1、21 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理内 容 标 准学 科 素 养1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；2.了解合情推理在数学发现中的作用.加强直观想象提升数学运算严密逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 归纳推理预习教材P7072，思考并完成以下问题(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体以上属于什么推理？提示：属于归纳推理知识梳理 归纳推理(1)定义：由某类事物的具有某些特征，推出该类事物的都具有这些特征的推理，或者由概括出的
2、推理，称为归纳推理(简称归纳)(2)特征：由到，由到的推理部分对象全部对象个别事实一般结论部分整体个别一般知识点二 类比推理预习教材P7274，思考并完成以下问题科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在他们使用了什么样的推理？提示：类比推理知识梳理 类比推理(1)定义：由两类对象具有某些特征和其中一类对象的某些特征，推出也具有这些特征的推理称为类比推理(2)特征：由到的推理类似已知另一类对象特殊特殊知
3、识点三 合情推理预习教材P7477，思考并完成以下问题归纳推理和类比推理有何区别与联系？提示：区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假 知识梳理 合情推理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过、，再进行、，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理，通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理(2)推理的过程从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想观察分析比较联想归纳类比猜想思考：1.归纳推理有哪些特点？提示：(1)归纳推理是由几个已知的特殊对象，归纳出一般性的结论，
4、该结论超越了前提所包含的范围如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想等(2)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具(3)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么得到的一般性结论也就越可靠(4)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题2类比推理有哪些特点？提示：(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，即以原有认识作基础，类比出新的结果(2)由类比推理得到的
5、结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理同归纳推理一样也不能作为数学证明的工具(3)如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠3合情推理有哪些特点？提示：(1)合情推理的根据是已有的事实和正确的结论(包括定义、定理、公理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验等(2)合情推理的结论往往超越了前提所界定的范围，仅仅是一种猜想，既可能为真，也可能为假(3)在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；合情推理不能作为数学证明的工具，但常常能为我们提供证明的思路和方向自我检测1如图为一串白
6、黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色为()A白色B黑色C白色可能性大D黑色可能性大解析：三个白色、两个黑色，依次类推，出现以5为周期的重复现象，所以第36颗珠子相当于新一轮的第一颗，故为白色答案：A2已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S 底高2，可推知扇形面积公式S扇等于()A.r22Bl22C.lr2D不可类比解析：类比三角形的面积公式S底高2，则扇形的面积公式为S弧长半径2lr2.答案：C3在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_解析：面积涉及两个变量，故面
7、积比为边长比的平方；体积涉及到三个变量，故体积比是边长比的立方答案：18探究一 归纳推理例1(1)观察下列等式：1121，(21)(22)2213，(31)(32)(33)23135，照此规律，第n个等式可为_(2)已知f(x)x1x，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN*)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN*)的表达式为_解析(1)本题主要考查数字的推理，由(11)，(21)(22)；(31)(32)(33)，可以推理出第n个等式的等号左边式子为(n1)(n2)(n3)(nn)，由21,2213,23135，可以推理出第n个式子的等号右边式子为2n
8、135(2n1)(2)f1(x)x1x，f2(x)f1f1(x)f1x1f1xx1x1 x1xx12x；f3(x)f2f2(x)f2x12f2xx12x12x12xx122x；猜想fn(x)x12n1x.答案(1)(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(2)x14x fn(x)x12n1x延伸探究 在本例(2)中，若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改为“fn(x)f(fn1(x)”，其他条件不变，试猜想fn(x)(xN*)的表达式解析 f(x)x1x，f1(x)x1x.又fn(x)f(fn1(x)，f2(x)f(f1(x)x1x1 x1xx12x，f3(x)f(f2(x)x1
