1、2015年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，选出正确答案，并写在答题纸上）1已知集合A=x|，B=x|x1|2，则AB=（）A（，1）2，3）B1，2）C（，1）2，3）（3，+）D（，1）（3，+）2若纯虚数（a+i）2（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线xy+1=0的下方，则实数a的值是（）A1B1CD3若mR，则“log6m=1”是“直线l1：x+2my1=0与l2：（3m1）xmy1=0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4如图所示的程序
2、框图，若执行后的结果是，则在处应填写的是（）Ai3Bi4Ci5Di65已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（）ABCD6等差数列an的第5项是二项式（）6展开式的常数项，则a3+a5+a7为（）A3B5C8D97若双曲线x=1（b0）的一条渐近线与圆x=1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A（1，2B2，+）C（1，D）8设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），已知关于x的五个方程及其相异实根个数如下表所示： 方程 根的个数 方程 根的个数 f（x）5=0 1 f（x）+4=0
3、 3 f（x）3=0 3 f（x）+6=0 1 f（x）=0 3若为关于f（x）的极大值下列选项中正确的是（）A6a4B4a0C0a3D3a59经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A、B两点设O为坐标原点，则等于（）A3BC或3D10若函数y=cos（x+）（0，x0，2）的图象与直线y=无公共点，则（）A0B0C0D011设曲线f（x）=在点P（x，f（x）处的切线在y轴上的截距为b，则当x（1，+）时，b的最小值为（）AeBCD12已知圆M：（x3）2+（y4）2=2，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为AB，AD的中点，O为坐标原点，当正方形ABCD绕圆
4、心M转动时，的取值范围是（）A5，5B，5C5，D二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题纸对应的位置上）13若（2x+）dx=3+ln2（a1），则a的值是14若ABC的三条边a，b，c所对应的角分别为A，B，C，且面积SABC=（b2+c2a2），则角A=15假设在10秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等第进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差大于3秒，手机就会不受到干扰，则手机不受到干扰的概率为16正三棱锥PABC中，有一半球，某底面所在的平面与正三棱锥的底面所在平面重合，正三棱锥的三个侧面都与半球相切，如果半球的半径为2，则当正三棱锥的体积最小
5、时，正三棱锥的高等于三、解答题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列an的前n项和Sn和通项an满足Sn=（1an）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=nan，求证：b1+b2+bn18如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，DAB=DBF=60，且FA=FC（1）求证：AC平面BDEF；（2）求二面角AFCB的余弦值（3）求AF与平面BFC所成角的正弦值19某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图跳高
6、成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队（）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在160，170）（单位：cm）内的运动员人数b；（）在甲、乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；（）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望20如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py
7、（p0）上（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=1相较于点Q证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点21设函数f（x）=（1ax）ln（x+1）bx，a，bE，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点（1）求常数b的值；（2）若0x1时，关于x的不等式f（x）0恒成立，求实数a的取值范围四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号涂黑选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC为圆的内接三角形，AB=AC，BD为圆的弦，且BDAC过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F（1
8、）求证：四边形ACBE为平行四边形；（2）若AE=6，BD=5，求线段CF的长五、选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）是判断曲线C1与C2是否存在两个交点，若存在求出两个交点间的距离；若不存在，说明理由六、选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x+2|x2|（I）解不等式f（x）2；（）当xR，0y1时，证明：|x+2|x2|2015年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（
