1、课时跟踪检测（八）一、选择题1已知函数f(n)且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100()A0 B100 C100 D10 200解析：选B由题意，a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)(1299100)(23100101)1101100，故选B.2九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”(“钱”
2、是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为()A.钱 B.钱 C.钱 D.钱解析：选D设等差数列an的首项为a1，公差为d，依题意有解得故选D.3中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A192里 B96里 C48里 D24里解析：选B设等比数列an的首项为a1，公比为q，依题意有378，解得a1192，则a219296，即第二天走了96里，故选B.4已知数列an的通
3、项公式为anlog(n1)(n2)(nN*)，我们把使乘积a1a2a3an为整数的n叫做“优数”，则在(0,2 018内的所有“优数”的和为()A1 024 B2 012 C2 026 D2 036解析：选Ca1a2a3anlog23log34log45log(n1)(n2)log2(n2)k，kZ，令0n2k22 018，则22k2 020,10，an3an10，即3，数列an是首项a12，公比q3的等比数列，其前n项和Sn3n1，故选A.6(2017贵阳检测)正项等比数列an中，存在两项am，an，使得 4a1，且a6a52a4，则的最小值是()A. B2 C. D.解析：选A记等比数列a
4、n的公比为q，其中q0，于是有a4q2a4q2a4，即q2q20，(q1)(q2)0(q0)，由此解得q2.由aman16a得a2mn216a，故mn6，其中m，nN*，(mn)，当且仅且，即m2，n4时等号成立，的最小值为.二、填空题7对于数列an，定义Hn为an的“优值”，现在已知某数列an的“优值”Hn2n1，记数列ankn的前n项和为Sn，若SnS5对任意的nN*恒成立，则实数k的取值范围为_解析：由Hn2n1，得n2n1a12a22n1an，(n1)2na12a22n2an1，得2n1ann2n1(n1)2n，所以an2n2，ankn(2k)n2，又SnS5对任意的nN*恒成立，所以
5、即解得k.答案：8(2017安阳检测)在数列an中，a12n1(nN*)，且a11，若存在nN*使得ann(n1)成立，则实数的最小值为_解析：依题意得，数列的前n项和为2n1，当n2时，(2n1)(2n11)2n1，且2111211，因此2n1(nN*)，.记bn，则bn0，1，即bn1bn，数列bn是递增数列，数列bn的最小项是b1.依题意得，存在nN*使得bn成立，即有b1，的最小值是.答案：9(2018届高三湖北七市(州)联考)数列an满足an1(1)nann1，则an前40项的和为_解析：由an1(1)nann1，可依次列出n取不同值时数列项之间的关系：当n1时，a2a12，当n2时
6、，a3a23，当n3时，a4a34，当n4时，a5a45，由得a3a11，由得a4a27，当n5时，a6a56，当n6时，a7a67，当n7时，a8a78，当n8时，a9a89，由得a7a51，由得a8a615，类似可得a11a91，a39a371，a12a1023，即a4k2a4k4(kN)构成一个首项为7，公差为8的等差数列，S40(a1a3a5a7a37a39)(a2a4a6a8a38a40)1107108440.答案：440三、解答题10(2017武昌调研)设等差数列an的前n项和为Sn，已知a19，a2为整数，且SnS5.(1)求an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：T
7、n.解：(1)由a19，a2为整数可知，等差数列an的公差d为整数又SnS5，a50，a60，于是94d0,95d0，解得d.d为整数，d2.故an的通项公式为an112n.(2)证明：由(1)，得，Tn.令bn，由函数f(x)的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0b1b2b3b4，b5b6b70，bnb41.Tn.11(2017临川模拟)若数列bn对于任意的nN*，都有bn2bnd(常数)，则称数列bn是公差为d的准等差数列如数列cn，若cn则数列cn是公差为8的准等差数列设数列an满足a1a，对于nN*，都有anan12n.(1)求证：an是准等差数列；(2)求an的通项公式及前2
8、0项和S20.解：(1)证明：anan12n(nN*)，an1an22(n1)(nN*)，得an2an2(nN*)an是公差为2的准等差数列(2)a1a，anan12n(nN*)，a1a221，即a22a.由(1)得a1，a3，a5，是以a为首项，2为公差的等差数列；a2，a4，a6是以2a为首项，2为公差的等差数列当n为偶数时，an2a2na；当n为奇数时，ana2na1.anS20a1a2a3a4a19a20(a1a2)(a3a4)(a19a20)21232192200.12已知函数f(x)定义在(1,1)上，f1，满足f(x)f(y)f，且x1，xn1.(1)证明：f(x)为定义在(1,
9、1)上的奇函数；(2)求f(xn)的表达式；(3)是否存在自然数m，使得对任意的nN*，有恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：x，y(1,1)，f(x)f(y)f ，当xy0时，可得f(0)0.当x0时，f(0)f(y)f f(y)，f(y)f(y)，f(x)是(1,1)上的奇函数(2)f(xn1)f f f(xn)f(xn)2f(xn)，2，又f(x1)f 1，f(xn)是以1为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为f(xn)2n1(nN*)(3)假设存在自然数m使得原不等式恒成立，即1216对任意的nN*恒成立，m16，故存在自然数m使得对任意的nN*，有恒成立，且m的最小值为16.