9、2x1x12xx13x，f4(x)f(f3(x)x13x1x13xx14x.因此，可以猜想fn(x)x1nx.方法技巧(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；提炼出等式(或不等式)的综合特点；运用归纳推理得出一般结论(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式跟踪探究 1.已知正项数列an满足Sn 12 a
10、n 1an，求出a1，a2，a3，a4，并推测正项数列an的通项公式解析：令n1，有S112a1 1a1，即a112a1 1a1，化简可得a 2110，因为a10，所以a11；令n2，有S2 12 a2 1a2，即a1a2 12 a2 1a2，化简可得a 222a210，因为a20，所以a2 21；令n3，有S312a3 1a3，即a1a2a312a3 1a3，化简可得a232 2a310，因为a30，所以a3 3 2；令n4，有S412a4 1a4，即a1a2a3a412a4 1a4，化简可得a242 3a410，因为a40，所以a42 3.因为a11 1 0，a2 21 2 1，a3 3
11、2，a42 3 4 3，归纳猜测正项数列an的通项公式为an n n1.例2 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n(nN*)个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A6n2 B8n2C6n2 D8n2解析 观察易知第1个“金鱼”图需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图比第1个“金鱼”图多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图比第2个“金鱼”图多的部分需要火柴棒6根由此可猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第(n1)个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列an，易求得通项公式为an6n2(nN*)答案 C方法技巧 归纳推理在图形中
12、的应用策略通过一组平面图形或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需将图形问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理解答该类问题的一般策略是：跟踪探究 2.图(1)是棱长为1的小正方体，图(2)，(3)是由这样的小正方体摆放而成的按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层、第2层、第3层将第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题：(1)按照要求填表：n1234Sn136(2)S10_；(3)Sn_(nN*)解析：第1层：1个；第2层：3个，即(12)个；第3层：6个，即(123)个；第4层：10个，即(1234)个由此猜想，第n层的小正方体的个数为上一层的小正方体的个数加
13、上n，所以Sn123nnn12(nN*)，S1055.答案：(1)10(2)55(3)nn12探究二 类比推理例3 设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论：设等比数列bn的前n项积 Tn，则T4，_，_，T16T12成等比数列解析 设等比数列bn的公比为q(q0)在等比数列bn中，通过类比，有T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列证明如下：易知T4b1b2b3b4，T8b1b2b8，T12b1b2b12，T16b1b2b16，所以 T8T4 b5b6b7b8，T12T8 b9b10b11b12，T16T12b13b14b15
14、b16，所以T8T4T4T12T8T8T4T16T12T12T8q16，因此T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列答案 T8T4 T12T8方法技巧(1)类比推理的一般步骤(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量与实数，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下平面图形空间图形点直线直线平面边长面积面积体积三角形四面体线线角面面角跟踪探究 3.如图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想解析：如题图，在RtABC中，C90.设
15、a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类似地，如图所示，在四面体P-DEF中，PDFPDEEDF90.设S1，S2，S3和S分别表示PDF，PDE，EDF和PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2S21S22S23成立课后小结(1)合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向(2)合情推理的过程概括为从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、
16、类比 提出猜想素养培优归纳推理中找不准关系致误易错案例：设平面内有n(n3，nN*)条直线，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，(1)求f(4)；(2)当n4时，用含n的代数式表示f(n)易错分析：在几何问题的归纳推理中探求相应的线段、交点、区域导数量的增加问题，其关键是寻找递推关系、考查直观想象、逻辑推理等核心素养自我纠正：(1)如图，知f(4)5.(2)f(3)2，f(4)5，每增加1条直线，与前面的每条直线最多产生1个交点，而新增加的第n条直线，与前面的(n1)条直线产生(n1)个交点，即f(n)f(n1)n1.当n4时，f(n)f(n1)n1，f(n1)f(n2)n2，f(4)f(3)3.将以上各式相加可得，f(n)f(3)12(n2)(n3)因为f(3)2，所以f(n)12(n2)(n3)2.化简整理，得f(n)12(n2)(n1)(n4，nN*).04 课时 跟踪训练