9、本大题共12个小题，每小题5分，共60分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，选出正确答案，并写在答题纸上）1已知集合A=x|，B=x|x1|2，则AB=（）A（，1）2，3）B1，2）C（，1）2，3）（3，+）D（，1）（3，+）【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合【分析】本题是求两个集合的交集的运算，本题中的集合是数集，解此类题一般要先对所涉及到的集合进行化简，然后再依据其在数轴上的位置求公共部分【解答】解：对于B：|x1|2，可得2x12，即1x3，可得B=x|1x3，对于A：，可得（x2）（x3）0，即x2或x3，集合A=x|x2或x3，故AB=1，2），故选：B【点评】
10、本题考点是交集及其运算，考查依据数轴计算两个集合公共部分的能力，做此类题的步骤一般是：对涉及到的两个集合化简；在数轴上作出两个集合的图象；由数轴上的位置给出其交集2若纯虚数（a+i）2（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线xy+1=0的下方，则实数a的值是（）A1B1CD【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】直线与圆；数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义可得a，再利用线性规划的有关知识即可得出a【解答】解：（a+i）2=a21+2ai为纯虚数，解得a=1，纯虚数（a+i）2（i为虚数单位）在复平面内对应的点为（0，2），所对应的点在直线xy+1=0的下方，应该满足xy+1
11、0，取（0，2），a=1故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、线性规划的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3若mR，则“log6m=1”是“直线l1：x+2my1=0与l2：（3m1）xmy1=0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据直线平行的等价条件求出m，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由log6m=1得m=，若l1：x+2my1=0与l2：（3m1）xmy1=0平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得m=0或m=，则“log6m=1”
12、是“直线l1：x+2my1=0与l2：（3m1）xmy1=0平行”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件是解决本题的关键4如图所示的程序框图，若执行后的结果是，则在处应填写的是（）Ai3Bi4Ci5Di6【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】根据条件，进行模拟运行，找到满足输出结果为的条件即可【解答】解：第一次循环，i=1，满足条件，A=，i=2，第二次循环，i=2，满足条件，A=，i=3，第三次循环，i=3，满足条件，A=，i=4，第四次循环，i=4，满足条件，A=，i=5，此时i=5，不满足条件，程序终止，输出A=，即当i=1
13、，2，3，4时，满足条件，当i=5时，不满足条件则条件应该为i4，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序条件进行模拟是解决本题的关键5已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】利用该几何体的底面边长为2，侧棱长为，可得该几何体的高为，底面正六边形平行两边之间的距离为2，即可得出结论【解答】解：该几何体的底面边长为2，侧棱长为，该几何体的高为=，底面正六边形平行两边之间的距离为2，该几何体的侧视图可能是C，故
14、选：C【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，比较基础6等差数列an的第5项是二项式（）6展开式的常数项，则a3+a5+a7为（）A3B5C8D9【考点】二项式定理的应用【专题】计算题；二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，即得a5的值再根据等差数列的性质求得a3+a5+a7的值【解答】解：二项式（）6展开式的通项公式为Tr+1=令63r=0，r=2，故展开式的常数项为T3=由题意可得，等比数列an的第5项为展开式的常数项，即a5=，a3+a5+a7=3a5=5，故选：B【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开
15、式中某项的系数等差数列的性质应用，属于中档题7若双曲线x=1（b0）的一条渐近线与圆x=1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A（1，2B2，+）C（1，D）【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】由已知得圆心（0，）到渐近线y=bx的距离：d=1，由此能求出双曲线的离心率的取值范围【解答】解：圆x2+（y）2=1的圆心（0，），半径r=1双曲线x=1（b0）的一条渐近线y=bx与圆x2+（y2）2=1至多有一个交点，圆心（0，）到渐近线y=bx的距离：d=1，化为b22e2=1+b23，e1，1e，该双曲线的离心率的取值范围是（1，故选：C【点评】本题考
16、查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意圆、双曲线的性质的简单运用8设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），已知关于x的五个方程及其相异实根个数如下表所示： 方程 根的个数 方程 根的个数 f（x）5=0 1 f（x）+4=0 3 f（x）3=0 3 f（x）+6=0 1 f（x）=0 3若为关于f（x）的极大值下列选项中正确的是（）A6a4B4a0C0a3D3a5【考点】利用导数研究函数的极值【专题】数形结合；导数的综合应用【分析】方程f（x）k=0的相异实根数可化为方程f（x）=k的相异实根数，方程f（x）=k的相异实根数可化为函数y=f（x）与水平线y=k两图形
17、的交点数则依据表格可画出其图象的大致形状，从而判断极大值的取值范围【解答】解方程f（x）k=0的相异实根数可化为方程f（x）=k的相异实根数，方程f（x）=k的相异实根数可化为函数y=f（x）与水平线y=k两图形的交点数依题意可得两图形的略图有以下两种情形（1）当a为正时，如右：（2）当a为负时，如下：因极大值点a位于水平线y=3与y=5之间所以其y坐标（即极大值）的范围为35故选：D【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的应用及数形结合思想的应用，属于中档题9经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A、B两点设O为坐标原点，则等于（）A3BC或3D【考点】椭圆的应用【专题
