是等腰三角形 40 分 KD2DD1OVUO2O1YBCAXPVUO2O1YACBX三、（本题满分 50 分）给定空间中 10 个点,其中任意四点不在一个平面上将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值 解 以这 10 个点为顶点,所连线段为边,得到一个 10
6、 阶简单图G.我们证明G 的边数不超过 15 设 G 的顶点为1210,v vv，共有 k 条边，用 deg()iv表示顶点iv 的度.若deg()3iv对1,2,10i=都成立，则 10111deg()10 31522iikv=假设存在iv 满足 deg()4iv不妨设1deg()4vn=，且1v 与21,nvv+均相邻于是21,nvv+之间没有边，否则就形成三角形所以，121,nv vv+之间恰有n 条边 10 分 对每个 j（210nj+），jv 至多与231,nv vv+中的一个顶点相邻（否则设jv 与(),21stv vstn数列 na定义为12a=,11nnnpaaan=+,2,3
7、,n=这里 x 表示不小于实数 x 的最小整数 证明：对3,4,1np=均有11nn pa +成立 证明 首先注意，na是整数数列 对n 用数学归纳法当3n=时，由条件知22ap=+，故()2211pap+=+因p 与2p+均是素数，且3p，故必须31p+因此231pa+，即3n=时结论成立 对31np，设对3,1kn=成立11kk pa +，此时111kkpapakk+=，故 22122111111kkkkkpapapap ap akk+=+=+()()2111kpapkk+=10 分 故对31np，有()()123112111112nnnpnpnpnpapapannn+=+=+()21231123pnpnppann+=+，20 分 因此 ()()()12112nnp nn ppaCpnp+=+由此知（注意np nC+是整数）()()()121nnpnppa+40 分 因 np，p 素数，故()(),1n npn p+=，又2p+是大于 n 的素数，故(),21n p+=，从而n 与()()2pnp+互素，故由知 11nn pa +由数学归纳法知，本题得证 50 分