1、专题限时集训(十二)圆锥曲线的定义、方程、几何性质建议A、B组各用时：45分钟A组高考达标一、选择题1(2017昆明二模)已知点M是抛物线C：y22px(p0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则p的值为()A1B2C3 D4D设M(x，y)，由题意得x4，y4.即x4，y4，又点M在抛物线C上，所以422p，解得p4，故选D.2(2017黄山二模)若圆(x3)2y21上只有一点到双曲线1(a0，b0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为() 【导学号：04024111】A. B.C. D.A不妨设渐近线为bxay0.由题意得圆心到渐近线bxay0的距离d2，b2a2，
2、c2a2，e，故选A.3(2017武汉一模)已知点A(1,0)，B(1,0)为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，点M在双曲线上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则该双曲线的标准方程为()Ax21 Bx21Cx21 Dx2y21D由题意知a1，不妨设点M在第一象限，则|AB|BM|2，ABM120，过点M作MNx轴于点N，则|BN|1，|MN|，所以M(2，)代入双曲线方程得41，解得b1.所以双曲线方程为x2y21，故选D.4(2017九江模拟)椭圆1(ab0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则
3、椭圆的离心率为()A. B.C. D.D设P(x，y)，则|OP|2x2y2，由椭圆定义得，|PF1|PF2|2a，|PF1|22|PF1|PF2|PF2|24a2，又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，|PF1|PF2|F1F2|24c2，则|PF1|2|PF2|28c24a2，(xc)2y2(xc)2y28c24a2，整理得x2y25c22a2，即5c22a2，整理得，椭圆的离心率e.故选D.5(2016唐山二模)椭圆y21(0m1)上存在点P使得PF1PF2，则m的取值范围是()A. B.C. D.B当点P是短轴的顶点时F1PF2最大，因此若椭圆上存在点P使得PF1PF2，则
4、F1PF290，所以F2PO45(O是原点)，从而，即1m2，又0m1，所以0m.二、填空题6(2017全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.5双曲线的标准方程为1(a0)，双曲线的渐近线方程为yx.又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5.7(2017青岛模拟)已知抛物线C：y28x，O为坐标原点，直线xm与抛物线C交于A，B两点，若OAB的重心为抛物线C的焦点F，则|AF|_.5因为抛物线y28x的焦点坐标为F(2,0)，又因为点F为OAB的重心，所以m3，即点A的横坐标xA3，所以|AF|xA325.8如图121，F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线
5、l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A.若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为_【导学号：04024112】图121因为ABF2为等边三角形，由点A是双曲线上的一点知，|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a，由点B是双曲线上一点知，|BF2|BF1|2a，从而|BF2|4a，由ABF260得F1BF2120，在F1BF2中应用余弦定理得4c24a216a222a4acos 120，整理得c27a2，则e27，从而e.三、解答题9(2017唐山一模)在ABC中，A(1,0)，B(1,0)，若ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴(G，H不重合)(1)求动点C的轨迹方程；(2)已知O为
6、坐标原点，若直线AC与以O为圆心，以|OH|为半径的圆相切，求此时直线AC的方程解 (1)由题意可设C(x，y)，则G，H，(x1，y)2分因为H为垂心，所以x210，整理可得x21，即动点C的轨迹方程为x21(xy0)4分(2)显然直线AC的斜率存在，设AC的方程为yk(x1)，C(x0，y0)将yk(x1)代入x21得(3k2)x22k2xk230，6分解得x0，y0，则H8分原点O到直线AC的距离d，依题意可得，10分即7k42k290，解得k21，即k1或1，故所求直线AC的方程为yx1或yx112分10已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y
7、2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值【导学号：04024113】解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为1，2分所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.5分(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.7分又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4).9分因为4(0x4)，且当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为212分B组名校冲刺一、选择题1(2016唐山二模)已知点A是抛物线C：x22py(p0)上一点，O为
8、坐标原点，若以点M(0,8)为圆心，|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且ABO为等边三角形，则p的值是()A.B2 C.6DD由题意知|MA|OA|，所以点A的纵坐标为4，又ABO为等边三角形，所以点A的横坐标为，又点A是抛物线C上一点，所以2p4，解得p.2(2017青岛二模)已知a0，b0，双曲线C1：1，圆C2：x2y22axa20，若双曲线C1的渐近线与圆C2相切，则双曲线C1的离心率是()A. B.C2 D.A由题意得圆C2的标准方程为(xa)2y2，所以圆心C2(a,0)，半径r，双曲线C1的一条渐近线方程为bxay0，因为双曲线的渐近线与圆C2相切，所以，解得a23b
9、2，所以双曲线的离心率e，故选A.3(2017石家庄一模)已知抛物线y22px(p0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若，则实数为()A. B.C3 D2D把点A代入抛物线方程，得22p，解得p2，所以抛物线的方程为y24x，则B.设M，则，.由，得解得2或1(舍去)，故选D.4(2017上饶一模)设F1，F2为椭圆C1：1(a1b10)与双曲线C2：1(a20，b20)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，F1MF290，若椭圆的离心率e1，则双曲线C2的离心率e2为()A. B.C. D.B设|F1M|m，|F2M|n，mn，则mn2a1，mn2a2，m2n
10、24c2，可得aa2c2，可得2，又e1，所以e2.故选B.二、填空题5(2017石家庄一模)已知圆C1：x2(y2)24，抛物线C2：y22px(p0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|，则抛物线C2的方程为_y2x由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为ykx(易知k0)，圆心C1(0,2)到直线AB的距离d，解得k2，由得或把代入抛物线方程，得22p，解得p，所以抛物线C2的方程为y2x.6过抛物线y24x焦点F的直线交其于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为_设直线AB的倾斜角为(0)及|BF|m，|AF|3，点A到准线l：x1的距离为3，23cos 3，即
11、cos ，则sin .m2mcos()，m，AOB的面积为S|OF|AB|sin 1.三、解答题7如图122，椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|BF|.图122(1)求椭圆C的离心率；(2)若点M在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OPOQ.求直线l的方程及椭圆C的方程【导学号：04024114】解 (1)由已知|AB|BF|，即a，2分4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2，e4分(2)由(1)知a24b2，椭圆C：1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由1，1，可得0，即0，即(y1y2)0，从而kPQ
12、2，6分直线l的方程为y2，即2xy208分由x24(2x2)24b20，即17x232x164b20，9分3221617(b24)0b，x1x2，x1x2.OPOQ，0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0,5x1x24(x1x2)40，11分从而40，解得b1，椭圆C的方程为y2112分8(2016全国卷)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程解由题意知F.设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab02分(1)由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2.所以ARFQ4分(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则SABF|ba|FD|ba|，SPQF6分由题设可得2|ba|，8分所以x10(舍去)或x11.设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，9分由kABkDE可得(x1)而y，所以y2x1(x1)10分当AB与x轴垂直时，E与D(1,0)重合.11分所以，所求轨迹方程为y2x112分