18、】计算题【分析】先根据椭圆方程求得焦点坐标，进而设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得x1x2和x1+x2的值，进而根据直线方程求得y1y2的值，最后根据向量的计算法则求得答案【解答】解：由+y2=1，得a2=2，b2=1，c2=a2b2=1，焦点为（1，0）直线l不妨过右焦点，倾斜角为45，直线l的方程为y=x1代入+y2=1得x2+2（x1）22=0，即3x24x=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=0，x1+x2=，y1y2=（x11）（x21）=x1x2（x1+x2）+1=1=，=x1x2+y1y2=0=故选B【点
19、评】本题主要考查了椭圆的应用当涉及过叫焦点的直线时，常需设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理来解决10若函数y=cos（x+）（0，x0，2）的图象与直线y=无公共点，则（）A0B0C0D0【考点】余弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】首先，化简函数解析式，得到y=sinx，然后，结合给定的区间，确定的临界值，最后确定其范围【解答】解：y=cos（x+）=sinx，y=sinx，当x=2时，sin（2）=，2=，=，函数y=cos（x+）（0，x0，2）的图象与直线y=无公共点，0，故选：C【点评】本题重点考查了诱导公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题11设曲线f（x）=
20、在点P（x，f（x）处的切线在y轴上的截距为b，则当x（1，+）时，b的最小值为（）AeBCD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】求出f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，可得切线斜率，由直线的斜率公式可得b=，x1再由导数，求得单调区间和极小值，即为最小值【解答】解：函数的导数f（x）=，则点P（x，f（x）处的切线斜率k=f（x）=，则切线方程为Y=（Xx），令X=0，则Y=（x）+，即b=x+=，则b=，当x1时，lnx0，由b=0得1xe2，此时函数单调递减，由b=0得xe2，此时函数单调递增，故当x=e2时，函数取得极小值同时
21、也是最小值，此时b=，故选：D【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在该点处切线的斜率，主要考查运用导数判断单调区间和极值、最值，正确求导是解题的关键12已知圆M：（x3）2+（y4）2=2，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为AB，AD的中点，O为坐标原点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（）A5，5B，5C5，D【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】如图所示， =5. =1由已知可得=0，因此=5，由于0，即可得出【解答】解：如图所示，=5=1，=0，=+=5，0，5，5故选：A【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的标准方程、向量三角形法则、向量垂直
22、与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题纸对应的位置上）13若（2x+）dx=3+ln2（a1），则a的值是2【考点】微积分基本定理【专题】计算题【分析】根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值；【解答】解： =（x2+lnx）=a2+lna（1+ln1）=3+ln2，a1，a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，故答案为：2；【点评】此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一道基础题14若ABC的三条边a，b，c所对应的角分别为A，B，C，且
23、面积SABC=（b2+c2a2），则角A=【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】根据余弦定理得b2+c2a2=2bccosA，根据三角形的面积公式S=bcsinA和题意求出tanA，根据A的范围和特殊角的三角函数值求出A的值【解答】解：由余弦定理得，b2+c2a2=2bccosA，因为SABC=（b2+c2a2），所以bcsinA=2bccosA，则sinA=cosA，即tanA=1，又0A，则A=，故答案为：【点评】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，注意内角的范围15假设在10秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等第进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差
24、大于3秒，手机就会不受到干扰，则手机不受到干扰的概率为【考点】几何概型【专题】概率与统计【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y则所有事件集可表示为0x10，0y10由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|xy|3则该事件即为xy=3和yx=3在0x10，0y10的正方形中围起来的图形，即图中阴影区域，而所有事件的集合即为正方型面积102=100，阴影部分的面积2（103）2=49，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机不受到干扰的概率为故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解
