1、第三节分式考 点 帮易错自纠易错点1对未知数取值时忽略分式有意义的条件1.能使分式|x|-1x2-2x+1的值为零的x的值是( B )A.1B.-1C.1或-1D.2或1易错点2混淆分式的化简与解分式方程2.化简4x-2+x+22-x+2的结果是( D )A.x-2B.2-xC.-1D.1易错点3忽略分数线的“除号”“括号”双重作用3.有以下分式化简过程:以上过程第2步开始出错,出错原因是同分母分式相减时,分子未整体加括号,正确结果应为7-2x2x-2.真 题 帮【考法速览】考法1分式的化简及求值(10年3考)考法2数式规律探究(10年3考)考法1分式的化简及求值1.2012安徽,6化简x2x
2、-1+x1-x的结果是( D )A.x+1B.x-1C.-xD.x2.2015安徽,15先化简,再求值:(a2a-1+11-a)1a,其中a=-12.解:原式=(a2a-1-1a-1)1a=a2-1a-11a=(a+1)(a-1)a-11a=a+1a.当a=-12时,原式=-12+1-12=-1.考法2数式规律探究3.2020安徽,17观察以下等式:第1个等式:13(1+21)=2-11;第2个等式:34(1+22)=2-12;第3个等式:55(1+23)=2-13;第4个等式:76(1+24)=2-14;第5个等式:97(1+25)=2-15;按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式
3、:118(1+26)=2-16;(2)写出你猜想的第n个等式:2n-1n+2(1+2n)=2-1n(用含n的等式表示),并证明.(2)2n-1n+2(1+2n)=2-1n证明:因为左边=2n-1n+2(1+2n)=2n-1n+2n+2n=2n-1n=2-1n=右边,所以等式成立.作 业 帮基础分点练(建议用时:40分钟)考点1分式有意义及其值为0的条件1.2020湖南衡阳要使分式1x-1有意义,则x的取值范围是( B )A.x1B.x1C.x=1D.x02.2020四川雅安分式 x2-1x+1的值是0,则x的值是( A )A.1 B.-1 C.1 D.03.2020湖南郴州若分式1x+1的值不
4、存在,则x=-1. 考点2分式的基本性质4.2019江苏扬州分式13-x可变形为( D )A.13+xB.-13+xC.1x-3D.-1x-35.2020马鞍山模拟若把分式x-y3xy中的x和y都扩大为原来的3倍,那么分式的值( C )A.变为原来的3倍B.不变C.变为原来的13D.变为原来的19考点3分式的化简及求值6.2020河北若ab,则下列分式化简正确的是( D )A.a+2b+2=abB.a-2b-2=abC.a2b2=abD.12a12b=ab7.2020山东淄博化简a2+b2a-b+2abb-a的结果是( B )A.a+bB.a-bC.(a+b)2a-bD.(a-b)2a+b8.
5、2020山东威海分式2a+2a2-1-a+11-a化简后的结果为( B )A.a+1a-1B.a+3a-1C.-aa-1D.-a2+3a2-19.2020浙江湖州化简:x+1x2+2x+1=1x+1.10.2020湖北武汉计算2m+n-m-3nm2-n2的结果是1m-n.11.2020山东聊城计算:(1+a1-a)1a2-a=-a.12.2020四川南充若x2+3x=-1,则x-1x+1=-2.13.2020江苏徐州计算:(1-1a)a2-2a+12a-2.解:原式=a-1a2(a-1)(a-1)2=2a.14.2020重庆A卷计算(1-mm+3)m2-9m2+6m+9.解:原式=(m+3m+
6、3-mm+3)(m+3)2(m+3)(m-3)=3m+3m+3m-3=3m-3.15.2020湖南长沙先化简再求值:x+2x2-6x+9x2-9x+2-xx-3,其中x=4.解:原式=x+2(x-3)2(x-3)(x+3)x+2-xx-3=x+3x-3-xx-3=3x-3.当x=4时,原式=34-3=3.16.2020四川雅安先化简(x2x+1-x+1)x2-1x2+2x+1,再从-1,0,1中选择合适的x值代入求值.解:原式= x2x+1-x(x+1)x+1+x+1x+1(x+1)2(x+1)(x-1)=1x+1x+1x-1=1x-1.x-10,x+10,x1.当x=0时,原式=-1.17.
