1、专题20 利用等高线求范围【方法点拨】1. 函数在两点或两点以上点处的函数值相等,我们称之为等高线,此类题常以求取值范围的形式出现,其基本方法是”减元”,即充分利用函数值相等这一条件实施”消元”.2. 对于函数，若存在正数，满足，则，且.3. 等高线问题重在”减元”,要充分利用“函数值相等”，树立目标意识，预设“消谁留谁”， 利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系.【典型题示例】例1 已知函数，方程有四个不相等的实数根，则的最小值为 【答案】50【分析】设，则，且令则故当时，所以的最小值为50.例2 已知函数，若存在实数满足，则的取值范围为_.【答案】【分析】由得（），即，代入
2、，设，问题转化为求取值范围问题，利用导数知识易得.【解析】作出函数的图像如下图所示：若存在实数满足，根据图像可得，所以，即，则，令，当时，在区间上单调递增，所以，即.例3 设函数，若互不相等的实数a，b，c满足，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】画出函数的图象，不妨令，则结合图象可得，从而可得结果【详解】画出函数的图象如图所示不妨令，则，则结合图象可得，故故选：D【巩固训练】1. (多选题)已知函数，若，且，则下列结论正确的是ABCD2. 已知函数，若存在，使得（a）（b）（c），则的最小值为A B1 CD无最小值3.已知函数存在三个互不相等的正实数a,b,c且abc时有f(a)=
3、 f(b)= f(c)，则取值范围是 .4.已知函数，若，且 ，则 . 5.已知函数若且，则的取值范围是_.6.已知函数若存在，当时，则的取值范围是 .7.已知函数若存在，当时， 则的取值范围是 8. 已知函数f(x)若互不相等的实数a，b，c满足f(a)f(b)f(c)，则2a2b2c的取值范围为_9.已知函数 若存在实数，满足，则的最大值是 10.已知函数若互不相等，且则的取值范围是 11. 已知函数，其中e为自然对数的底数，若存在实数x1，x2满足0x1x23，且f（x1）f（x2），则x22x1的取值范围为 【答案与提示】1. 【分析】作出函数的图象分析出，；再对答案进行分析【解答】解
4、：由函数，作出其函数图象：由图可知，；当时，有；所以；由有，即； 所以；则；故选：2. 【答案】【解析】由图及（a）（b）（c），可知，且，则设，可得函数在上单调递减，在，上单调递增故选：3.【答案】（0,8）【提示】易知，且所以（0,8）4.【答案】25.【答案】6.【答案】7.【答案】8.【答案】（18,34）9.【答案】2e21210.【答案】 【提示】不妨设，则，故，只需确定的范围即可，利用图象立得解.11.【答案】0，1ln2【分析】利用已知f（x1）f（x2）进行减元，构造函数，转化为区间上的最值问题.【解答】由f（x1）f（x2）得: ，所以x22x1x22 e，易知1x22，设（1x2），则由，得当x(1，2-ln2)，则g（x）0，g（x）单调递增；当x（2-ln2，2）时，g（x）0，g（x）单调递减，所以当x2-ln2时，g（x）取极大值也是最大值，即g（x）maxg（2-ln2）1ln2，又g（1）12e-10， g（2）0故g（x）的值域为0，1ln2即x22x1的取值范围为0，1ln2