25、决本题的关键，比较基础16正三棱锥PABC中，有一半球，某底面所在的平面与正三棱锥的底面所在平面重合，正三棱锥的三个侧面都与半球相切，如果半球的半径为2，则当正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于2【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】导数的综合应用；空间位置关系与距离【分析】画出图形，设三棱锥的高 PO=x，底面ABC的AB边上的高 CD=y，求出x，y的关系，推出体积的表达式，利用函数的导数求出函数的最小值，即可求出高的值【解答】 解：根据题意，画出图形如下，其中，立体图形只画出了半球的底面设三棱锥的高 PO=x，底面ABC的AB边上的高
26、CD=3OD=3y在纵切面图形可看出，RtPEORtPOD，则=，而 PD=，即=，整理得 x2y2=x2+4y2，所以 y2=，而三棱锥PABC的体积等于底面ABC的面积高PO，即V=ABCDPO=2y3yx=y2x=，对体积函数求导，得V=，令V=0，解得唯一正解 x=2，由该体积函数的几何意义可知 x=2为其体积最小值点，故三棱锥体积最小时Vmin=6，高为2故答案为：2【点评】本题考查几何体的内接球的问题，函数的导数的应用，考查空间想象能力以及计算能力三、解答题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列an的前n项和Sn和通项an满足Sn=（1an）（1）求数列an的通项
27、公式；（2）若数列bn满足bn=nan，求证：b1+b2+bn【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式【专题】综合题；等差数列与等比数列【分析】（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列an是以为首项，为公比的等比数列，从而可求数列an的通项公式；（2）利用裂项法求数列的和，即可证得结论【解答】（1）解：Sn=（1an），n2时，Sn1=（1an1）两式相减可得an=（an1an），n=1时，a1=S1=（1a1），a1=数列an是以为首项，为公比的等比数列an=；（2）证明：bn=nan=n令Tn=b1+b2+bn，即Tn=1+2+nTn=1+2+（n1）+n两式相减可得Tn=
28、1+1+1+1n=n=nTn=，Tn【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的判定，考查数列的求和，考查不等式的证明，属于中档题18如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，DAB=DBF=60，且FA=FC（1）求证：AC平面BDEF；（2）求二面角AFCB的余弦值（3）求AF与平面BFC所成角的正弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定【专题】计算题；证明题【分析】（1）要证AC平面BDEF，只要证AC垂直于平面BDEF内的两条相交直线即可，设AC与BD相交于点O，连结FO，由已知FA=FC可得ACFO，再由ABCD为菱形得到ACBD，则由线面垂直的判定定理得到答案；（2）
29、由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系Oxyz，求出二面角AFCB的两个面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案；（3）求出向量的坐标，直接用向量与平面BFC的法向量所成角的余弦值求得AF与平面BFC所成角的正弦值【解答】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，且O为AC中点又FA=FC，所以ACFO 因为FOBD=O，所以AC平面BDEF （2）解：因为四边形BDEF为菱形，且DBF=60，所以DBF为等边三角形因为O为BD中点，所以FOBD，故FO平面ABCD由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz设AB=2因为
30、四边形ABCD为菱形，DAB=60，则BD=2，所以OB=1，所以所以，设平面BFC的法向量为，则有，所以，取x=1，得由图可知平面AFC的法向量为由二面角AFCB是锐角，得=所以二面角AFCB的余弦值为；（3）解：，平面BFC的法向量，所以=则【点评】本题考查了直线和平面垂直的性质，考查了利用空间向量求线面角和面面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题19某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图跳高成绩在185cm以上（包括18
31、5cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队（）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在160，170）（单位：cm）内的运动员人数b；（）在甲、乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；（）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】（
32、）由频率分布直方图可知，成绩在190cm以上的运动员频率为0.05，频数为2，由此能求出全体运动员总人数a，由成绩在160，170）内的频率求出运动员人数，再减去甲队人数，能求出乙队人数b（）由频率分布直方图可知，全体队员中成绩在180cm以上的共有10人，其中成绩为“优秀”的有6人由此能求出至少有1人成绩为“优秀”的条件下两人成绩均“优秀”的概率（）由题设条随机变量X所有可能取值为0，1，2分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），由此能求出X的分布列和数学期望EX【解答】解：（）由频率分布直方图可知，成绩在190cm以上的运动员频率为0.00510=0.05，所以全体运动员总人数a
33、=40（人），乙队中成绩在160，170）内的运动员人数b=400.33=9（人）（）由频率分布直方图可知，乙队成绩在180cm以上的没有丢失，全体队员中成绩在180cm以上的共有10人，其中成绩为“优秀”的有6人设至少有一人成绩“优秀”为事件A，两人成绩均“优秀”为事件B，则P（B|A）=（）成绩“优秀”的运动员共6人，甲队4人，乙队2人随机变量X所有可能取值为0，1，2P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，X的分布列为：X012P数学期望EX=【点评】分布列是求出数学期望的前提，因而需写好分布列，而分布列关键是求出概率，当写完分布列，可以结合概率总和为1的特点检验分布列是否正确2
