1、1钦州市大寺中学2 0 2 1 届高三毕业班数学模拟练习理 3 一选择题1.已知集合0,1,2,3,4M，|22Nxx，则 MN （）A.0B.1C.0,1D.0,1,22.设复数=2z ii，则 z （）A3 B5 C3 D53.已知样本数据12,.,nxxx 的平均数是 5，则新的样本数据1225,25,.25nxxx的平均数为A.7B.10C.15D.254.x22x5 的展开式中 x4 的系数为()A30 B40 C60 D805.函数2()3 sin 22cos1f xxx，则下列选项正确的是（）A.当6x时，()f x 取得最大值B.()f x 在区间,03单调递增C.()f x
2、在区间5,36单调递减D.()f x 的一个对称轴为12x6.从 5 名志愿者中选出 4 人分别到 A，B，C，D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A，B 两个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有()A120 种 B24 种 C18 种 D36 种7.执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 分别为4,2，则输出的 n （）A3B4C5D68.已知等差数列na的前 n 项和为nS，若888Sa，则公差 d等于()A.14B.12C.1D.29.设椭圆C 的两个焦点分别为1F，2F，若C 上存在点 P 满足1122:4:3:2PFF FPF，则椭圆C 的离心率等于（）A.1
3、2B.23C.2 D.3210.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 168 B 88 C 1616 D 816 211.已知双曲线 x2y2241 的两个焦点为 F1，F2，P 为双曲线右支上一点若|PF1|43|PF2|，则F1PF2 的面积为()A48 B24 C12 D612.若61014log 3,log5,log7abc,则()A abcBbca Ccba D acb二填空题13.在平面直角坐标系中，若角 的始边是 x 轴非负半轴，终边经过点22sin,cos33P，则cos _.14.已知函数 21,0,2,0.xxfxxx 若 10faf，则 a _ 15.已知等比数
4、列na的前 n 项和为nS，若247aa，423SS，则5a _16.正四面体 ABCD 的棱长为 4，E 为棱 BC 的中点，过 E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为_三解答题17.已知 a,b,c 分别是ABC的内角 A,B,C,所对的边，2222 sinsinsinbcaCAbcB（1）求角 B 的大小；（2）若ABC的面积为3，求ABC周长的最小值18.如图，四棱锥 PABCD中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，2PA，E 为 PD 中点.（1）求证：AEPC；（2）求二面角 BAEC的正弦值.319.中国制造 2025是经国务院总理李克强签批，由国
5、务院于 2015 年 5 月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布2(,)N ，并把质量差在(,)内的产品为优等品，质量差在(,2)内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该企业生产的正品中随机抽取 1000 件，测得产品质量差的样本数据统计如图：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数 x；（同一组中的数据用该
6、组区间的中点值代表）（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数 据的方差的近似值为 100，用样本平均数 x 作为 的近似值，用样本标准差 s 作为 的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量 服从正态分布2,N ，则：0.6827P，220.9545P，330.9973P（3）假如企业包装时要求把 3 件优等品球和 5 件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为 X，求随机变量 X 的分布列及期望值20.已知倾斜角为4 的直线经过抛物线2:2(0)Cxpy p的焦点 F，与抛物线C 相交于 A、B 两点,且|8AB.（1
7、）求抛物线C 的方程；（2）求过点,A B 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.421.已知函数 2ln1fxxx.（1）求 fx 单调区间与极值；（2）当函数 2 ln1g xxxa x有两个极值点时，求实数 a 的取值范围.22.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox 中，方程(1sin)a（0a）表示的曲线1C 就是一条心形线，如图，以极轴Ox 所在的直线为 x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系 xOy 中.已知曲线2C 的参数方程为1333xtyt（t 为参数）.（1）求曲线2C 的极坐
8、标方程；（2）若曲线1C 与2C 相交于 A、O、B 三点，求线段 AB 的长.23.已知函数 3fxax，不等式 2fx 的解集为15xx（1）解不等式 211fxfx；（2）若3m，3n，3fmfn，求证：141mn 5钦州市大寺中学2 0 2 1 届高三毕业班数学模拟练习理 3参考答案 一选择题123456789101112CBCBCDBDAABC解析：1.0,1,2,3,4M，|22Nxx，0,1MN，故选 C.2.=221z iii,故22215z.故选：B3.由题意知，数据的平均数125nxxxxn ，则数据1225,25,.25nxxx的平均数1225252525515nxxxn
9、 故选 C 4.x22x5 的展开式的通项公式为 Tr1Cr5(x2)5r2xrCr52rx103r，令 103r4，得 r2.故展开式中 x4 的系数为 C252240.故选 B5.22()3 sin 22cos13 sin 22cos13 sin 2cos 2f xxxxxxx312sin 2cos 22 sin 2226xxx，对于 A，当6x时，2sin166fxf，而 max2fx，故 A 错误；对于 B，令222262kxkkz，求得63kxkkz当0k 时，则63x，故 B 错误；对于 C，令3222262kxkkz，求得536kxkkz 当0k 时，则536x，故 C 正确；故