7、2020湖北荆州先化简,再求值:(1-1a)a2-1a2+2a+1,其中a是不等式组a-22-a,2a-1a+3的最小整数解.解:原式=a-1a(a+1)2(a+1)(a-1)=a+1a.解不等式得,a2,解不等式得,a4,不等式组的解集为2a4.a是不等式组的最小整数解,a的值为2,原式=2+12=32.18.2020山东滨州先化简,再求值:1-y-xx+2yx2-y2x2+4xy+4y2,其中x=cos 3012,y=(-3)0-(13)-1.解:原式=1+x-yx+2y(x+y)(x-y)(x+2y)2=1+x-yx+2y(x+2y)2(x+y)(x-y)=1+x+2yx+y=2x+3y
8、x+y.x=cos 3012=3223=3,y=(-3)0-(13)-1=1-3=-2,所以,原式=23+3(-2)3+(-2)=0.考点4数式规律19.2020芜湖模拟观察以下等式:第1个等式:11-112+12=1;第2个等式:12-123+23=1;第3个等式:13-134+34=1;第4个等式:14-145+45=1;按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第5个等式:15-156+56=1;(2)写出你猜想的第n(n为正整数)个等式(用含n的等式表示),并证明.(2)第n个等式为1n-1n(n+1)+nn+1=1.证明:左边=n+1n(n+1)-1n(n+1)+n2n(n+1)=n+1
9、-1+n2n(n+1)=n(n+1)n(n+1)=1=右边.等式成立.20.2019合肥庐阳区模拟观察下列不等式:122112;132123;142134;(1)第5个不等式为162156;(2)写出你猜想的第n个不等式:1(n+1)21n(n+1);(用含n的不等式表示)(3)利用上面的猜想,比较n+2(n+1)2和1n的大小,并说明理由.(3)n+2(n+1)21n.理由:方法一:1n(n+1)=(n+1)-nn(n+1)=1n-1n+1,1(n+1)21n(n+1)=1n-1n+1,1(n+1)2+1n+11n,n+2(n+1)21n.方法二:n+2(n+1)2=n+1+1(n+1)2=
10、n+1(n+1)2+1(n+1)2=1n+1+1(n+1)21n+1+1n(n+1)=n+1n(n+1)=1n,n+2(n+1)21n.全国视野创新练新设问2020山西下面是小彬同学进行分式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.x2-9x2+6x+9-2x+12x+6=(x+3)(x-3)(x+3)2-2x+12(x+3)第一步=x-3x+3-2x+12(x+3)第二步=2(x-3)2(x+3)-2x+12(x+3)第三步=2x-6-(2x+1)2(x+3)第四步=2x-6-2x+12(x+3)第五步=-52x+6 .第六步任务一:填空:以上化简步骤中,第三步是进行分式的通分,通分的依据是分式
11、的基本性质(或分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变);第五步开始出现错误,这一步错误的原因是括号前是“-”号,去掉括号后,括号里的第二项没有变号.任务二:请直接写出该分式化简后的正确结果.任务三:除纠正上述错误外,请你根据平时的学习经验,就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.任务二:-72x+6.任务三:最后结果应化为最简分式或整式;约分、通分时,应根据分式的基本性质进行变形;分式化简不能与解分式方程混淆.(答案不唯一,写出一条即可)参考答案【易错自纠】1.B|x|-1x2-2x+1=0,即|x|-1(x-1)2=0,令|x|-1=0,解得x=1.又x1,
12、x=-1.2.D原式=4x-2-x+2x-2+2(x-2)x-2=4-x-2+2x-4x-2=x-2x-2=1.3.2同分母分式相减时,分子未整体加括号7-2x2x-21.D原式=x2-xx-1=x(x-1)x-1=x.2.略3.略基础分点练1.B根据分式有意义的条件可知x-10,所以x1,故选B.2.A由题意可知x2-1=0且x+10,x=1.故选A.3.-14.D分式的分母整体提取负号,则分母的每一项都要变号.故选D.5.C将原式的x和y都扩大为原来的3倍,得3x-3y33x3y=3(x-y)27xy=x-y9xy=13x-y3xy.故选C.6.D根据分式的基本性质“分式的分子与分母乘(或
13、除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变”,可知选项D中的化简正确.7.B原式=a2+b2a-b-2aba-b=a2+b2-2aba-b=(a-b)2a-b=a-b.8.B方法一:原式=2(a+1)(a+1)(a-1)+a+1a-1=2a-1+a+1a-1=a+3a-1.方法二:原式=2a+2a2-1+a+1a-1=2a+2a2-1+(a+1)2a2-1=2a+2+a2+2a+1a2-1=a2+4a+3a2-1=(a+3)(a+1)(a+1)(a-1)=a+3a-1.9.1x+110.1m-n原式=2(m-n)(m+n)(m-n)-m-3n(m+n)(m-n)=2m-2n-m+3n(m+n)(m-n)=m+n(m+n)(m-n)=1m-n.11.-a方法一:原式=1-a+a1-aa(a-1)=1-(a-1)a(a-1)=-a.方法二:原式=(1-aa-1)(a2-a)=a2-a-aa-1a(a-1)=a2-a-a2=-a.12.-2x-1x+1=x2+xx+1-1x+1=x2+x-1x+1.x2+3x=-1,x2+x=-2x-1,x-1x+1=-2x-1-1x+1=-2(x+1)x+1=-2.1320.略全国视野创新练略