1、第2讲两直线的位置关系最新考纲1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知 识 梳 理1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.两直线相交直线l1：A1xB1yC10和l2：A2x
2、B2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解.3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|.特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1
3、l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()(4)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()解析(1)两直线l1，l2有可能重合.(2)如果l1l2，若l1的斜率k10，则l2的斜率不存在.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(2016北京卷)圆(x1)2y22的圆心到直线yx3的距离为()A.1 B.2C. D.2解析圆(x1)2y
4、22的圆心坐标为(1，0)，由yx3得xy30，则圆心到直线的距离d.答案C3.(2017金华四校联考)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m()A.2 B.3C.2或3 D.2或3解析直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3.故选C.答案C4.直线2x2y10，xy20之间的距离是_.解析先将2x2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d.答案5.(必修2P89练习2改编)已知P(2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_.解析由题意知 1，所以m42m，所以m1.答案16.(2017浙江五校联考)已知动点P的坐标为(x，1x)，xR，则动
5、点P的轨迹方程为_，它到原点距离的最小值为_.解析设点P的坐标为(x，y)，则y1x，即动点P的轨迹方程为xy10；原点到直线xy10的距离为d，即为所求原点到动点P的轨迹的最小值.答案xy10考点一两直线的平行与垂直【例1】 (1)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a等于()A.1 B.2 C.0或2 D.1或2(2)已知两直线方程分别为l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，则a_.解析(1)若a0，两直线方程分别为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0；当a0时，两直线平行，则有，解得a1或2.(2)因为l1l2，所以k1k21.即(1)1，解
6、得a2.答案(1)D(2)2规律方法(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训练1】 (1)(2017重庆一中检测)若直线l1：(a1)xy10和直线l2：3xay20垂直，则实数a的值为()A. B. C. D.(2)(2017诸暨模拟)已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50平行，则2a3b的最小值为_.解析(1)由已知得3(a1)a0，解得a.(2)由两直线平
7、行可得，a(b3)2b，即2b3aab，1.又a，b为正数，所以2a3b(2a3b)1313225，当且仅当ab5时取等号，故2a3b的最小值为25.答案(1)D(2)25考点二两直线的交点与距离问题【例2】 (1)已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_.(2)直线l过点P(1，2)且到点A(2，3)和点B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_.解析(1)法一由方程组解得(若2k10，即k，则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.法二如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2).而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x
8、2)，表示这是一条过定点P(2，1)，斜率为k的动直线.两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.kPA，kPB.k.(2)法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意.法二当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1，4).直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.答案(1)(2)x3y50或x1规律方
9、法(1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为对应相等.【训练2】 (1)曲线y2xx3在横坐标为1的点处的切线为l，则点P(3，2)到直线l的距离为()A. B. C. D.(2)(2017衢州模拟)若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为()A. B. C. D.解析(1)曲线y2xx3上横坐标为1的点的纵坐标为1，故
10、切点坐标为(1，1).切线斜率为ky|x123(1)21，故切线l的方程为y(1)1x(1)，整理得xy20.由点到直线的距离公式，得点P(3，2)到直线l的距离为.(2)因为l1l2，所以，所以解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1与l2之间的距离d，故选B.答案(1)A(2)B考点三对称问题【例3】 已知直线l：2x3y10，点A(1，2).求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程.解(1)设A(x，y)，再由已知解得A.(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，
11、0)关于直线l的对称点必在m上.设对称点为M(a，b)，则解得M.设m与l的交点为N，则由得N(4，3).又m经过点N(4，3)，由两点式得直线方程为9x46y1020.(3)法一在l：2x3y10上任取两点，如M(1，1)，N(4，3)，则M，N关于点A的对称点M，N均在直线l上.易知M(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l的方程为2x3y90.法二设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.规律方法(1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l
12、上，直线l与直线MN垂直.(2)如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B在直线l2上.【训练3】 光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程.解法一由得反射点M的坐标为(1，2).又取直线x2y50上一点P(5，0)，设P关于直线l的对称点P(x0，y0)，由PPl可知，kPP.而PP的中点Q的坐标为，又Q点在l上，3270.由得根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x2y
13、330.法二设直线x2y50上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P(x，y)，则，又PP的中点Q在l上，3270，由可得P点的横、纵坐标分别为x0，y0，代入方程x2y50中，化简得29x2y330，所求反射光线所在的直线方程为29x2y330.思想方法1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题.易错防范1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式.