10、选：C6.根据题意，分两种情况讨论：甲，乙中只有 1 人被选中，需要从甲、乙中选出 1 人，到 C，D 中的一个部门，由其他三人到剩余的部门，有 C12C12A3324(种)选派方案 甲、乙两人都被选中，安排到 C，D 部门，从其他三人中选出 2 人，到剩余的部门，有 A22A2312(种)选派方案，综上可得，共有 241236(种)不同的选派方案，故选 D7.根据流程,输入 4,2,1n .6,4,2abn,不满足ab.9,8,3abn,不满足ab.27,16,42abn,满足 ab.输出4n.故选：B8.解：888Sa，1288aaaa，17747207aaaS，40a.又由844aad，
11、得8480244aad.故选:D.69.根据椭圆的定义以及离心率公式得12122312422F FcceaaPFPF.故选：A10.由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4，上边放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体，故其体积为21244222 =168，故选 A 11.由双曲线的定义可得|PF1|PF2|13|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，可知三角形 PF1F2 为直角三角形，因此 SF1PF212|PF1|PF2|24.故选：B 12.22log 31log 3a，22log 51log 5b，22log 71log 7c，令
12、 11,011xfxxxx，则 fx 在0,上是单调增函数.又2220log 3log 5log 7，所以222log 3log 5log 7fff即 abc.故选 C.二填空题：13【详解】由题意知，2231sin,cos,3322PP，则 P 到原点的距离为 1，3cos2，3coscos2 .14.【详解】由题,1(1)213f且 10faf,故()3f a .当0a 时 213a 无解.当0a 时,235aa 成立.故答案为：515【详解】247aa，177aaa,11a,又424221311SqqSq，22q，4514aa q，16【详解】将四面体 ABCD 补为正方体，如下图所示，
13、则正方体的外接球就是正四面体 的外接球设球心为 O，面积最小的截面就是与 OE垂直的截面由图可知，这个截面就是底面正方形的外接圆，其面积为224三解答题17【解】（1）222bca2sinCsinAbcsinB，由abcsinAsinBsinC得222cabac，222cab1cosB2ac2，0B，B3；（2）由（1）得B3，ABC13SacsinBac324，ac4，22bac2accosB 22ac42ac4 2，ac2ac4，当且仅当ac2时等号成立，此时ABC 周长取最小值6.718解：（1）证明：底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，2PA，E 为 PD 中点，AEPD，CDAD
14、.PA 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，CDPA.PAADACD 平面 PAD，AE 平面 PAD，CDAE，CDPDD.AE 平面 PCD，PC 平面 PCD，AEPC.（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立如图空间直角坐标系.则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(2,2,0)C，(0,1,1)E，(0,1,1)AE，(2,0,0)AB，(2,2,0)AC，设平面 ABE 的一个法向量(,)mx y z，则200m ABxm AEyz，取1y ，得(0,1,1)m.设平面 AEC 的一个法向量为111(,)nx y z.则2200n ACxy
15、n AEyz，取11x.得(1,1,1)n，26cos3|32m nm nmn，二面角 BAEC的正弦值为26313319.解：（1）4656566666760.010 100.020 100.045 10222x768686960.020 100.005 1022 2 分70 3 分（2）由题意样本方差2100s，故210s，所以2(70,10)XN，4 分由题意，该厂生产的产品为正品的概率(6090)(6070)(7090)PPXPXPX1(0.68270.9545)0.81862.6 分（3）X 所有可能取值为0，1，2，3.7 分0335385028C CP XC 1235381512
16、8C CP XC21353815256C CP XC 3035381356C CP XC 9 分随机变量 X 的分布列为X0123P52815281556156 11 分89561356152281512850XE 12 分 820解:（1）由题意设直线 AB 的方程为2pyx，令11(,)A xy、22(,)B xy，联立222pyxxpy得22304pypy -2 分 123yyp -3 分 根据抛物线的定义得124AByypp -4 分 又8AB，48,2pp 故所求抛物线方程为24xy -5 分（2）由（1）知1236yyp，12124xxyyp AB的中点为(2,3)M，AB 的垂直
17、平分线方程为3(2)yx 即5yx -7 分 设过点,A B 的圆的圆心为(,5)aa，该圆与C 的准线1y 相切，半径6ra -9 分 圆心(,5)aa到直线:1AByx 的距离为242ad,8AB 22224()4(6)2aa，解得6a 或2a -11 分 圆心的坐标(6,11)为，半径为12，或圆心的坐标为(2,3)，半径为 4 圆的方程为22(6)(11)144xy或22(2)(3)16xy -12 分 21解：（1）依题意可知函数 2ln1fxxx 的定义域为0,22122xfxxxx 当2x 时，0fx，故函数 fx 在2,上单调递增；当02x时，0fx，故函数 fx 在0,2 上
18、单调递减；故函数 fx 在2x 时取得极小值，即 2ln 22fxf极小值，不存在极大值；综上所述，单调递增区间为2,；单调递减区间为0,2；()f x 极小值为ln 22，不存在极大值；（2）因为 2 ln1g xxxa x，所以 2ln+1gxxax 求函数 g x 有两个极值点，又因为函数 g x 是连续函数，等价于 0gx有两个解，即2ln+1xax有两个解，由（1），可得求2ln+1xax有两个解，即求 fxa有两个解，又因为 2ln 22fxfmin，且函数 fx 在2,上单调递增，在0,2 上单调递减；所以 2ln 22afxfmin 即ln 22,a 22解：（1）由1333x
19、tyt消t 得，30 xy即33yx，2C 是过原点且倾斜角为 6 的直线，2C 的极坐标方程为6（R）.9（2）由6(1sin)a得，26a,2 6aA，由76(1sin)a得3276a37,26aB，3|222aaABa.23.解：（1）由 2fx，得 232,15axax，2fx 的解集为15xx，则0a，1155aa，得1a 不等式 211fxfx 可化为2321xx ，则33221xxx或233221xxx或23221xxx，解得3x 或 833x或0 x，所以原不等式的解集为|0 x x 或83x （2）因为3m，3n，所以 33333f mf nmnmn，即9mn 所以14114141414521999nmnmmnmnmnmnmn，当且仅当4nmmn，即3m，6n 时取等号 所以不等式得证.