34、0如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p0）上（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=1相较于点Q证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程【专题】综合题；压轴题【分析】（1）依题意，|OB|=8，BOy=30，从而可得B（4，12），利用B在x2=2py（p0）上，可求抛物线E的方程；（2）由（1）知，设P（x0，y0），可得l：，与y=1联立，求得取x0=2，x0=1，猜想满足条件的点M存在，再进行证明即可【解答】解：（1）依题意，|OB|=8，BOy=30，设B（x，y），则x
35、=|OB|sin30=4，y=|OB|cos30=12B（4，12）在x2=2py（p0）上，p=2，抛物线E的方程为x2=4y；（2）由（1）知，设P（x0，y0），则x00l：即由得，取x0=2，此时P（2，1），Q（0，1），以PQ为直径的圆为（x1）2+y2=2，交y轴于点M1（0，1）或M2（0，1）取x0=1，此时P（1，），Q（，1），以PQ为直径的圆为（x+）2+（y+）2=2，交y轴于点M3（0，1）或M4（0，）故若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），证明如下=2y022y0+2=0故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）【点评】本题主要考查抛物线的定义域性质、圆
36、的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题21设函数f（x）=（1ax）ln（x+1）bx，a，bE，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点（1）求常数b的值；（2）若0x1时，关于x的不等式f（x）0恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】（1）f（x）=aln（x+1）+b，根据条件知f（0）=0，解出即可（2）由（1）得f（x）=（1ax）ln（1+x）x，0x1f（x）aln（x+1）+1，令g（x）=f（x），g（x）=对a分类讨论，研究函数g（x）的单调性极值与最值，进
37、而得出函数f（x）的极值与最值【解答】解：（1）f（x）=aln（x+1）+b，根据条件知f（0）=0，1b=0，解得b=1（2）由（1）得f（x）=（1ax）ln（1+x）x，0x1f（x）aln（x+1）+1，令g（x）=f（x），g（x）=+=当a时，由于0x1，有g（x）=0，于是f（x）在0，1上单调递增，从而f（x）f（0）=0，因此f（x）在0，1上单调递增，即f（x）f（0）=0，而且仅有f（0）=0；当a0时，由于0x1，有g（x）=0，于是f（x）在0，1上单调递减，从而f（x）f（0）=0，因此f（x）在0，1上单调递减即f（x）f（0）=0，而且仅有f（0）=0；当时，
38、令m=min，当0xm时，g（x）0，于是f（x）在0，m上单调递减，从而f（x）f（0）=0，因此f（x）在0，m上单调递减，即f（x）f（0）=0，而且仅有f（0）=0综上可知，所求实数a的取值范围是【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号涂黑选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC为圆的内接三角形，AB=AC，BD为圆的弦，且BDAC过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F（1）求证：四边形ACBE为
39、平行四边形；（2）若AE=6，BD=5，求线段CF的长【考点】与圆有关的比例线段【专题】直线与圆【分析】（1）由已知条件推导出ABC=BAE，从而得到AEBC，再由BDAC，能够证明四边形ACBE为平行四边形（2）由已知条件利用切割线定理求出EB=4，由此能够求出CF=【解答】（1）证明：AE与圆相切于点A，BAE=ACB，AB=AC，ABC=ACB，ABC=BAE，AEBC，BDAC，四边形ACBE为平行四边形（2）解：AE与圆相切于点A，AE2=EB（EB+BD），即62=EB（EB+5），解得EB=4，根据（1）有AC=EB=4，BC=AE=6，设CF=x，由BDAC，得，解得x=，CF
40、=【点评】本题考查平行四边形的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用五、选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）是判断曲线C1与C2是否存在两个交点，若存在求出两个交点间的距离；若不存在，说明理由【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【专题】坐标系和参数方程【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程（2）利用（1）的结论进一步联立方程组根据判别式和根和
41、系数的关系，求出弦长【解答】解：（1）对于曲线曲线C1的参数方程，转化成直角坐标方程为：x+y=1，对于曲线C2的极坐标方程转化成直角坐标方程为：（2）显然曲线C1：x+y=1，则其参数方程可写为（t为参数）与曲线C2：联立，得到： t26t+4=0，所以：可知0，所以C1与C2存在两个交点，由，得【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，判别式的应用，根和系数的关系的应用，弦长公式的应用，属于基础题型六、选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x+2|x2|（I）解不等式f（x）2；（）当xR，0y1时，证明：|x+2|x2|【考点】绝对值不等式的解法【专题】计算题；证明题；不等式的解法及应用【分析】（）运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可；（II）由分段函数可得f（x）的最大值，再由基本不等式求得的最小值，即可得证【解答】（）解：由已知可得：，由x2时，42成立；2x2时，2x2，即有x1，则为1x2所以，f（x）2的解集为x|x1；（II）证明：由（）知，|x+2|x2|4，由于0y1，则=（）y+（1y）=2+2+2=4，则有【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立，注意转化为函数的最值，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题
