1、三角函数的图象、性质及应用专题检测1.(2017陕西师大附中二模)函数f(x)=sin(2x+)+3cos(2x+)是偶函数的充要条件是()A.=k+6,kZB.=2k+6,kZC.=k+3,kZD.=2k+3,kZ答案A函数f(x)=sin(2x+)+3cos(2x+)=2cos2x+-6是偶函数,-6=k,kZ,即=k+6,kZ.故选A.2.(2019河北衡水中学3月全国大联考,9)将曲线C1:y=2cos2x-6上的点向右平移6个单位长度,再将各点横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到曲线C2,则C2的方程为()A.y=2sin4xB.y=2sin4x-3C.y=2sinxD.y=2s
2、inx-3答案A将曲线C1:y=2cos2x-6上的点向右平移6个单位长度,可得y=2sin2x的图象,再将各点横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,可得曲线C2:y=2sin4x,故选A.3.(2019贵州贵阳第一次适应性考试,8)已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的部分图象如图所示,点0,-32,3,0,73,0在图象上,若x1,x23,73,x1x2,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=()A.3B.32C.0D.-32答案D由图可知函数y=f(x)的周期为T=273-3=4,所以=12,又点3,0,0,-32在函数y=f(x)图象上,所以Asin6+=0,Asin
3、=-32,且|0,函数f(x)=cosx-6在2,上单调递减,则的取值范围是()A.12,54B.13,76C.0,16D.16,136答案B本题考查了余弦型函数的单调区间,余弦型函数的周期.令2kx-62k+(kZ),得2k+6x2k+76(kZ),因为函数f(x)在2,上单调递减,所以2k+62,2k+76,其中kZ,解得4k+132k+76(kZ).又因为函数f(x)在2,上单调递减,所以T2,又0,所以k=0,故有1376.故选B.方法总结对于函数f(x)=Asin(x+)(或f(x)=Acos(x+)(0),如果它在区间(a,b)上单调,那么基本的处理方法是先求出f(x)单调区间的一
4、般形式,利用(a,b)是单调区间的子集得到满足的不等式组,利用0和不等式组有解确定整数k的值即可.5.(2018河南六市第一次联考,5)已知函数f(x)=2sinx+6(0)的图象与函数g(x)=cos(2x+)|0)的图象与函数g(x)=cos(2x+)|2的图象的对称中心完全相同,所以=2,=6-2+k(kZ),即=-3+k(kZ),|0,0,|2的图象.已知函数g(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的()A.最小正周期为23,最大值为2B.最小正周期为,图象关于点6,0中心对称C.最小正周期为23,图象关于直线x=6对称D.最小正周期为,在区间6,3上单调递减答案D对于g(x),由题
5、图可知,A=2,T=429-18=23,=2T=3.则g(x)=2sin(3x+),又由g29=2可得=-6+2k,kZ,而|0),当|f(m)-f(n)|=4时,|m-n|的最小值为3,若将函数f(x)的图象向右平移(0)个单位长度后所得函数图象关于y轴对称,则的最小值为.答案29解析函数f(x)=3sinx+cosx=2sinx+6(0),当|f(m)-f(n)|=4时,|m-n|的最小值为3=122,=3,故f(x)=2sin3x+6.将函数f(x)的图象向右平移(0)个单位长度后,得到y=2sin3x-3+6的图象.根据所得函数图象关于y轴对称,可得-3+6=k+2,kZ,即=-k3-
6、9,kZ,令k=-1,可得的最小值为29.9.(2019海南文昌中学三模,16)若函数f(x)=sinx+6(01)在区间(,2)内有最值,则的取值范围为.答案16,1323,1解析若函数f(x)有最值,则x+6=k+2,kZ,即x=k+3,即x=1k+3,kZ,f(x)在区间(,2)内有最值,1k+32,即11k+132,即k+132,则k2+16,kZ,由k+130得k-13,当k=0时,1613,当k=1时,2343,01,231,综上所述,1613或230,2-32,解得0512.故的最大值为512.(13分)12.(2019北京东城一模文,15)已知函数f(x)=4cosxsinx-
7、6+1.(1)求f23的值;(2)求f(x)的最小正周期,并画出f(x)在区间0,上的图象.解析(1)f23=4cos23sin23-6+1=4cos23sin2+1=4-121+1=-1.(3分)(2)f(x)=4cosxsinx-6+1=4cosxsinxcos6-cosxsin6+1=4cosx32sinx-12cosx+1=23sinxcosx-2cos2x+1=3sin2x-cos2x=232sin2x-12cos2x=2sin2x-6.(9分)所以f(x)的最小正周期T=22=.(10分)因为x0,所以2x-6-6,116.列表如下:2x-6-60232116x012371256f
8、(x)-1020-2-113.(2019四川绵阳一诊,18)已知函数f(x)=3sin2x-3+4cos2x,将函数f(x)的图象向右平移6个单位,再向下平移2个单位,得到函数g(x)的图象.(1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)在6,23上的单调递减区间及值域.解析(1)f(x)=3sin2x-3+4cos2x=3sin2xcos3-cos2xsin3+2(1+cos2x)=32sin2x-32cos2x+2cos2x+2=32sin2x+12cos2x+2=sin2x+6+2.由题意得g(x)=sin2x-6+6+2-2,化简得g(x)=sin2x-6.(2)由6x23,可得62x-676.当22x-676即3x23时,函数g(x)单调递减.g(x)在6,23上的单调递减区间为3,23.g(x)在6,3上单调递增,在3,23上单调递减,g(x)max=g3=sin2=1.又g23=sin76=sin+6=-sin6=-12g6=sin6=12,-12g(x)1,即g(x)在6,23上的值域为-12,1.